基于抗差估計的Klobuchar-like電離層模型參數(shù)估計方法

劉 宸，趙 鶴，朱偉剛，劉長建，馮 緒

(1.北京衛(wèi)星導航中心，北京 100094; 2.信息工程大學，河南 鄭州 450001)

電離層延遲誤差是衛(wèi)星導航定位中重要的誤差源之一，目前應用最為廣泛的是Klobuchar電離層模型[1-2]。Klobuchar模型簡單，電離層延遲修正率約50%～60%[3]。為了滿足日益增長的導航定位精度的需求，不同的Klobuchar模型的精化方案被提出，均在不同程度上提升了模型的修正率，其中文獻[4]在對各種適用范圍較廣的模型精化方案進行歸納總結(jié)的基礎上，提出了適用于不同尺度區(qū)域的Klobuchar-like模型，具體模型如式(1)。

(1)

式中，A、B、C分別為夜間延遲關(guān)于時間的常數(shù)項、一階項、二階項系數(shù)，A2為白天余弦函數(shù)振幅，A3為電子總數(shù)目峰值的地方時時刻，A4為余弦函數(shù)周期,它們均為緯度φM的多項式，具體取值方法參照文獻[4]。

當前，電離層模型參數(shù)估計方法有線性化后序貫平差[5]或最小二乘求解法[6-7]、Klobuchar-self求解法[8]、松弛搜索法[9]和經(jīng)驗模型外推求解法[10]等。Klobuchar模型及其精化模型均為以未知參數(shù)為分段條件的分段函數(shù)，且Klobuchar-like模型更為復雜，另外參與參數(shù)擬合的數(shù)據(jù)中可能存在粗差或者異常值，如GIMs數(shù)據(jù)[11]等。因此，本文提出了基于抗差估計的Klobuchar-like電離層模型參數(shù)估計方法，該方法適用于Klobuchar模型及其精化模型這類以求解參數(shù)為分段條件的分段函數(shù)。

1 模型參數(shù)的擬合方法

由于式(1)為分段非線性方程，不易直接求解，本文將分兩步對參數(shù)進行求解：

1)利用各站點的VTEC迭代解算出單緯度模型參數(shù)X=[ABCA2A3A4]T；

2)用緯度φM的多項式表示所有站點的單緯度模型參數(shù)求解其他系數(shù)。該方法同樣適用于Klobuchar模型及其精化模型。

在求解單緯度參數(shù)X=[ABCA2A3A4]T時，通過泰勒一階展開將式(1)線性化，即

VTECi=

(2)

其中，i為迭代的次數(shù)，Δ為

(3)

(4)

(5)

(6)

具體實現(xiàn)迭代解算出單緯度參數(shù)X的算法步驟為

2 模型參數(shù)的擬合實驗與分析

①愛丁堡蝕刻劑（Edinburgh Etch）由英國愛丁堡版畫工作室畫家佛蘭德哈克·基克本（Friedhard Kiekeben）發(fā)明并命名。

初始權(quán)陣P分兩種給定形式：一是將各站點每個時刻的VTEC值當作獨立等權(quán)觀測值，初始權(quán)陣P為單位權(quán)矩陣；二是將各站點每個時刻的VTEC值當作獨立非等權(quán)觀測值，可利用文獻[11,15]給出的雙線性內(nèi)插法計算出站點每個時刻的VTEC值的RMS值，取pj=1/RMSj，若RMSj=0.0，令RMSj=0.1。初始權(quán)取pj=1/RMSj表示站點的VTEC值在精度上存在差異，更加符合實際情況。

本文分別以站點VTEC無異常值、單異常值以及雙異常值等3種情況，分別利用最小二乘估計和抗差估計解算Klobuchar-like的模型參數(shù)。實驗數(shù)據(jù)為利用GIMs獲取的2016-09-22 CHAN站VTEC和RMS值。

2.1 無異常值時模型參數(shù)解算

圖1給出了Klobuchar-like模型兩種定權(quán)方法的最小二乘擬合結(jié)果。從圖1中可以看出，初始權(quán)等權(quán)和不等權(quán)最小二乘估計曲線基本重合。

表1給出了初始權(quán)取不同權(quán)值時Klobuchar-like模型參數(shù)最小二乘解與VTEC修正率。分析表1可知，等權(quán)與不等權(quán)時模型參數(shù)間差異均在0.1以內(nèi)，高階項的參數(shù)解算結(jié)果的差異在0.001以內(nèi)；等權(quán)最小二乘解的Klobuchar-like模型修正率為96.96%，不等權(quán)為97.05%，兩者差異在0.1%以內(nèi)。由此可見，等權(quán)和不等權(quán)結(jié)果差異很小，可以忽略不計。

