關(guān)于I2上的max-drast矩陣的特征空間

陳偉

(閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,福建 漳州 363000)

1 引言

模糊矩陣的特征向量對(duì)應(yīng)于一個(gè)復(fù)雜的離散事件系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài),由給定的矩陣和模糊狀態(tài)向量決定.因此,尋找所有可能的穩(wěn)定狀態(tài)就相當(dāng)于描述矩陣A的所有特征向量.這個(gè)問題已經(jīng)在一些模糊代數(shù)中得到解決,例如max-plus代數(shù),min-plus代數(shù),max-prod代數(shù)和max-min代數(shù),詳見參考文獻(xiàn)[1-9].

Imran Rashid等學(xué)者在文獻(xiàn)[1]中研究了I=[0,1]上的max-drast代數(shù)模糊矩陣的特征空間.他們給出在I上對(duì)于一個(gè)給定的矩陣它的遞增特征向量非空的充分必要條件,描述了I上的遞增特征空間的結(jié)構(gòu).

本文主要把文獻(xiàn)[1]的主要結(jié)果推廣到I2=[0,1]×[0,1],定義了帶有兩個(gè)二元運(yùn)算的代數(shù) (I2,⊕,?),其中 ⊕=max,?=drast,研究了在I2上的矩陣的特征空間,刻畫了對(duì)于階數(shù)一定的矩陣的特征空間的組成結(jié)構(gòu),還得到了對(duì)于給定的矩陣的嚴(yán)格遞增的特征空間存在的充分必要條件.

本文用I2[n,n](I2[n])來表示定義在I2上的所有給定階數(shù)n×n(n×1)的方陣(向量)的集合.⊕,?是通過形式化的方法類似地?cái)U(kuò)展到矩陣和向量的運(yùn)算.max-drast代數(shù)中一個(gè)給定矩陣A∈I2[n,n]的特征問題在于找到一個(gè)特征向量X∈I2[n]使得A?X=X,其中

可以把X 簡單記為[x,y],一個(gè)矩陣A∈I2[n,n]的特征空間記為:

2 max-drast代數(shù)的特征空間

本文接下來定義在I2上的偏序關(guān)系≤,max加法運(yùn)算⊕和drast乘法運(yùn)算?:對(duì)任意 (xi,yi),(xj,yj)∈I2,有:

用F<(A)表示矩陣的嚴(yán)格遞增的特征空間.其中

類似地,可以給出I2<[n]的定義.

下面給出在 I2上的 max-drast矩陣的特征空間及特征向量的刻畫,這些結(jié)果推廣了文獻(xiàn) [1]中的命題3.1-命題3.3.

命題 2.1 令A(yù)∈I2[n,n],[x,y]∈I2[n].則[x,y]∈F(A)充分必要條件是?i∈N滿足下面兩個(gè)條件:

命題 2.2 令A(yù)∈I2[n,n],[x,y]∈I2<[n].則[x,y]∈F<(A)充分必要條件是?i∈N滿足下面兩個(gè)條件:

證明 因?yàn)閇x,y]∈I2<[n],所以可知[x,y]是嚴(yán)格單調(diào)遞增的.又因?yàn)?/p>

于是

因此由命題2.1可得此結(jié)論.

命題 2.3 令A(yù)∈I2[n,n],[x,y]∈I2<[n].則[x,y]∈F<(A)充分必要條件是?i∈N滿足下面三個(gè)條件:

證明 設(shè) [x,y]∈F<(A).假設(shè) ?j>i使得 (aij,bij)=(1,bij),那么

這與條件(3)矛盾.所以,條件 (5)成立.假設(shè)(xn,yn)=(1,1)時(shí),有 (ain,bin)>(xi,yi).那么 (ain,bin)?(xn,yn)=(ain,bin)?(1,1)=(ain,bin)>(xi,yi),這與條件(3)矛盾.因此,條件(6)成立.由條件(5)可知對(duì)于每個(gè)j∈N,i

下面給出一個(gè)方陣有嚴(yán)格遞增的特征向量的充要條件.

定理 2.1 令A(yù)∈I2[n,n].則F<(A)?=?充分必要條件是滿足下面的條件:

(i)?i,j∈ N,當(dāng)i

(ii)?i∈ N{1},且(aii,bii)<(1,1)時(shí),(ain,bin)>(0,0);

(iii)?i,k ∈ N,k

(iv)(ann,bnn)=(1,1).

證明 首先,證明必要性.設(shè) F<(A)?=?.則存在 [x,y]∈F<(A).于是對(duì)每個(gè) i∈N,條件(3)-條件(7)都成立.

①事實(shí)上,條件(i)與條件(5)是等價(jià)的.

② 設(shè) i∈N{1}且 (aii,bii)<(1,1).則 (aii,bii)?(xi,yi)<(xi,yi).其次,由條件 (7)可以得到 (ain,bin)?(xn,yn)=(xi,yi).但當(dāng) (ain,bin)=(0,0)時(shí),這個(gè)結(jié)論就不成立,所以(ain,bin)>(0,0).即條件(ii)成立.

③ 設(shè)i,k∈N,k

所以(xn,yn)=(1,1).由條件(3)可得

又因?yàn)閤k

由條件(7)可知:

必成立,但(ann,bnn)<(1,1)時(shí),(ann,bnn)?(xn,yn)=(xn,yn)不成立.所以

即條件(iv)成立。

接下來證明命題的充分性.設(shè)矩陣滿足條件(i)-條件(iv).通過循環(huán)使用以下規(guī)則1-規(guī)則3,可得到遞增的向量[x,y]∈I2[n].

規(guī)則1:若i

規(guī)則2:若i

(a)xi?1

(b)(ain,bin)≤(xi,yi)<(1,1);

(c)?k∈N,k>i,(akk,bkk)<(1,1)有 (xi,yi)<(akn,bkn)(不適用于對(duì)任意的 k>i時(shí)都有(akk,bkk)=(1,1)).

規(guī)則3:對(duì)i=n,選擇的(xn,yn)∈I2要滿足:

(a)xn?1

(b)若(a11,b11)<(1,1),(0,0)<(a1n,b1n),則(xn,yn)=(1,1);

(c)若 ?k∈N,k>1使得 (akk,bkk)<(1,1),則 (xn,yn)=(1,1).

根據(jù)上述的規(guī)則,可以得到滿足條件的[x,y]∈I2[n].

由條件 (i)得到的準(zhǔn)確的 [x,y]∈I2[n],可以驗(yàn)證條件 (7)是正確的.因此,可以證明條件(i)-條件(iv)也是充分的.

下面給出一個(gè)給定的max-drast矩陣特征空間的結(jié)構(gòu).從而推廣了文獻(xiàn)[1]中的定理3.5.

定理 2.2 設(shè) A∈I2[n,n]滿足定理 2.1中的條件 (i)-條件 (iv).令 [x,y]∈I2<[n].則[x,y]∈F<(A)充分必要條件是滿足以下條件:

(v)?i∈ N,且(aii,bii)<(1,1)時(shí),(xi,yi)=(ain,bin);

(vi)若(xn,yn)=(1,1),則?i∈N{n},且(aii,bii)=(1,1)時(shí),(xi,yi)≥ (ain,bin);

(vii)若(a11,b11)<(1,1),(0,0)<(a1n,b1n),則(xn,yn)=(1,1);

(viii)若?i∈ N{1}使得 (aii,bii)<(1,1),則(xn,yn)=(1,1).

證明 由命題2.3和定理2.1的證明中容易得到.