基于曲線擬合的AR模型在地鐵施工監(jiān)測(cè)中的應(yīng)用

高志鈺，李建章，張秀霞

(1.蘭州交通大學(xué) 測(cè)繪與地理信息學(xué)院，甘肅 蘭州 730070；2.甘肅省地理國(guó)情監(jiān)測(cè)工程實(shí)驗(yàn)室，甘肅 蘭州 730070；3.蘭州理工大學(xué) 土木工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

地鐵施工階段進(jìn)行變形監(jiān)測(cè)是完全有必要的，監(jiān)測(cè)的意義在于及時(shí)掌握變形體自身及其周?chē)h(huán)境影響引起的沉降和位移變化，并采取合理的措施來(lái)減少損失；實(shí)時(shí)積累監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，分析變形規(guī)律，預(yù)測(cè)其變形趨勢(shì)，極大程度地減少地鐵建設(shè)各個(gè)階段存在的安全隱患[1-3]。

近年來(lái)，對(duì)變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析與預(yù)報(bào)的方法與模型逐漸增多，主要有灰色理論模型[4]、Kalman濾波模型[5]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[6]、時(shí)間序列分析模型[7-9]以及組合模型[10-12]等，這些方法理論與模型得到廣泛應(yīng)用，并取得了不錯(cuò)的預(yù)測(cè)效果。其中，AR模型通過(guò)時(shí)間序列變量的自身歷史觀測(cè)值來(lái)反映有關(guān)因素對(duì)預(yù)測(cè)目標(biāo)的影響和作用，不受模型變量相互獨(dú)立的假設(shè)條件的約束，并且AR模型具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、參數(shù)估計(jì)是線性估計(jì)等優(yōu)點(diǎn)，是時(shí)間序列分析中應(yīng)用最廣泛的模型[13-15]?？紤]到AR模型要求數(shù)據(jù)序列平穩(wěn)，需對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行差分處理，造成殘差信息的浪費(fèi)，導(dǎo)致精度不夠理想[16]。此外，變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)具有很明顯的趨勢(shì)性，采用單純的AR模型進(jìn)行建模預(yù)測(cè)，精度不是很好[17]，具有一定的局限性。本文將采用曲線擬合方法代替差分法進(jìn)行趨勢(shì)項(xiàng)的消除與減弱，即對(duì)經(jīng)典的AR模型進(jìn)行改進(jìn)，對(duì)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行合理的分析與預(yù)測(cè)，以期達(dá)到更高的預(yù)測(cè)精度，達(dá)到更佳的預(yù)測(cè)效果。

1 原理與方法

1.1 曲線擬合

曲線擬合是趨勢(shì)分析法中的一種，主要通過(guò)各種光滑曲線來(lái)描述事物發(fā)展的基本趨勢(shì)。通常情況下可采取的模型主要有：多項(xiàng)式趨勢(shì)模型、對(duì)數(shù)趨勢(shì)模型、冪函數(shù)趨勢(shì)模型、指數(shù)趨勢(shì)模型、雙曲線趨勢(shì)模型、修正指數(shù)模型、Logistic模型以及Gompertz模型等[18]。對(duì)曲線擬合還需進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，即對(duì)擬合的效果進(jìn)行檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方法主要有F檢驗(yàn)法、相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)法[19]以及相關(guān)指數(shù)檢驗(yàn)法[20]。本文采用多項(xiàng)式擬合的方式進(jìn)行曲線擬合，采用F檢驗(yàn)法對(duì)擬合效果進(jìn)行檢驗(yàn)，如表1所示。

表1 方差分析表

1.2 AR模型

1.2.1 AR模型原理

對(duì)于平穩(wěn)、正態(tài)、零均值的時(shí)間序列{xt}，若{xt}的取值不僅與前n步的各個(gè)取值xt-1,xt-2,xt-3,…,xt-n有關(guān)，而且還與前m步的各個(gè)干擾at-1,at-2,…,at-m有關(guān)(n,m=1,2,…)，則按多元線性回歸的思想，可得到最一般的ARMA模型：

xt=φ1xt-1+φ2xt-2+…+φnxt-n-θ1at-1-

θ2at-2-…-θmat-m+at,

(1)

(2)

式中，φi(i=1,2,…,n)稱(chēng)為自回歸(AR)參數(shù)；θj(j=1,2,…,n)稱(chēng)為滑動(dòng)平均(MA)參數(shù)；{at}這一序列為白噪聲序列。式(1)稱(chēng)為{xt}的自回歸滑動(dòng)平均模型，記為ARMA(n，m)模型。特殊的，當(dāng)θj=0時(shí)，模型(1)變?yōu)?/p>

xt=φ1xt-1+φ2xt-2+…+φnxt-n+at.

(3)

式(3)稱(chēng)為n階自回歸模型，記為AR(n)。當(dāng)φi=0時(shí)，模型(1)變?yōu)?/p>

xt=at-θ1at-1-θ2at-2-…-θmat-m.

