數(shù)形結合思想在初中數(shù)學解題中的有效應用

魏 東

(江蘇省常熟市孝友中學 215500)

數(shù)學思想是學習數(shù)學的本質，是理解數(shù)學和分析數(shù)學的前提基礎，同時也是數(shù)學學習過程中的關鍵所在，它能夠發(fā)展學生的智力，培養(yǎng)數(shù)學能力，將學習的知識有效調動起來，在解決數(shù)學問題時形成有機聯(lián)系.數(shù)和形之間形態(tài)雖然不同，但卻有著本質的聯(lián)系.數(shù)形結合思想就是運用兩者的本質關聯(lián)來利用具體圖像代表數(shù)的抽象內(nèi)容，同時以數(shù)來表示圖形的幾何意義等，讓數(shù)量關系和空間幾何相結合來解決初中數(shù)學問題的一種有效方法.筆者從以形助數(shù)和以數(shù)助形兩個方面分析案例來掌握數(shù)形結合思想的應用.

一、數(shù)形結合內(nèi)涵分析

數(shù)形結合具體是指根據(jù)數(shù)和形之間的特定關系，將兩者相互轉化來解決數(shù)學問題的思想方法.數(shù)形結合思想的廣泛應用，就是對數(shù)學問題具有的條件和結論兩者關系的展示，將數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系轉變成圖形來表示，將代數(shù)求解問題轉化為求解幾何問題，以便實現(xiàn)預期的解決數(shù)學問題的目的.不僅要表示出代數(shù)意義，還要揭示出幾何含義，以數(shù)量關系和空間圖形的兩種外在形式巧妙融合，尋找契機找到解題思路.數(shù)形結合思想在初中數(shù)學解題中發(fā)揮出重要意義，直接讓學生更加深刻了解數(shù)學問題的實質，將部分難題、怪題變得通俗易懂，開拓解題思路，提高了學生的解題能力.初中階段的學生對于數(shù)學學科認識并不深刻，而數(shù)形結合思想則有助于學生從本質上掌握數(shù)學的學習.

圖1

幾何圖形雖然直觀、形象，但是從轉化圖形的過程來看顯得有些繁瑣、復雜，而以數(shù)顯性就直接簡化了本身的表現(xiàn)形式，變得更加方便，例如代數(shù)法和解析法都是對數(shù)解決數(shù)學問題的認可，這樣過程會顯得相對簡化，言簡意賅更加容易發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，便于學生把握數(shù)量關系，運用有關的解題技巧來發(fā)散學生的思維.以數(shù)輔形詳細來講就是利用數(shù)的嚴謹性和產(chǎn)生出圖形中存在的數(shù)量關系，讓兩者達到一致，實現(xiàn)精準解題，補充數(shù)本身的想象力不足和直覺欠缺問題，兩者完美融合才是初中數(shù)學數(shù)形結合解題的目的.例如：在證明菱形四條邊相等，對角線互相垂直的定理時(以圖1為例)：已知四邊形ABCD是菱形，鄰邊AB=AD=CD=BC,AC⊥BD呢?在證明的過程中就會運用到以前學到的有關等腰三角形的相關知識：因為四邊形ABCD是菱形,所以AB=CD,AD=BC,又因為AB=AD,所以AB=BC=CD=AD.因為AB=AD,所以三角形ABD是等腰三角形……,所以AO⊥BD,所以AC⊥BD.

例如在以數(shù)輔形的幾何問題中，利用數(shù)形結合思想比較常見，如解析法和代數(shù)法，會在一定程度上降低難度.

二、以形助數(shù)方法的有效運用

根據(jù)實際初中數(shù)學解題的需要，從題目中的數(shù)量關系來反應到具體空間圖形上把握性質，找出隱藏的關鍵信息，更加容易解決問題.即把抽象的數(shù)字關系和形象的圖象關系相對應，才能更好展現(xiàn)出數(shù)學學科的魅力，從抽象化和形式化兩個特點來直觀呈現(xiàn)數(shù)學原理，構建數(shù)學模型.以形助數(shù)重點是利用圖形在頭腦思維中的具體性來簡化問題，幫助學生提高解題效率.例如在下面以形助數(shù)的實際案例中.

例如在下面以形助數(shù)的實際案例中.

某拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(-2，6)，在x軸上截取的線段長度為4，對稱軸方程為x-1=0，并且和直線y=x-5相交，求出拋物線的解析式，以及拋物線和直線的交點坐標.

對于拋物線類型的題目，必然要聯(lián)系到坐標圖，根據(jù)上述題目分析出拋物線的解析式是y=1，2x2-2，4x-3，6，在和直線方程相交的兩點y值相等隱藏線索能夠得出兩個方程式y(tǒng)值相等，即y=1，2x2-2，4x-3，6=x-5，求出x值分別為7/3和1/2，將x數(shù)值代入分別得出7/3-5和-4.5，最后得出拋物線方程式和直線交點坐標.

從近年來中考數(shù)學試卷的函數(shù)題目來看，和圖形的聯(lián)系越來越緊密，考生離開了圖形，僅僅憑借自己的想象很難全方位把握問題及條件，而主動根據(jù)題目限定條件畫出圖形，以形助數(shù)已經(jīng)成為學生普遍通用的方法.數(shù)形結合思想的實質就是根據(jù)數(shù)據(jù)和圖形之間的對應關系，將比較抽象的語言通過圖形表示出來，或者是使用數(shù)學語言將圖形表示出來.圖形的直觀化、簡潔化和形象化有助于開拓學生的思路，打開思維空間，讓學生培養(yǎng)應對較難問題的具體思考方式.因此在初中數(shù)學解題過程中，要積極運用數(shù)形結合的數(shù)學思想來解決代數(shù)問題，提高學生對整體數(shù)學問題的掌握.此外，函數(shù)及其圖象可以利用直角坐標系全面深入結合數(shù)形，函數(shù)運用圖象表示出來可以直觀分析出函數(shù)的性質和特點，而觀察函數(shù)解析式可以對應繪畫出幾何圖形，相互之間依托解決初中數(shù)學問題，這對于數(shù)學學科的研究和把握具有很大幫助.

三、結語

綜上所述，隨著現(xiàn)代初中教育理念的創(chuàng)新，初中數(shù)學解題也要開始創(chuàng)新.數(shù)形結合思想作為幫助理解數(shù)學學科的重要思想，同時也是解題方法中不可缺失的部分，引導學生將抽象事物具體化和形象化展現(xiàn)出來，從而轉變?yōu)閳D形關系，解決數(shù)學問題.初中數(shù)學包含了大量代數(shù)和幾何內(nèi)容，兩者從形式上確有不同，但是本質上是一致的，作為數(shù)學教師應該幫助學生正視數(shù)形兩者的聯(lián)系，在代數(shù)和幾何問題上相互融合，并且在適當情況下運用數(shù)形結合思想和啟發(fā)學生思維，從多角度來看待數(shù)學問題，掌握這種解題思想在數(shù)學中的應用，同時加強學生對自我知識框架的建構，從根本上對數(shù)學知識加以靈活運用，在實踐解題中挖掘學生的多種潛力，激發(fā)出學生的學習效果，普遍提高學生的學習興趣.