關(guān)于F.Smarandache函數(shù)和式的均值計(jì)算

李橋,馬云真,李江華

(西安理工大學(xué)數(shù)學(xué)系,陜西 西安 710054)

1 引言及結(jié)論

定義1.1[1-2]

(1)Smarandache函數(shù):

(2)Smarandache LCM函數(shù):

(3)ˉS(n)函數(shù):

(4)簡單數(shù):真因子的乘積不超過它本身的數(shù),用A表示簡單數(shù)集,即

性質(zhì)1.1[3-4]

(3)S(pα)≤ αp; (4)p|S(pα);

(5)S(pα)= αp,其中 α ≤ p;

關(guān)于它們的算術(shù)性質(zhì),有不少學(xué)者進(jìn)行過研究,獲得了許多有重要理論價(jià)值的研究成果,參閱文獻(xiàn)[2-14].例如,在文獻(xiàn)[2]中,作者研究了關(guān)于函數(shù)ˉS(n)的一個(gè)和式的均值分布問題,證明了下面的定理,即對任意實(shí)數(shù)x>1,有

其中

為常數(shù),N表示正整數(shù)之集合.

在文獻(xiàn)[3]中,作者研究了Smarandache函數(shù)S(n)的有界性問題,得出了S(pα)的上下界估計(jì),即證明了:

(p?1)α+1≤ S(pα)≤ (p?1)[α+1+logpα]+1.

在文獻(xiàn)[4]中,作者研究了Smarandache LCM函數(shù)SL(n)的均值分布問題,證明了下面的定理,即對任意實(shí)數(shù)x>1,有

在文獻(xiàn)[6]中,作者研究了Smarandache函數(shù)S(n)的均值分布問題,獲得了下面的定理,即對任意實(shí)數(shù)x>1,有

在文獻(xiàn)[8]中,作者研究了數(shù)論函數(shù)ˉS(n)的均值分布問題,得到了下面的定理,即對任意實(shí)數(shù) x>1,有

在文獻(xiàn)[12]中,作者研究了數(shù)論方程S(SL(n))=φ(n)的可解性問題,得到了下面的結(jié)論,即方程S(SL(n))=φ(n)有且僅有n=1,8,9,12,18的解.

本文主要目的是利用初等和解析方法研究關(guān)于F.Smarandache可乘函數(shù)S(n)、SL(n)以及ˉS(n)的和式的均值分布問題,并給出幾個(gè)有趣的漸近公式及其他結(jié)論.具體地說也就是證明了下列定理及推論:

定理 1.1 對任意實(shí)數(shù)x>1以及非負(fù)實(shí)數(shù)λ,有漸近公式

定理 1.2 對任意實(shí)數(shù)x>1以及實(shí)數(shù)λ,有公式

定理 1.3 對任意實(shí)數(shù)x>1以及實(shí)數(shù)λ,有公式

推論 1.1 對任意實(shí)數(shù)x>1,有漸近公式

推論 1.2 對任意實(shí)數(shù)x>1,π(x)表示所有不大于x的素?cái)?shù)個(gè)數(shù),則有極限公式

2 引理

為了完成定理的證明,首先需要如下幾個(gè)簡單的引理.為敘述方便,令為n的標(biāo)準(zhǔn)分解式.

證明 設(shè)x是實(shí)數(shù)且x>2,那么對任意素?cái)?shù)p≤x,存在唯一的正整數(shù)α(p),使得

充分性:當(dāng)ˉS(1)≤x時(shí),顯然成立.當(dāng)n>1且ˉS(n)≤x時(shí),則

則n|m.

引理2.1得證.

引理2.2 令

證明 設(shè)x是實(shí)數(shù)且x>2,那么對任意素?cái)?shù)p≤x,存在唯一的正整數(shù)α(p),使得

充分性:當(dāng)SL(1)≤x時(shí),顯然成立.當(dāng)n>1且SL(n)≤x時(shí),則

引理2.2得證.

引理 2.3[15]設(shè) n ∈ A,則 n=p,或 n=p2,或 n=p3,或 n=pq(p?=q).

于是(Pd(n))2=nd(n),式中d(n)為除數(shù)函數(shù).從而有

由于n是簡單數(shù),則qd(n)≤n,即≤n.進(jìn)而有d(n)≤4,用除數(shù)函數(shù)d(n)定義,得 n=p,或 n=p2,或 n=p3,或 n=pq(p?=q)四種情況.

引理2.3得證.

3 定理的證明

這節(jié),直接給出定理的證明.

證明 對定理1.1,結(jié)合Smarandache函數(shù)S(n)的性質(zhì)以及引理2.3,有

其他同理可證.

對定理1.2,結(jié)合函數(shù)ˉS(n)的定義以及引理2.1.當(dāng)λ=0時(shí),由文獻(xiàn)[2],有

其中

對定理1.3,結(jié)合函數(shù)SL(n)的定義以及引理2.2.當(dāng)λ=0時(shí),有

利用素?cái)?shù)定理和Abel恒等式[16],有

即

當(dāng) λ ?=0 時(shí),有

其中

結(jié)合定理1.3和素?cái)?shù)定理,由x→0時(shí)ex=1+O(x),可知

即

于是完成了定理以及推論的證明.