涉及“任意”和“存在”問題的解析與思考

汪 俊

(江蘇省梅村高級中學 214112)

一、在“一題多解”，“一題多變”的方法比較中，充分理解“任意”和“存在”問題

例1 (1)?x不等式x2+ax+1≥0恒成立，求a的取值范圍.

(2)?x不等式x2+ax+1≤0成立，求a的取值范圍.

小結“任意”與“恒成立”結合的比較緊密，必須對整個區(qū)間的每個值都應該涉及.“存在”就是只需要找到一個數(shù)即可，不需要區(qū)間里每個值參與.

二、“任意”問題中的“反客為主”思想

例2 若不等式x2+px+1>p+2x對于實數(shù)|p|≤2恒成立，求x的取值范圍.

分析在不等式里出現(xiàn)了兩個字母x及p，關鍵在于該把哪個字母看成是一個變量，另一個作為參數(shù)，本題將p視作自變量比較簡便，這樣可將上述問題轉化為在[-2,2]上關于p的一次函數(shù)大于0恒成立的問題.

簡解將不等式x2+px+1>p+2x，變形為(x-1)p+x2-2x+1>0.

解得x<-1或x>3.

化為關于t的一次函數(shù)，可解得λ≥3或λ≤-3.

評注分清楚“主元”問題，才能有效地處理問題，必要的時候“反客為主”的方法可以更簡潔有效.

三、“任意”問題中的“投石問路”策略

例3 設函數(shù)f(x)=ax3-3x+1(x∈R)，若對于任意x∈[-1,1]，都有f(x)≥0成立，求實數(shù)a的值.

分析本題是關于多次函數(shù)的不等式恒成立問題，無論是單純求導還是分離系數(shù)都需要對a進行分類討論，分類多，過程繁，但是如果多考慮“對于任意x∈[-1,1]，都有f(x)≥0成立”這一關鍵句，我們就會考慮在x=-1,x=1也成立，這樣a的范圍變小了，這樣的“投石問路”就可以不需要對a分類討論了.

評注對參數(shù)的討論是一個難點，一方面我們害怕分類不完全，一方面害怕分類太繁瑣.所以涉及任意的問題，我們可以取特殊的值“投石問路”，讓范圍縮小，復雜的問題就迎刃而解了，從這個角度說，“任意”的利用價值很高.

四、任意和存在的綜合性問題

例4f(x)=x2-x-1,g(x)=x3-x2-5x+m，(1)?x∈[-2,2]，都有y=f(x)的圖象在y=g(x)的圖象下方，求m的取值范圍.

(2)若?a,b,c∈[-2,2]，使得g(a)+g(b)

(3)?x1,x2∈[-2,2]，都有f(x1)≤g(x2)成立，求m的取值范圍.

(4)對于?x1∈[-2,2]，?x2∈[-2,2]，有f(x1)≤g(x2)成立，求m的取值范圍.

(5)?x1,x2∈[-2,2]，都有|g(x1)-g(x2)|<|x1-x2|成立，求m的取值范圍.

分析首先，對兩個函數(shù)在區(qū)間[-2,2]的單調性，極值和最值進行研究，不加敘述.

問題(1)可以轉化為g(x)>f(x)，產(chǎn)生一個新函數(shù)g(x)-f(x)，通過它的單調性研究，解不等式g(x)-f(x)>0；

問題(2)可以打比方：班級中存在三個同學，兩個同學的體重之和小于第三個同學，這樣就應該考察班級中最輕的兩個小于最重的那個同學.所以問題轉化為：2g(x)min

問題(3)比較常見，可以轉化為f(x)max≤g(x)min.

問題(4)因為是?x1∈[-2,2]，f(x)是小于等于所以應該考察f(x)max，而g(x)是存在，所以問題轉化為f(x1)max≤g(x2)max.

問題(5)中首先的關鍵是處理絕對值問題，為了說明任意性，所以可以令x1g(x2)-x2和g(x1)+x1

評注涉及這類問題的題目比較多，在一個題目的背景下變式生成，對“特定句式”進行研討，重點是需要理解和揣摩，提煉和轉化出問題的關鍵.

總之，我們處理問題時，善于與平時的熱點知識比如恒成立問題產(chǎn)生聯(lián)系，擁有“主元”意識，必要時通過隱含條件縮小參數(shù)范圍，充分借助“特定句式”進行轉化，這樣涉及“任意”和“存在”的問題就能夠得到有效的解決.