弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)壓力角的通用表達(dá)式研究

李 儉， 饒 雄， 唐 茂， 鄧女原媛， 熊美玲

(成都大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 四川 成都 610106)

0 引 言

目前，弧面分度凸輪被廣泛應(yīng)用于各種間歇運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)中，其特點(diǎn)為剛度大、傳動(dòng)扭矩大、定位準(zhǔn)確等.相關(guān)研究顯示，間歇運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)壓力角是影響該類機(jī)構(gòu)性能和受力情況的重要參數(shù)之一，其對(duì)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)尺寸也有較大的影響.對(duì)此，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)弧面分度凸輪的廓面方程、機(jī)構(gòu)壓力角與主曲率等方面進(jìn)行了研究，并取得了較多的成果[1-8].但在上述研究中，其推導(dǎo)過(guò)程比較復(fù)雜，且?guī)缀沃庇^性不強(qiáng).同時(shí)，由于滾子形狀的不同以及凸輪軸與從動(dòng)盤轉(zhuǎn)動(dòng)軸線之間角度的不同，從而造成最終數(shù)學(xué)表達(dá)式的不統(tǒng)一，這在一定程度上增加了公式推導(dǎo)的難度和工作量，致使在開發(fā)弧面凸輪相關(guān)軟件時(shí)，相關(guān)工作變得極為繁瑣與復(fù)雜[9-10].此外，目前尚未有相關(guān)文獻(xiàn)報(bào)道過(guò)運(yùn)用單參數(shù)曲面族包絡(luò)面理論對(duì)弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)壓力角通用表達(dá)式的研究.對(duì)此，本研究基于單參數(shù)曲面族包絡(luò)面理論，將弧面分度凸輪滾子的不同形狀(圓柱滾子、圓錐滾子及雙曲線滾子)和凸輪軸與從動(dòng)盤轉(zhuǎn)動(dòng)軸線之間形成不同角度時(shí)的情況進(jìn)行統(tǒng)一性處理，推導(dǎo)出了弧面分度凸輪廓面方程的統(tǒng)一數(shù)學(xué)表達(dá)式，在此基礎(chǔ)上建立了弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)壓力角的通用表達(dá)式，并通過(guò)實(shí)際應(yīng)用模型驗(yàn)證了本方法的正確性.

1 弧面分度凸輪廓面方程的建立

弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)示意圖如圖1所示，其相應(yīng)的坐標(biāo)系統(tǒng)及參數(shù)含義如圖2、3所示.

圖1弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖

圖2滾子示意圖

圖3滾子坐標(biāo)系統(tǒng)

本研究基于單參數(shù)曲面族包絡(luò)面理論[11-12]，將弧面分度凸輪的轉(zhuǎn)動(dòng)角位移φc視為該曲面族的參變量，同時(shí)也作為輸入運(yùn)動(dòng)參數(shù)，從動(dòng)轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)角位移φt作為輸出運(yùn)動(dòng)參數(shù).用滾子轉(zhuǎn)角θ和沿滾子軸線的高度坐標(biāo)h來(lái)描述滾子與弧面凸輪輪廓曲面相嚙合的外表面曲面方程，再應(yīng)用包絡(luò)面理論建立弧面分度凸輪廓面方程的統(tǒng)一數(shù)學(xué)模型.預(yù)先給定運(yùn)動(dòng)規(guī)律，φt=φt(φc)，從而推導(dǎo)出弧面凸輪的輪廓曲面方程為，

rc=rc(θ，h,φc)={A1[cos(θ+β)sin(φt-α)cosφc-

cos(θ+β)sinβcos(φt-α)sinφc+sin(θ+β)×cosβsinφc]-A2[sin(θ+β)sin(φt-α)cosφc-sin(θ+β)sinβcos(φt-α)sinφc-cos(θ+β)×cosβsinφc]-(δ+L-h)[cos(φt-α)cosφc+sinβsin(φt-α)sinφc]+bcosφc}i-{A1[cos(θ+β)sin(φt-α)sinφc+cos(θ+β)sinβcos(φt-α)cosφc-sin(θ+β)cosβcosφc]-A2[sin(θ+β)sin(φt-α)sinφc+sin(θ+β)sinβcos(φt-α)cosφc+cos(θ+β)cosβcosφc]-(δ+L-h)×[cos(φt-α)sinφc-sinβsin(φt-α)cosφc]+bcosφc}j-{A1[cos(θ+β)cosβcos(φt-α)+sin(θ+β)sinβ]-A2[sin(θ+β)cosβcos(φt-α)-cos(θ+β)sinβ]+(δ+L-h)cosβsin(φt-α)k

(1)

式中，

L-h)](φt′-sinβ)

J=(A1A3+A2A4)sinβsin(φt+α)

A1=r+W1htanγ；A2=W2htanγ；

A3=W1tanγ；A4=W2tanγ.

其中：當(dāng)W1=0，W2=0時(shí)，弧面凸輪的輪廓為圓柱滾子；當(dāng)W1=1，W2=0時(shí)，弧面凸輪的輪廓為圓錐滾子；當(dāng)W1=0，W2=1時(shí)，弧面凸輪的輪廓為雙曲線滾子.

2 機(jī)構(gòu)壓力角的通用表達(dá)式

弧面凸輪機(jī)構(gòu)壓力角，是指弧面凸輪與滾子外表面共軛接觸點(diǎn)處從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)方向與凸輪廓面法線之間的夾角，具體如圖4所示.