當站點VTEC無異常值、初始權(quán)相等時，分別采用最小二乘和抗差估計解算Klobuchar-like模型參數(shù)，其中抗差估計的權(quán)函數(shù)分別取Huber、IGGⅢ和文獻[16]提出的兩種新的改進方案(分別記為IGGⅢ+和 IGGⅢ++，下同)，結(jié)果如圖2所示。

由圖2可知，最小二乘和抗差估計解算的VTEC曲線基本重合。為了清晰對比無粗差時抗差估計與最小二乘解的參數(shù)間的差異，表2進一步給出了抗差估計與最小二乘估計結(jié)果和修正率的差值。

表1 初始權(quán)不同權(quán)值時Klobuchar-like模型參數(shù)最小二乘解與VTEC修正率

圖1 Klobuchar-like模型最小二乘擬合結(jié)果

圖2 初始權(quán)等權(quán)時不同權(quán)函數(shù)的抗差估計的參數(shù)擬合結(jié)果

表2 初始權(quán)等權(quán)時不同權(quán)函數(shù)的抗差估計與最小二乘參數(shù)解算結(jié)果的差值 m

分析表2可知，無粗差時，抗差估計解算的參數(shù)與最小二乘解算的參數(shù)間差異較小，基本在0.2以下，高階項的參數(shù)(B和C)解算結(jié)果的差異均在0.01以內(nèi)，模型修正率差異均在0.05%以內(nèi)。由此可見，無粗差、初始權(quán)等權(quán)時，4種權(quán)函數(shù)的抗差估計結(jié)果與最小二乘解算的Klobuchar-like模型參數(shù)差異較小，模型修正率差異也很小，可以忽略不計。

圖3 初始權(quán)為1/RMS時不同權(quán)函數(shù)的抗差估計結(jié)果

表3 初始權(quán)為1/RMS時不同權(quán)函數(shù)時抗差估計方法參數(shù)解算結(jié)果與最小二乘解的差值

2.2 單異常值時模型參數(shù)解算

由圖4可以看出2016-09-22 CHAN站的VTEC不含明顯的異常值，為了滿足單粗差的實驗條件，在地方時3h處添加了一個“+40TECU”的粗差，進行模擬試驗。圖4給出了單粗差時初始權(quán)分別為等權(quán)和1/RMS的最小二乘估計的結(jié)果。從圖4中可以看出，單粗差時，初始權(quán)等權(quán)和不等權(quán)最小二乘估計的參數(shù)所計算的Klobuchar-like模型的VTEC曲線夜間部分均偏離了站點VTEC，而白天的擬合效果較好。造成該現(xiàn)象的原因在于，粗差所加入的位置在夜間3 h處，而白天的VTEC并未加入粗差。同時可以看出，初始權(quán)為1/RMS的最小二乘估計參數(shù)計算的Klobuchar-like模型VTEC偏離稍遠。

圖4 單粗差時Klobuchar-like模型最小二乘擬合結(jié)果

圖5給出了含單粗差、初始權(quán)等權(quán)時分別采用最小二乘和抗差估計結(jié)果。從圖5中可以看出各種權(quán)函數(shù)下的抗差估計的結(jié)果非常符合無粗差時的站點VTEC變化趨勢，表明了抗差估計的有效性。

圖5 單粗差、初始權(quán)等權(quán)時不同權(quán)函數(shù)的抗差估計結(jié)果

表4進一步給出了它們與無粗差、始權(quán)等權(quán)時最小二乘估計的模型參數(shù)解和修正率的差異。由表4可知單粗差時的最小二乘估計的模型參數(shù)與無粗差時的最小二乘估計參數(shù)差異較大，且修正率降低幅度也較大。此外由文獻[11-12]可知，GIMs設定的異常值為999.9TECU，實際GIMs中還有更大的異常值(約3500TECU)，如此之大的異常值將導致最小二乘估計的模型修正率驟降。抗差估計的模型參數(shù)差異均在0.2以內(nèi)，高階項的模型系數(shù)差異均在0.01以內(nèi)，模型修正率差異也很小，最高為0.06%，達到了很好的抗差效果。

表4 單粗差、初始權(quán)為各種參數(shù)解與無粗差時最小二乘解的差值 m

當站點VTEC含單粗差、初始權(quán)取1/RMS時，分別采用最小二乘和抗差估計解算結(jié)果如圖6。由圖6同樣可見，各種權(quán)函數(shù)下的抗差估計結(jié)果也非常符合無粗差時的站點VTEC變化趨勢，同樣表明了抗差估計結(jié)果的有效性。表5進一步給出了它們與無粗差、初始權(quán)為1/RMS時最小二乘估計的模型參數(shù)解和修正率的差異。由表5可知，單粗差時的最小二乘估計的模型參數(shù)與無粗差時的最小二乘估計參數(shù)差異較大，且修正率降低幅度較大；本實驗所加入的粗差量級較小，修正率降低約5.10%，一旦粗差量級較大，最小二乘估計的修正率也將驟降。抗差估計的模型參數(shù)差異均在0.3以內(nèi)，高階項的模型系數(shù)差異均在0.02以內(nèi)，模型修正率差異也很小，最高為0.04%，達到了很好的抗差效果。

