基于PBL教育理念的數(shù)學(xué)建模課程的教與學(xué)

孔 平,張建青,候麗英,李 然

(1.上海健康醫(yī)學(xué)院 文理教學(xué)部,上海 201318; 2.上海理工大學(xué) 光電信息與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院,上海 200093)

當(dāng)今世界處于第三次知識(shí)爆炸的時(shí)代,知識(shí)發(fā)展的廣度和深度,都遠(yuǎn)遠(yuǎn)地超出了史上任何一次知識(shí)的革新。在完成中等教育基礎(chǔ)上而進(jìn)行的高等教育,是專(zhuān)業(yè)方面的教育,是為培育高級(jí)人才的專(zhuān)門(mén)的社會(huì)活動(dòng)。作為人才培養(yǎng)主要陣地的高等(院校)教育,如何在知識(shí)爆炸的時(shí)代培養(yǎng)出社會(huì)需要的有用人才,是每一個(gè)高等教育者尤其是高校教師應(yīng)該思索的問(wèn)題。顯然,作為高校教師的我們不能再過(guò)多地關(guān)注對(duì)知識(shí)的傳授,不能再過(guò)分關(guān)注教學(xué)形式與方法的時(shí)尚,而忽略對(duì)教育理念深層的領(lǐng)悟與研究。作為高校教師,只有緊跟時(shí)代腳步,對(duì)教育的本質(zhì)加以重新認(rèn)識(shí),對(duì)學(xué)生應(yīng)當(dāng)學(xué)習(xí)什么樣的知識(shí)進(jìn)行思考,對(duì)學(xué)生應(yīng)當(dāng)采取什么樣的學(xué)習(xí)方法加以探索[1],才有可能解決有限的學(xué)習(xí)時(shí)間與知識(shí)爆炸之間的矛盾,以便培養(yǎng)出創(chuàng)造性的人才,以適應(yīng)社會(huì)發(fā)展的需要[1]。

一、PBL教育理念

PBL教育理念是以問(wèn)題為導(dǎo)向的(problem-based learning)[2]教育理念。發(fā)現(xiàn)問(wèn)題是知識(shí)學(xué)習(xí)、能力提升的出發(fā)點(diǎn),解決問(wèn)題是知識(shí)與能力的落腳點(diǎn),教師通過(guò)豐富的情境再造,提出能夠激發(fā)學(xué)生興趣的問(wèn)題,學(xué)生通過(guò)自主學(xué)習(xí)、分享討論,提出種種假說(shuō),再驗(yàn)證假說(shuō),得到問(wèn)題的解決,如圖1所示。這是基于現(xiàn)實(shí)世界的以學(xué)生為中心的教育方式,該教育方式由美國(guó)的神經(jīng)病學(xué)教授Barrows于1969年在加拿大首創(chuàng),目前已成為國(guó)內(nèi)外比較受歡迎的一種教育教學(xué)理念及方法。雖然PBL教學(xué)源于加拿大,但其完全符合中華文化的教育理念。子曰:三人行必有我?guī)熝?體現(xiàn)了以學(xué)生為中心因材施教。20世紀(jì)末,關(guān)超然教授首先在亞太地區(qū)發(fā)起PBL教學(xué)模式,該模式以學(xué)生為中心,遵循“以人為本”的原則[8],學(xué)生是教育的出發(fā)點(diǎn)與落腳點(diǎn);力爭(zhēng)每一個(gè)學(xué)生都能夠得到的應(yīng)有的發(fā)展;力爭(zhēng)每一個(gè)學(xué)生都能夠健康成長(zhǎng),使得教育來(lái)自學(xué)生的生活,依據(jù)學(xué)生的生活,并為了學(xué)生的生活。因此說(shuō),PBL既是一種教育理念,又是一種行之有效的教學(xué)方法,還是一種成效顯著的學(xué)習(xí)方法。PBL正是通過(guò)一個(gè)個(gè)具體的生活化的情境,啟迪學(xué)生的思維,讓學(xué)生學(xué)以致用,提升分析、解決問(wèn)題的能力,最終形成學(xué)生的創(chuàng)新思維與創(chuàng)新能力。由于PBL強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主體地位,所以以PBL理念指導(dǎo)的教與學(xué)必然積極鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行最大程度的參與,讓學(xué)生們共同思考,從而有效地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,有效地鍛煉和提升了學(xué)生的分析、解決問(wèn)題的能力,是先進(jìn)的理念。用PBL理念指導(dǎo)的教學(xué),與其說(shuō)是老師的授課,不如說(shuō)是學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程,反映與時(shí)俱進(jìn)的過(guò)程[3-6]。