圖4弧面凸輪機(jī)構(gòu)壓力角示意圖

設(shè)弧面凸輪與滾子在接觸點(diǎn)處的單位公法矢量為n，該點(diǎn)處的壓力角為Ψ，從動(dòng)件的單位方向矢量為p，其中n由下式定義，

(2)

式中，

B1=[-sinβsinφccos(θ+β)A1+sinβsinφcsin(θ+β)A2-cosφc(A1A3+A2A4)]cos(-φt+α)+[-cosφcA1cos(θ+β)+cosφcA2sin(θ+β)+sinβsinφc(A1A3+A2A4)]sin(-φt+α)+cosβsinφc[cos(θ+β)A2+sin(θ+β)A1]

B2=[-sinβcosφccos(θ+β)A1+sinβcosφcsin(θ+β)A2+sinφc(A1A3+A2A4)]cos(-φt+α)+[-sinφcA1cos(θ+β)-sinφcA2sin(θ+β)+sinβcosφc(A1A3+A2A4)]sin(-φt+α)+cosβcosφc[cos(θ+β)A2+sin(θ+β)A1]

B3=-cosβ[cos(θ+β)A1-sin(θ+β)A2]cos(-φt+α)+cosβ(A1A3+A2A4)sin(-φt+α)-sinβ[cos(θ+β)A2+sin(θ+β)A1]

從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)的單位方向矢量p可由下式確定，

(3)

式中，Wt為從動(dòng)件的速度矢量，在Ot—XtYtZt坐標(biāo)系中，Wt在齊次坐標(biāo)中用矩陣形式表示為，

Wt1=[0，0，ωt，1]T

(4)

經(jīng)過(guò)坐標(biāo)變換，可以推導(dǎo)出，

=ωt(-sinφccosβi-cosφccosβj+sinβk)

(5)

式中，ωt為從動(dòng)件的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度.

對(duì)于rM，如圖4所示.

=bcosφci-bsinφcj+0k

(6)

故：

(7)

式中，

C1=-ωt{[-cosφcA1cos(θ+β)+cosφcA2sin(θ+β)+sinβsinφc(δ+L-h)]cos(-φt+α)+[sinβsinφccos(θ+β)A1-sinβsinφcsin(θ+β)A2+cosφc(δ+L-h)]sin(-φt+α)}

C2=-ωt{[-sinφcA1cos(θ+β)-sinφcA2sin(θ+β)+sinβcosφc(δ+L-h)]cos(-φt+α)-[-sinβcosφccos(θ+β)A1+sinβsinφcsin(θ+β)A2+sinφc(δ+L-h)]sin(-φt+α)}

C3=-ωtcosβ{cos(-φt+α)(δ+L-h)+sin(-φt+α)[cos(θ+β)A1-sin(θ+β)A2]}

至此，弧面凸輪機(jī)構(gòu)壓力角的通用表達(dá)式為，

(8)

由(8)式可見，弧面分度凸輪壓力角是從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)規(guī)律與弧面凸輪機(jī)構(gòu)幾何尺寸的復(fù)雜函數(shù)，故在機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)可通過(guò)改進(jìn)從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)規(guī)律或弧面凸輪幾何尺寸等方式來(lái)調(diào)整壓力角的大小.

3 模型驗(yàn)證

為驗(yàn)證弧面凸輪機(jī)構(gòu)壓力角數(shù)學(xué)模型的正確性，本研究通過(guò)數(shù)值模擬工具M(jìn)athematica對(duì)該模型進(jìn)行了驗(yàn)證.所取弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)的機(jī)構(gòu)參數(shù)如下：r=12.05 mm，L=15 mm，b=70 mm，α=30 °，δ=31 mm，β=0 °，γ=0 °.滾子數(shù)z=6；在整個(gè)運(yùn)動(dòng)周期中，分度期τ=270 °，休止期φd=90 °；從動(dòng)轉(zhuǎn)盤的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為改進(jìn)型正弦曲線運(yùn)動(dòng)關(guān)系，具體如公式(9)、(10)、(11)所示.

(9)

(10)

(11)

將上述參數(shù)代入計(jì)算模型后獲得的弧面凸輪機(jī)構(gòu)壓力角沿接觸線的分布情況如圖5所示(僅列出了受力面).數(shù)值計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證了本研究提出的弧面凸輪機(jī)構(gòu)壓力角數(shù)學(xué)模型的正確性.

圖5弧面分度凸輪受力面機(jī)構(gòu)壓力角沿接觸線的分布情況

4 結(jié) 論

本研究以包絡(luò)面理論為依據(jù)，運(yùn)用齊次坐標(biāo)的矩陣變換，建立了統(tǒng)一數(shù)學(xué)模型的弧面分度凸輪輪廓曲面方程，并推導(dǎo)出了該機(jī)構(gòu)壓力角的通用表達(dá)式.推導(dǎo)過(guò)程所使用的方法幾何直觀性強(qiáng)，整個(gè)過(guò)程簡(jiǎn)單明了，表達(dá)形式統(tǒng)一且便于理解，并且不需進(jìn)行復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)分析.弧面凸輪機(jī)構(gòu)壓力角的數(shù)學(xué)模型的統(tǒng)一表達(dá)，有助于驗(yàn)證弧面凸輪設(shè)計(jì)參數(shù)與運(yùn)動(dòng)規(guī)律的正確性.同時(shí)，也對(duì)弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)的數(shù)字化設(shè)計(jì)與制造具有一定的實(shí)用價(jià)值，為開發(fā)相應(yīng)軟件提供了理論依據(jù).