速度關聯(lián)關系式的兩種創(chuàng)新推導

宋輝武　劉博

摘 要：利用相對運動法和剛體的平面平行運動的相關特點對牽連運動的速度關聯(lián)關系進行了兩種創(chuàng)新推導，并發(fā)現(xiàn)這兩種推導方式比速度分解法、位移分解法、導數(shù)法、等量分解法、功能關系法等方法更加直觀易懂。

關鍵詞：關聯(lián)速度；牽連運動；剛體

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148（2018）8-0056-2

牽連運動中的速度關聯(lián)關系問題即通常說的關聯(lián)速度問題是高中物理必修二運動合成與分解這一知識點中必講必練的知識點，最典型的呈現(xiàn)形式就是繩拉船模型，這也是老生常談的問題。筆者近期閱讀了大量文獻，在教學過程中也聽了很多老教師的授課，發(fā)現(xiàn)對這一關系的講解無非就是速度分解法、位移分解法（微元法）、導數(shù)法、等量分解法、功能關系法，無論是推導還是學生理解都較為繁瑣。筆者深入鉆研后發(fā)現(xiàn)利用“相對運動法”與“剛體平面平行運動法”這兩種方法可以簡潔直觀地推導出這一關系。這兩種方法中滲透的物理思想對于參加物理競賽以及大學物理先修課的學生更是大有裨益的，現(xiàn)呈現(xiàn)給各位同行供大家參考。

眾所周知，在運動過程中，繩、桿等有長度的物體，其兩端點的速度通常是不一樣的，但若繩、桿不可伸縮，則兩端點的速度是有聯(lián)系的，我們稱之為關聯(lián)速度。實際上繩連物系通常由于滑輪的存在會使得一根繩子不再是一條直的線段，這看起來與桿連物系不同，但實際上本質(zhì)都是一樣的，不過是表現(xiàn)的形式不同罷了。為了方便，我們以桿連物系進行下面的討論，繩連物系的討論思想亦是如此（把繩子拉直考慮即可）。我們都知道，桿的兩個端點的實際速度其呈現(xiàn)形式無非就是下面兩種情況，如圖1、圖2所示，不論是哪種情況，皆滿足兩個端點沿桿方向的分速度相等，這一關系即為大家熟悉的速度關聯(lián)關系式。下面筆者將采用兩種巧妙的方法來推導這一關系。

方法二（剛體的平面平行運動法）：

不可伸縮的桿實際上是一個剛體，桿的運動屬于剛體的平面平行運動，可以分解為平動和轉(zhuǎn)動，在沒有條件限制的情況下分解的方法有無數(shù)種。我們先來考慮圖1，假設桿經(jīng)過非常小的一段時間后位置變到如圖5所示的粗線位置上（圖示經(jīng)過放大），這一過程有多種實現(xiàn)方式，下面我們以其中的兩種典型的實現(xiàn)方式來展開討論。第一種分解方式：如圖6所示，桿AB可以先沿速度vA的方向平移到圖中虛線位置A'B'，然后再繞著A'點轉(zhuǎn)動到達粗線位置A'B"；第二種分解方式：如圖7所示，桿AB可以先沿著桿所在直線方向向下移動到圖中虛線位置A'B'，然后再繞著桿所在直線延長線上的某一點O轉(zhuǎn)動到達粗線位置A"B"。

下面我們來看一下上述的第二種分解方式中的平動過程，即桿率先進行的沿桿方向的分運動，由于桿不可伸縮，因此會發(fā)現(xiàn)若A點運動一段距離，則B點必然要跟著運動同樣的距離，此即為沿桿方向的分速度相等的形象、直觀的理解方式。可以看出，長久以來我們一直關心的是沿桿方向的平動，而忽視了其轉(zhuǎn)動效應。實際上，我們完全可以利用其轉(zhuǎn)動特點推導得出兩個端點的速度關聯(lián)關系，如圖7所示。此時需要考查兩個端點A'B'垂直于桿方向的分速度vAsinα與vBsinβ，由于其繞著O點做圓周運動，我們可以設桿長為L，A'做圓周運動的半徑為r，則B'做圓周運動的半徑為r+L，因此可列：

vAsinα=ωr（1）

下面我們需要求得桿做圓周運動的角速度ω，可以看出在第一種分解方式中轉(zhuǎn)動過程是以過A點垂直紙面的直線為轉(zhuǎn)軸的，而第二種分解方式中轉(zhuǎn)動過程是以過O點垂直紙面的直線為轉(zhuǎn)軸的。雖然平動和轉(zhuǎn)動的分解方式不唯一，但角位移與轉(zhuǎn)軸的位置無關，也就是說角速度與轉(zhuǎn)軸無關[1]，兩種分解方式中的角速度是相等的，我們可以通過第一種分解方式求出角速度，如圖3所示，

參考文獻：

[1]趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程·力學[M].北京：高等教育出版社，2004：165.

[2]宋浩杰.牽連運動問題中的速度新解[J].物理教學探討，2007，25（9）：35，37.（欄目編輯 羅琬華）