圖1 PBL學(xué)習(xí)過(guò)程Fig.1 PBL learning process

PBL理念是一種先進(jìn)的教育理念,然而將這種理念在實(shí)踐中用得恰到好處卻不是件輕而易舉的事情。首先要撰寫(xiě)PBL案例,這不僅需要預(yù)設(shè)適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)目標(biāo),而且需要巧妙地設(shè)置問(wèn)題情境,使得情境既能引起學(xué)生興趣,又能引導(dǎo)學(xué)生逐漸深入學(xué)習(xí)。其次,在課堂中,教師不再是傳統(tǒng)意義上的授課教師,更多的時(shí)候扮演一個(gè)傾聽(tīng)者、組織者的角色。這點(diǎn)做到比較困難,現(xiàn)實(shí)中大多情況下,教師會(huì)忍不住進(jìn)行指導(dǎo),這將不利于學(xué)生自學(xué)能力的養(yǎng)成。再次,若是個(gè)別學(xué)生太沉默或者個(gè)別學(xué)生太活躍而不能有效地參與研討,需要教師比較智慧地處理,既不能進(jìn)行生硬的命令或者打斷,又要扭轉(zhuǎn)這種不良的局面。總之,進(jìn)行PBL教學(xué)對(duì)教師的要求非常高,教師也只有不斷地在發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、自我提升、解決問(wèn)題中成長(zhǎng)。

二、以PBL理念為指導(dǎo)的數(shù)學(xué)建模課程的教與學(xué)

(一)數(shù)學(xué)建模課程

在科技進(jìn)步與社會(huì)發(fā)展的推動(dòng)下,數(shù)學(xué)建模課程于20世紀(jì)70年代首先在國(guó)外開(kāi)設(shè),80年代初引入我國(guó)。近30年,伴隨計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展,數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透,如經(jīng)濟(jì)、生態(tài)、人口、地質(zhì)等,產(chǎn)生了一些交叉學(xué)科,比如數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)、生物數(shù)學(xué)、人口數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)地質(zhì)學(xué)等。將數(shù)學(xué)知識(shí)、軟件、計(jì)算機(jī)應(yīng)用有機(jī)融合,在應(yīng)用和實(shí)踐中提升學(xué)生的創(chuàng)新能力,從而在激發(fā)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的興趣時(shí),既能夠發(fā)展學(xué)生智能又能夠啟迪思維,自然能夠培養(yǎng)和提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。數(shù)學(xué)建模課程的開(kāi)設(shè),是數(shù)學(xué)教學(xué)體系、內(nèi)容和方法改革的一項(xiàng)有益的嘗試[7-12]。

(二)數(shù)學(xué)建模課程的教與學(xué)——以上海健康醫(yī)學(xué)院公選課為例

1.上海健康醫(yī)學(xué)院數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)困境

上海健康醫(yī)學(xué)院是以本科為主、高職高專(zhuān)并存的醫(yī)學(xué)及醫(yī)學(xué)相關(guān)工科專(zhuān)業(yè)為主的院校,數(shù)學(xué)建模課程的開(kāi)設(shè)經(jīng)歷了以公共選修課的形式到公共選修課和專(zhuān)業(yè)必修課并存的形式,公共選修課針對(duì)大一的新生開(kāi)設(shè),專(zhuān)業(yè)選修課是針對(duì)有一定高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的具有工科專(zhuān)業(yè)背景的學(xué)生開(kāi)設(shè),均為32學(xué)時(shí)。選用的教材是姜啟源、謝金星等編著的《數(shù)學(xué)模型》,參考教材有《華章數(shù)學(xué)譯叢:數(shù)學(xué)建?！芳巴醴e建等編著的《全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽試題研究》。無(wú)論是選用的教材還是參考教材,內(nèi)容都十分豐富,作為教師即使不停地教,也不可能把選用教材所有的內(nèi)容都教完。自然,作為學(xué)生即使非常樂(lè)意地學(xué)、不停地學(xué),也不可能把所有知識(shí)都學(xué)完。教師要發(fā)揮以學(xué)生為本的主導(dǎo)作用,首先要確定教什么,以及怎么教。為此,必須以先進(jìn)的教育理念為指導(dǎo),緊跟時(shí)代潮流,反映時(shí)代精神。筆者認(rèn)為將以人為本、以問(wèn)題為導(dǎo)向的PBL教育理念融入數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)中,以形成學(xué)生建模的能力為著眼點(diǎn),以全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽為抓手,選用最基本的、最新的、最有用的知識(shí)和章節(jié)來(lái)教,可以有效地解決有限的課時(shí)與無(wú)限的知識(shí)之間的矛盾。

