對(duì)稱結(jié)構(gòu)分析的一種新的群論方法

吳鋒　李昱葶　彭海軍

摘要： 傳統(tǒng)群論方法涉及特征標(biāo)表、不可約表示、投影算子等高等數(shù)學(xué)理論，計(jì)算格式復(fù)雜，為此提出一種新的群論方法，該方法僅涉及群論的基本概念，無須掌握高深的數(shù)學(xué)知識(shí)，計(jì)算格式簡(jiǎn)單靈活。數(shù)值算例表明，本文方法理論可靠、計(jì)算結(jié)果正確。

關(guān)鍵詞：對(duì)稱結(jié)構(gòu)； 群論； 結(jié)構(gòu)分析

中圖分類號(hào)： TU312.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

Abstract：The classical group theory method involves some advanced mathematical theories， such as character table， irreducible representation， projection operator and so on. Its computational scheme is complex. To deal with this disadvantage， a new group theory method is developed. The new group theory method involves only the basic group definition， and the advanced mathematical theories are disused. Its computational scheme is easy and flexible. Numerical examples show that the proposed method is based on a reliable theory and can give correct computational results.

Key words：symmetric structure； group theory； structural analysis

0 引 言

很多高層建筑及大跨度空間結(jié)構(gòu)可視為對(duì)稱結(jié)構(gòu)，其特點(diǎn)是由許多基本單元組合重復(fù)排列而成的。[1-3]對(duì)稱結(jié)構(gòu)往往具有良好的力學(xué)性能和美學(xué)優(yōu)勢(shì)，便于建模和加工。對(duì)于具有一定對(duì)稱性且承受同樣對(duì)稱形式載荷的結(jié)構(gòu)，經(jīng)常利用結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性來降低問題的計(jì)算量。[4]然而，對(duì)于具有非對(duì)稱載荷的、工況復(fù)雜的對(duì)稱結(jié)構(gòu)，如何利用其對(duì)稱性以減少計(jì)算工作量還很值得研究。

將群論用于描述結(jié)構(gòu)對(duì)稱性，在物理[5]、化學(xué)[6]、幾何結(jié)晶學(xué)[7]和密碼學(xué)[8]等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。早在1978年，鐘萬勰等[4]首先將群論應(yīng)用于對(duì)稱結(jié)構(gòu)分析，根據(jù)對(duì)稱群的不可約表示，將位移轉(zhuǎn)換成不可約子空間基底上的廣義位移，從而將剛度矩陣轉(zhuǎn)換成對(duì)角塊矩陣，不僅減少計(jì)算內(nèi)存，且大大降低計(jì)算量，節(jié)省計(jì)算時(shí)間，為群論方法在對(duì)稱結(jié)構(gòu)分析中的應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。此后，THOMAS[9]等研究周期性旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)，將其變?yōu)閱我蛔咏Y(jié)構(gòu)的Hermite矩陣特征值問題進(jìn)行求解，從而提出一種精確的特征值算法。WILLIAMS[10-12]、KAVEH等[13]利用群表示理論，分析旋轉(zhuǎn)對(duì)稱、左右對(duì)稱結(jié)構(gòu)的特征值問題。FRICKER等[14]在THOMAS等的基礎(chǔ)上考慮阻尼矩陣可以解耦的情形，結(jié)合群論方法和振型疊加法分析結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)響應(yīng)。蔡成武研究在干擾力作用下擬旋轉(zhuǎn)周期結(jié)構(gòu)的強(qiáng)迫振動(dòng)問題的群論分析方法。[15]KAVEN等[15-16]將克羅內(nèi)克積與群論相結(jié)合，分析對(duì)稱性的桁架塔結(jié)構(gòu)。CHEN等[17]將群論方法與圖積相結(jié)合，用于分析對(duì)稱預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)的屈曲問題。高強(qiáng)等[18]基于周期結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性和動(dòng)力問題的物理特性，給出一種計(jì)算周期結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)矩陣指數(shù)的高效率方法。劉嶺等[19]和裘春航等[20]利用群表示理論，將旋轉(zhuǎn)周期對(duì)稱結(jié)構(gòu)推廣至任意邊界條件。ZINGONI[21]將群論推廣至具有弱對(duì)稱性的彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)當(dāng)中。RICHARDSON等[22]將群論方法應(yīng)用到結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題。KANGWAI等[23]詳細(xì)回顧群論的發(fā)展，系統(tǒng)地介紹群論方法在對(duì)稱結(jié)構(gòu)上的應(yīng)用。以上種種研究表明，群論方法可適用于對(duì)稱結(jié)構(gòu)的靜力分析、動(dòng)力特性、振動(dòng)響應(yīng)和屈曲分析等各種力學(xué)問題，能大大降低對(duì)稱結(jié)構(gòu)分析的計(jì)算量。然而，目前實(shí)際工程中關(guān)于群論方法的研究鮮有報(bào)道，可見工程師對(duì)群論方法的了解還不多。群論方法分析對(duì)稱結(jié)構(gòu)，涉及群的不可約表示、投影算子、特征標(biāo)表和舒爾定理等高深的數(shù)學(xué)理論，而這些理論不易掌握，限制了群論方法在工程的運(yùn)用。