(4)

式(4)稱(chēng)為m階滑動(dòng)平均模型，記為MA(m)。

1.2.2AR模型的建模步驟

1)對(duì)原始觀測(cè)數(shù)據(jù)的正態(tài)性、平穩(wěn)性以及零均值進(jìn)行檢驗(yàn)，對(duì)不符合平穩(wěn)化要求的序列進(jìn)行差分處理提取趨勢(shì)向，得到殘差序列{xt}。

2)通過(guò)計(jì)算殘差序列的自相關(guān)函數(shù)及偏自相關(guān)函數(shù)的截尾、拖尾性來(lái)初步判斷殘差序列{xt}所適合的模型結(jié)構(gòu)。

3)采用自相關(guān)函數(shù)與偏相關(guān)函數(shù)定階法確定模型的階數(shù)，并利用最小二乘估計(jì)法進(jìn)行模型參數(shù)的估計(jì)。

4)預(yù)測(cè)模型的建立，對(duì)預(yù)測(cè)模型進(jìn)行檢驗(yàn)，選擇最佳的預(yù)測(cè)模型AR(p)。進(jìn)而根據(jù)AR(p)模型進(jìn)行逆向還原，建立最終的預(yù)測(cè)模型，得到模型預(yù)測(cè)結(jié)果，并依此判斷原觀測(cè)序列與模型預(yù)測(cè)值之間的誤差值大小。

1.3 基于曲線擬合的AR模型

基于曲線擬合的AR模型，即對(duì)傳統(tǒng)的AR模型進(jìn)行了改進(jìn)，其建模與預(yù)測(cè)的步驟如下：

1)結(jié)合原始觀測(cè)數(shù)據(jù)，選擇合適的曲線擬合模型；

2)利用Origin軟件進(jìn)行曲線擬合圖的繪制，并進(jìn)行顯著性水平檢驗(yàn)，若擬合結(jié)果具有顯著性，則依此得到相應(yīng)的擬合結(jié)果值；

3)計(jì)算得到原始觀測(cè)數(shù)據(jù)與相應(yīng)擬合數(shù)據(jù)之間的殘差序列{xt}；

4)利用得到的殘差序列{xt}，建立改進(jìn)的AR模型，得到改進(jìn)的AR模型的預(yù)測(cè)結(jié)果；

5)兩種方法所得預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，得出結(jié)論。

2 實(shí)例分析

在某地鐵施工過(guò)程中，利用DNA03數(shù)字水準(zhǔn)儀對(duì)施工現(xiàn)場(chǎng)一系列沉降點(diǎn)每隔12 h進(jìn)行一次監(jiān)測(cè)，得到各沉降點(diǎn)的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)。對(duì)這些沉降點(diǎn)逐個(gè)進(jìn)行分析與預(yù)測(cè)，亦可得到相同的結(jié)論。由于篇幅有限，本文將選取其中某一個(gè)沉降點(diǎn)的30期監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)如表2所示。利用1～20期數(shù)據(jù)進(jìn)行模型的建立，對(duì)21～30期數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，將預(yù)測(cè)結(jié)果與原始觀測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，判斷預(yù)測(cè)結(jié)果的精度。

表2 原始觀測(cè)數(shù)據(jù) mm

1)AR模型。對(duì)原始觀測(cè)數(shù)據(jù)序列進(jìn)行預(yù)處理，采用二階差分法對(duì)其趨勢(shì)向進(jìn)行去除，使殘差序列基本穩(wěn)定。通過(guò)對(duì)殘差序列的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)計(jì)算，確定其模型為AR(2)模型。對(duì)AR(2)模型進(jìn)行逆向還原，得到最終的數(shù)學(xué)模型，計(jì)算出預(yù)測(cè)結(jié)果。

2)改進(jìn)的AR模型。對(duì)原始觀測(cè)序列進(jìn)行曲線擬合，本文選取多項(xiàng)式擬合的方式進(jìn)行，并利用Origin軟件繪制擬合曲線圖，并對(duì)其進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，結(jié)果如圖1、表3所示。由表3可知，F(xiàn)(9,20)=12.308，F(xiàn)0.01(9,20)=3.46，F(xiàn)(9,20)> F0.01(9,20)，因而建立的多項(xiàng)式擬合方程非常顯著，即所建立的擬合方程與原始觀測(cè)數(shù)據(jù)擬合的很好。進(jìn)而得到原始觀測(cè)序列與擬合數(shù)據(jù)序列{xt}，建立改進(jìn)的AR模型，得到最終的預(yù)測(cè)結(jié)果。

圖1 擬合曲線結(jié)果

表3 擬合效果分析

3)對(duì)比分析。兩種模型預(yù)測(cè)結(jié)果如表4所示。對(duì)AR模型與改進(jìn)的AR模型所得預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行精度對(duì)比分析，結(jié)果如表5所示。

表4 模型預(yù)測(cè)結(jié)果

表5 結(jié)果精度分析

由表5可以看出：改進(jìn)的AR模型所得預(yù)測(cè)結(jié)果的平均相對(duì)誤差、平均絕對(duì)誤差、誤差值平方和都比AR模型所得結(jié)果小。所以，基于曲線擬合的AR模型預(yù)測(cè)結(jié)果較AR模型而言，具有較高的預(yù)測(cè)精度，結(jié)果更加可靠，可以用于地鐵施工監(jiān)測(cè)中。

3 結(jié)束語(yǔ)

AR模型能夠較準(zhǔn)確對(duì)變形數(shù)據(jù)進(jìn)行分析與預(yù)報(bào)，具有一定的預(yù)測(cè)精度，可以用于工程實(shí)踐中。曲線擬合可以精確地提取出相關(guān)變形數(shù)據(jù)的趨勢(shì)向。因而，在曲線擬合的基礎(chǔ)上，建立改進(jìn)的AR模型，其結(jié)合了兩者優(yōu)勢(shì)，從而在很大程度上提高了模型的預(yù)測(cè)精度，減小了預(yù)測(cè)誤差。