圖6 單粗差、初始權(quán)為1/RMS時不同權(quán)函數(shù)的抗差估計結(jié)果

表5 單粗差、初始權(quán)為1/RMS時各種參數(shù)解與無粗差時最小二乘解的差值 m

2.3 雙異常值時模型參數(shù)解算

為了滿足雙異常值的實驗條件，在CHAN站的VTEC地方時4 h、和15 h處均添加了“+40TECU”的粗差，進行模擬試驗。

圖7給出了雙粗差時初始權(quán)分別為等權(quán)和的最小二乘估計的結(jié)果。從圖7中可以看出，雙粗差時，初始權(quán)等權(quán)和不等權(quán)最小二乘估計的曲線白天和夜間部分均偏離了站點VTEC，且粗差位置附近偏離更為嚴重。

圖7 雙粗差時Klobuchar-like模型最小二乘擬合結(jié)果

圖8給出了含雙粗差、初始權(quán)等權(quán)時分別采用最小二乘和抗差估計結(jié)果。從圖8中可以看出各種權(quán)函數(shù)下的抗差估計的結(jié)果非常符合無粗差時的站點VTEC變化趨勢，表明了抗差估計的有效性。

表6進一步給出了它們與無粗差、初始權(quán)等權(quán)時最小二乘估計的模型參數(shù)解和修正率的差異。由表6可知單粗差時的最小二乘估計的模型參數(shù)與無粗差時的最小二乘估計參數(shù)差異較大，且修正率降低幅度也較大。實驗所加入的粗差量級較小，則修正率降低約4.10%，一旦粗差量級較大，最小二乘估計的修正率也將驟降。抗差估計的模型參數(shù)差異均在0.4以內(nèi)，高階項的模型系數(shù)差異均在0.04以內(nèi)，模型修正率差異也很小，最高為0.06%，達到了很好的抗差效果。

表6 雙粗差、初始權(quán)等權(quán)時各種參數(shù)解與無粗差時最小二乘解的差值 m

當站點VTEC含雙粗差、初始權(quán)取1/RMS時，分別采用最小二乘和抗差估計解算，結(jié)果如圖9。由圖9可見，各種權(quán)函數(shù)下的抗差估計結(jié)果也非常符合無粗差時的站點VTEC變化趨勢，同樣表明了抗差估計結(jié)果的有效性。表7進一步給出了它們與無粗差、初始權(quán)為1/RMS時最小二乘估計的模型參數(shù)解和修正率的差異。由表7可知，單粗差時的最小二乘估計的模型參數(shù)與無粗差時的最小二乘估計參數(shù)差異較大，且修正率降低幅度較大；本實驗所加入的粗差量級較小，修正率降低約3.87%，一旦粗差量級較大，最小二乘估計的修正率也將驟降?？共罟烙嫷哪Ｐ蛥?shù)差異均在0.5以內(nèi)，高階項的模型系數(shù)差異均在0.02以內(nèi)，模型修正率差異也很小，最高為0.04%，達到了很好的抗差效果。

圖9 單粗差、初始權(quán)為1/RMS時不同權(quán)函數(shù)時抗差估計結(jié)果

表7 雙粗差、初始權(quán)為1/RMS時各種參數(shù)解與無粗差時最小二乘解的差值 m

由上述模型參數(shù)最小二乘擬合與抗差估計實驗可知：當站點VTEC不含異常值時，最小二乘估計與抗差估計結(jié)果間差異很小，且模型修正率差異也很小，均可以忽略不計；當站點VTEC含異常值(包括單異常值和雙異常值)時，最小二乘估計參數(shù)偏差均較大且模型修正率下降較大，而抗差估計解算結(jié)果與無粗差的最小二乘解和模型修正率差異均很小，可以忽略不計。因此，在不知道數(shù)據(jù)是否含異常值時，均可采用本文所提出的基于抗差估計的模型參數(shù)估計方法。

3 結(jié) 語

針對Klobuchar模型及其精化模型均為以未知參數(shù)為分段條件的分段函數(shù)、參數(shù)估計的數(shù)據(jù)可能還有粗差的情況，提出了基于抗差估計的Klobuchar-like模型參數(shù)擬合方法。該方法也可被借鑒與其他以未知參數(shù)為分段條件的分段函數(shù)的擬合情況。通過模擬實驗驗證了該方法的可行性與有效性。建議不論參數(shù)估計的數(shù)據(jù)中是否含有粗差，均建議采用基于抗差估計的參數(shù)估計方法。