本文對(duì)傳統(tǒng)群論方法加以改進(jìn)，提出一個(gè)實(shí)現(xiàn)群論方法的簡(jiǎn)單途徑。該方法僅涉及群的基本定義和特征向量等概念，不涉及傳統(tǒng)群論方法中不可約化、計(jì)算投影算子和查詢特征標(biāo)表等一系列過程，使得問題處理變得簡(jiǎn)單便捷。

1 基本理論

1.1 對(duì)稱結(jié)構(gòu)的群表示

對(duì)某對(duì)稱結(jié)構(gòu)進(jìn)行靜力分析，采用有限元等數(shù)值仿真方法建模，其剛度方程為

式中：K為N×N的剛度陣，N為結(jié)構(gòu)的總自由度數(shù)；X和F分別為N×1的位移和載荷向量。對(duì)稱結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)是其幾何和物理屬性均具有空間上的對(duì)稱性，對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行對(duì)稱變換后，結(jié)構(gòu)形式與變換前的結(jié)構(gòu)形式完全一致。在對(duì)變換前、后2種結(jié)構(gòu)進(jìn)行仿真建模時(shí)，其剛度矩陣完全相同。為方便說明對(duì)稱結(jié)構(gòu)的這一特點(diǎn)，以對(duì)稱彈簧-質(zhì)量結(jié)構(gòu)為例進(jìn)行說明，見圖1。

必須注意到，Ri不是唯一的，比如單位陣I本身也具有式（5）的性質(zhì)。實(shí)際上可以找到一組矩陣Ri組成的集合，該集合中每個(gè)元素Ri均可滿足式（5），且這些元素構(gòu)成的集合滿足群的定義。這樣的矩陣集合便是該群的一個(gè)群表示。利用群表示理論，可以找到一組基向量rj，使得K成為對(duì)角塊矩陣，從而降低計(jì)算量。[4]因此，如何建立這組基向量rj，便是實(shí)現(xiàn)群論方法的關(guān)鍵步驟。目前，一般用特征標(biāo)表和投影算子理論建立這組基向量。

1.2 特征標(biāo)表和投影算子

必須指出，一個(gè)群的群表示并不是唯一的，在這些不同的群表示中，有些是等價(jià)的，有些還是不可約的。關(guān)于群表示的等價(jià)性以及不可約表示等內(nèi)容，可以參考文獻(xiàn)[4]，這里不再詳細(xì)介紹。

根據(jù)群表示理論，某群若有q個(gè)群元，則有q個(gè)不等價(jià)的不可約表示，即共有q個(gè)不等價(jià)和不可約的幺正表示，每個(gè)幺正表示又有q個(gè)特征標(biāo)，因此每個(gè)群均存在一個(gè)特征標(biāo)表（目前常用的群的特征標(biāo)表均可查到）。在特征標(biāo)表中，每個(gè)不等價(jià)的不可約幺正表示的特征標(biāo)構(gòu)成一組特征標(biāo)向量χi，于是共有q個(gè)不同的特征標(biāo)向量。設(shè)任給一個(gè)向量Y，其投影算子定義為

2 剛度陣對(duì)角化新途徑

傳統(tǒng)的群方法通過投影算子生成基向量，主要用到投影定理、特征標(biāo)表、不可約表示和舒爾定理等相關(guān)數(shù)學(xué)理論，而這些理論對(duì)于工程師來說太過高深，不易掌握。本節(jié)將給出一個(gè)實(shí)現(xiàn)群論方法的簡(jiǎn)單途徑，其基本知識(shí)只涉及群的基本定義和特征向量等。