2.基于PBL教育理念的數(shù)學(xué)建模公選課的教與學(xué)

以PBL教育理念為指導(dǎo),從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律出發(fā),結(jié)合學(xué)生現(xiàn)有知識(shí)儲(chǔ)備,以學(xué)生能力的發(fā)展為目標(biāo),在有限的學(xué)時(shí)里面,上海健康醫(yī)學(xué)院數(shù)學(xué)建模公選課程是這樣安排教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方式的。第一章建立數(shù)學(xué)模型,從知識(shí)內(nèi)容上來(lái)說(shuō),雖不深?yuàn)W,但是對(duì)學(xué)習(xí)建模來(lái)講又是非常重要的,因此這部分內(nèi)容讓學(xué)生課下進(jìn)行深度預(yù)習(xí),課堂上教師拋出一系列有意義的問(wèn)題,如什么是數(shù)學(xué)建模,為什么要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模,怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模等。以這些問(wèn)題為驅(qū)動(dòng),以學(xué)生小組討論方式使學(xué)生最大程度地參與課堂,對(duì)教師提出的問(wèn)題進(jìn)行探討,教師在必要的時(shí)候進(jìn)行畫(huà)龍點(diǎn)睛式的啟發(fā),從而深刻地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)建模,獲得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的主觀渴望。第二章初等模型,主要學(xué)習(xí)公平的席位分配模型,席位分配在社會(huì)活動(dòng)中經(jīng)常遇到,如:人大代表或職工學(xué)生代表的名額分配和其他物質(zhì)資料的分配等。以學(xué)生所熟知的學(xué)生代表的名額分配提出問(wèn)題,通過(guò)合理地假設(shè),建立衡量公平與否的指標(biāo),從而建立公平席位分配的數(shù)學(xué)模型、求解模型、檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?。在求解模型這一環(huán)節(jié),指導(dǎo)學(xué)生利用計(jì)算機(jī)來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)模型的求解及評(píng)價(jià),將數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)有機(jī)地結(jié)合。第三章簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型,優(yōu)化問(wèn)題可以說(shuō)是人們?cè)诠こ碳夹g(shù)、經(jīng)濟(jì)管理和科學(xué)研究領(lǐng)域中最常遇到的一類(lèi)問(wèn)題。在建模的基礎(chǔ)上輔之以適當(dāng)?shù)慕?jīng)驗(yàn)和試驗(yàn),從而可以得到最貼近最優(yōu)解的解答。在決策化、定量化的呼聲日益高漲的今天,這無(wú)疑是符合時(shí)代潮流和形勢(shì)發(fā)展需要的。因此,這部分內(nèi)容是數(shù)學(xué)建模課程的重點(diǎn)內(nèi)容之一。簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型,歸結(jié)為微積分中的函數(shù)極值問(wèn)題,可以直接用微分法求解。相關(guān)微積分的知識(shí)可以讓學(xué)生帶著問(wèn)題在課下自學(xué),課堂上重點(diǎn)討論建立模型的全過(guò)程。具體可以選擇2～3個(gè)優(yōu)化模型進(jìn)行重點(diǎn)教學(xué)。教法、學(xué)法上仍然采用PBL教學(xué)法,以實(shí)際問(wèn)題為導(dǎo)向,通過(guò)團(tuán)隊(duì)協(xié)作、小組討論得到最優(yōu)決策,并在此基礎(chǔ)上對(duì)結(jié)果作一些定性、定量的分析和必要的檢驗(yàn)。第五章微分方程模型,在自然界及工程技術(shù)領(lǐng)域,微分方程模型大量存在,其影響非常廣泛。當(dāng)描述實(shí)際對(duì)象的某些特性隨時(shí)間(或空間)而演變的過(guò)程、分析它的變化規(guī)律、預(yù)測(cè)它的未來(lái)性態(tài)、研究它的控制手段時(shí),經(jīng)常無(wú)法直接得到各變量之間的聯(lián)系,需要按照對(duì)象內(nèi)在的或可以類(lèi)比的其他對(duì)象的規(guī)律列出微分方程,求出方程的解并將結(jié)果翻譯回實(shí)際對(duì)象,進(jìn)而進(jìn)行描述、分析、預(yù)測(cè)或控制。學(xué)生進(jìn)行該章節(jié)的學(xué)習(xí),需要一定的微分方程的知識(shí)。因此,首先讓學(xué)生帶著問(wèn)題課下自學(xué)相關(guān)預(yù)備知識(shí),然后課堂上組織學(xué)生梳理相關(guān)知識(shí)點(diǎn),以形成知識(shí)模塊,為后面的應(yīng)用打下基礎(chǔ)。在該章節(jié)選取與醫(yī)學(xué)緊密相關(guān)的傳染病模型為教學(xué)內(nèi)容,根據(jù)由簡(jiǎn)入繁的認(rèn)知規(guī)律,以問(wèn)題為導(dǎo)向,從最簡(jiǎn)假設(shè)每天有效接觸的人數(shù)為常數(shù)開(kāi)始建模,分析該模型與實(shí)際不符的原因,修正假設(shè)建立區(qū)分已感染者和為感染者的SI模型,分析SI模型,發(fā)現(xiàn)該模型的不足,為進(jìn)一步修正該模型,建立傳染病無(wú)免疫性的SIS模型,根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)一步修正假設(shè),建立傳染病有免疫性的SIR模型。建模過(guò)程中,通過(guò)不斷地找出矛盾及問(wèn)題,讓學(xué)生全程參與到建模過(guò)程,采用小組討論,來(lái)不斷地修正假設(shè),改進(jìn)模型,直至得到與實(shí)際問(wèn)題相符的模型。對(duì)比較復(fù)雜SIR模型,利用計(jì)算機(jī)來(lái)實(shí)現(xiàn)數(shù)值計(jì)算,讓學(xué)生體會(huì)計(jì)算機(jī)在數(shù)學(xué)建模中的重要作用,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)相關(guān)軟件的興趣。第八章離散模型,選擇在實(shí)際中應(yīng)用廣泛的層次分析模型作為主要教學(xué)內(nèi)容。以如何選擇假期旅游地為導(dǎo)向,將定性與定量相結(jié)合,進(jìn)行系統(tǒng)化、層次化的分析,建立層次分析模型。