2.1 對(duì)稱結(jié)構(gòu)的群表示矩陣的特征向量

至此，式（1）變化為式（16），通過求解式（16）可得到式（1）的解。因?yàn)楫?dāng)λm≠λn時(shí)，Kyn與m正交，必有TmKyn=0，所以是一個(gè)對(duì)角塊矩陣，求解式（16）要方便得多。中對(duì)角塊矩陣的數(shù)目越多，求解所需的計(jì)算量越少。從式（14）和（17）可知，的對(duì)角塊數(shù)目與矩陣Ri特征值的重根數(shù)目相關(guān)，若Ri的N個(gè)特征值互不相同，則將是一個(gè)對(duì)角矩陣，此時(shí)求解所需的計(jì)算量最少。

綜上所述，對(duì)于一個(gè)對(duì)稱結(jié)構(gòu)，可以不從特征標(biāo)表和投影算子的途徑得到基向量，因?yàn)槿罕硎揪仃嚨奶卣飨蛄勘闶且环N基向量。利用群表示矩陣的特征向量，可使剛度矩陣對(duì)角化，而特征向量等概念都是工程師較為熟悉的，這給群論在對(duì)稱結(jié)構(gòu)分析中的應(yīng)用提供一個(gè)新的途徑。

2.2 群表示矩陣的組合

群表示矩陣的特征向量可以使剛度矩陣對(duì)角化，其中用到一個(gè)比較關(guān)鍵的性質(zhì)是KRi=RiK，對(duì)此進(jìn)一步深入討論。

利用以上性質(zhì)，可以將不同的群表示矩陣，用加法、乘法、轉(zhuǎn)置和李括號(hào)等4種算子進(jìn)行組合。組合后的矩陣可能不再是結(jié)構(gòu)的群表示矩陣，但由于仍然滿足[K G]=0，所以其特征向量仍然可以使得剛度矩陣對(duì)角化。這樣做有如下3個(gè)優(yōu)點(diǎn)。

（1）對(duì)于不對(duì)稱的矩陣R，利用上述性質(zhì)可得G=R+RT。G=GT為對(duì)稱矩陣，只需計(jì)算一次特征值和特征向量，且其特征值和特征向量均是實(shí)數(shù)，可以避免復(fù)數(shù)運(yùn)算。

（2）利用不同群表示矩陣的組合得到G，其特征值分布盡可能沒有重根，從而可以使得剛度矩陣盡可能地塊對(duì)角化。

（3）實(shí)際的對(duì)稱結(jié)構(gòu)常常同時(shí)包含旋轉(zhuǎn)對(duì)稱和鏡面對(duì)稱等不同類型的對(duì)稱群結(jié)構(gòu)，通過利用不同的群表示矩陣進(jìn)行組合，可以充分運(yùn)用結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性進(jìn)行計(jì)算。

雖然以上討論均基于剛度矩陣進(jìn)行，但是在對(duì)稱結(jié)構(gòu)的仿真分析時(shí)，群表示矩陣R對(duì)于動(dòng)力分析涉及的質(zhì)量矩陣M、阻尼矩陣C和屈曲分析中涉及的幾何矩陣N等，也具有如下性質(zhì)，

因此，利用群表示矩陣的特征向量，亦可使質(zhì)量矩陣M、阻尼矩陣C和幾何矩陣N對(duì)角塊化，從而提高這些問題分析的計(jì)算效率。

2.3 Kronecker積

對(duì)于實(shí)際工程中的大規(guī)模周期結(jié)構(gòu)，其群表示矩陣大多可表示為單位陣與最小對(duì)稱單元的群表示矩陣的Kronecker積，即寫成IR，其中，R為基本的群表示矩陣，I為單位矩陣，表示Kronecker積。根據(jù)矩陣論，若R的特征向量矩陣為Y，則IR的特征向量矩陣為IY，因此實(shí)際上只需要求解最小對(duì)稱單元的群表示矩陣的特征向量，計(jì)算量很小。關(guān)于最小對(duì)稱單元的群表示矩陣以及Kronecker積的相關(guān)內(nèi)容，可以參照文獻(xiàn)[17]，這里不再給出詳細(xì)介紹。

3 算 例

某15層鋼桁架結(jié)構(gòu)整體模型見圖2a）。桁架底端固定在地面上，各層的基本結(jié)構(gòu)相似，僅桿件尺寸不同。其第n層的基本結(jié)構(gòu)見圖2b），由an、bn和cn等3種不同桿件構(gòu)成，各層結(jié)構(gòu)的桿件尺寸見表1。所有桿件材料均為鋼材，彈性模量E和密度分別為2.06×105 MPa和7 800 kg/m3，橫截面面積為0.1 m2。底端固定約束的4個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的平面定義為xz平面，豎直方向?yàn)閥方向。每層塔的序號(hào)由下至上依次為1～16?？紤]靜力和動(dòng)力2種情況進(jìn)行分析，驗(yàn)證本文方法的有效性。

3.1 靜力桁架分析

在桁架頂端的節(jié)點(diǎn)A處施加垂直向下的集中力，大小為108 N。采用桿單元對(duì)上述桁架進(jìn)行有限元建模，得到剛度矩陣K和載荷向量F后，直接求解剛度方程，所得的解為參考解。剛度矩陣K、載荷向量F以及參考解借助ANSYS分析得到。導(dǎo)出剛度矩陣和載荷向量后，再利用群表示矩陣的特征向量將剛度矩陣對(duì)角化后進(jìn)行計(jì)算。圖2所示桁架的每一層在xz平面的投影均為正方形（見圖3），具有多種對(duì)稱性，這里選用鏡面對(duì)稱計(jì)算。每層桁架的4個(gè)節(jié)點(diǎn)關(guān)于oo軸和pp軸對(duì)稱，先分析關(guān)于oo軸對(duì)稱的群表示矩陣。

3.2 動(dòng)力響應(yīng)分析

仍以圖2a）所示桁架為例，以1940年EI Centro地震的南北方向地震加速度為x方向的地震動(dòng)輸入，采樣周期為0.02 s，時(shí)間步總數(shù)為1 500步。采用瑞利阻尼模型，阻尼矩陣為C=0.24M+0.001 6K。

仍采用ANSYS建模計(jì)算得到的解為參考解，然后從ANSYS中導(dǎo)出剛度矩陣K和質(zhì)量矩陣M，采用與靜力分析相同的群表示矩陣分析。動(dòng)力響應(yīng)分析研究比較成熟[24-26]，目前有許多優(yōu)秀算法，這里選擇Newmark算法計(jì)算。本文方法計(jì)算得到的頂層A點(diǎn)在x方向的位移響應(yīng)見圖4a），A點(diǎn)在x方向的位移與參考位移的誤差見圖4b）。由此可以看出，誤差基本在10-13的量級(jí)，這說明本文方法對(duì)于桁架的地震響應(yīng)分析依然有效，計(jì)算結(jié)果與參考解基本相同。

有限元建模得到的剛度矩陣K和對(duì)角化后的剛度矩陣的非零元素分布見圖5，有限元建模得

到的質(zhì)量矩陣M和對(duì)角化后的質(zhì)量矩陣的非零元素分布見圖6，其中nz表示非零元素個(gè)數(shù)。由圖5和6可見，不論是剛度矩陣還是質(zhì)量矩陣，在利用群表示矩陣對(duì)角化后，矩陣的非零元素和矩陣帶寬均遠(yuǎn)小于原矩陣中的非零元素和矩陣帶寬，即計(jì)算存儲(chǔ)量變小了。同時(shí)，對(duì)角化后的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣均為6對(duì)角塊矩陣，這意味著可以分塊求解每個(gè)對(duì)角矩陣。維數(shù)為N的剛度矩陣K計(jì)算量約為

O（N2），分塊求解每個(gè)小的n維對(duì)角塊矩陣，其計(jì)算量為O（n2），顯然分塊求解計(jì)算量要小得多。這里采用2種群表示矩陣的組合，即G=Roo+πRpp。若僅僅采用Roo或Rpp，則只能將剛度矩陣或質(zhì)量矩陣轉(zhuǎn)化成二對(duì)角塊矩陣，因此采用群表示矩陣組合的效果比采用單一類型的對(duì)稱群表示矩陣效果更好。

4 結(jié)束語(yǔ)

為分析對(duì)稱結(jié)構(gòu)，提出一種新的群論方法。該方法利用對(duì)稱結(jié)構(gòu)的群表示矩陣的特征向量，可以將對(duì)稱結(jié)構(gòu)的剛度矩陣、質(zhì)量矩陣等系統(tǒng)矩陣變換為對(duì)稱塊矩陣。與傳統(tǒng)群論方法相比，本文方法不涉及不可約表示、投影算子、舒爾定理和特征標(biāo)表等理論，易于掌握和推廣。當(dāng)對(duì)稱結(jié)構(gòu)具有多重不同類型的對(duì)稱時(shí)，可以充分運(yùn)用結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，將不同的群表示矩陣進(jìn)行組合，使系統(tǒng)矩陣能夠盡可能地塊對(duì)角化。工程中存在許多對(duì)稱結(jié)構(gòu)，如空間大跨度網(wǎng)架結(jié)構(gòu)、徑球面射電望遠(yuǎn)鏡FAST和衛(wèi)星天線等，本文推導(dǎo)的群論方法能給這些問題的分析帶來幫助。

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（編輯 武曉英）