3.比對(duì)不同理念下的教學(xué)效果

本人將以PBL教育理念指導(dǎo)的教與學(xué)的班級(jí)與傳統(tǒng)的教學(xué)理念及方法下的班級(jí)進(jìn)行了對(duì)比,前者教學(xué)效果明顯優(yōu)于后者。前者學(xué)生對(duì)該門(mén)課程的學(xué)習(xí)更富有積極性與主動(dòng)性。前者課堂上學(xué)生思維活躍、討論熱烈,甚至為一個(gè)問(wèn)題爭(zhēng)得面紅耳赤,課堂的參與度高,而后者課堂氣氛沉悶、缺乏生機(jī)。課后,前者學(xué)生經(jīng)常組織學(xué)習(xí)沙龍活動(dòng)探討建模相關(guān)的問(wèn)題,而后者幾乎沒(méi)有這種現(xiàn)象;而且舉辦的校內(nèi)建模競(jìng)賽,獲獎(jiǎng)的隊(duì)伍幾乎清一色來(lái)自前者的班級(jí)。由此可見(jiàn),基于PBL理念的數(shù)學(xué)建模課程的教與學(xué),以學(xué)生為本,以問(wèn)題為導(dǎo)向,將學(xué)生的積極性充分地調(diào)動(dòng)起來(lái),有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維與創(chuàng)新能力,是高效的教與學(xué)。