多角度計(jì)算圓錐擺彈力的沖量

王 云 張 劍 牛志松

(安徽省滁州中學(xué),安徽 滁州 239000)

圖1

例題.如圖1是內(nèi)壁光滑,半頂角為θ的圓錐,離錐頂高h(yuǎn)的水平面內(nèi)一個質(zhì)量為m的小球做勻速圓周運(yùn)動.求小球從A到B經(jīng)過半個周期錐面彈力的沖量大小.

1 模型及考點(diǎn)賞析

本題是關(guān)于圓錐擺經(jīng)典題型.涉及的考點(diǎn)有向心力、沖量、動量定理、平行四邊形定則等.物理情境考查學(xué)生的空間想象能力,需要利用降維思想把三維降成二維,運(yùn)算過程考查數(shù)學(xué)方法解決物理問題能力.由于圓錐擺的彈力是變力,解題的突破口可以選擇動量定理,角動量定理等,同時(shí)利用微元思想化變?yōu)楹?

2 解題方法

方法1：利用動量定理求變力的沖量.

圖2

解析： 如圖2重力和彈力的合外力提供小球的向心力，有

mgcotθ=mω2htanθ.

(1)

解得

(2)

小球從A到B彈力在豎直方向的沖量為

(3)

彈力在水平方向的沖量由動量定理有

(4)

彈力的沖量為

(5)

評析： 利用動量定理是求解變力沖量的常用方法,同時(shí)把力、沖量利用平行四邊形定則進(jìn)行分解與合成達(dá)到化繁為簡的效果.

方法2： 圓形矢量結(jié)合多邊形定則,化矢量運(yùn)算為平面幾何運(yùn)算.

把A到B的時(shí)間等分為n(n→∞)等份,每等份時(shí)間為

(1)

如圖3是各點(diǎn)彈力在水平方向分力,如圖4利用多邊形定則把n個微元沖量ΔIx=mgcotθΔt矢量首尾相連,構(gòu)建為半徑R的半圓且有

πR=nmgcotθΔt.

(2)

所以彈力在水平方向的沖量為

(3)

彈力在豎直方向的沖量、合沖量同上.

圖3

圖4

評析： 通過多邊形定則化隱形的沖量為顯性的平面幾何,利用此方法可以求解任意一段時(shí)間彈力在水平方向的沖量.概念較前面的動量定理更進(jìn)一步,但學(xué)生更容易理解.

圖5

方法3： 利用微元思想、積分方法求解.

設(shè)圓錐擺的軌道半徑為r,角速度為ω,如圖5所示,根據(jù)對稱性Iy=0,x方向利用微積分求解.

dIx=mrω2sinβdt=mrωsinβdβ.

(1)

兩邊積分得

(2)

(3)

彈力在豎直方向的沖量、合沖量同上.

評析： 利用微元和積分方法是競賽問題比較常用、成熟的解題方法,關(guān)鍵選擇恰當(dāng)?shù)奈⒃獦?gòu)建微分方程,統(tǒng)一積分變量后確定積分變量的下限和上限.微元思想、積分方法是理解模型本質(zhì)、提升科學(xué)素養(yǎng)的絕佳機(jī)會.

方法4： 利用沖量和沖量矩的關(guān)系、角動量定理求解.

圖6

彈力在豎直方向的沖量、合沖量同上.

評析： 從角動量角度分析使學(xué)生對模型的本質(zhì)換個角度去理解,從不同角度研究模型遵循的物理規(guī)律便于構(gòu)建完整、立體的模型情境,同時(shí)尋找不同角度、不同方法、不同理論規(guī)律間的千絲萬縷聯(lián)系、共性和個性.由于小球在豎直方向滿足角動量守恒,以此為出發(fā)點(diǎn)自主招生和競賽有大量的經(jīng)典試題.

3 基于豎直方向角動量守恒的發(fā)散

圖7

例題.如圖7在半頂角為α的圓錐面內(nèi)壁離錐頂h高處以一定初速度沿內(nèi)壁水平射出一質(zhì)量為m的小球,設(shè)錐面內(nèi)壁是光滑的.(1) 為使小球在h處的水平面上做勻速圓周運(yùn)動,則初速v0為多少?(2) 若初速v1=2v0,求小球在運(yùn)動過程中的最大高度.

解析： (1) 重力和彈力的合外力提供小球的向心力，有

(1)

解得

(2)

(2) 設(shè)小球在運(yùn)動過程中距O點(diǎn)最大高度為(h+x),在最高點(diǎn)小球只有水平方向速度，由機(jī)械能守恒得

(3)

豎直方向角動量守恒,且由前面的推導(dǎo)有Jz=Jsinθ=mvhtanθ，則

mv1htanα=mv(h+x)tanα.

(4)

合并(3)、(4)式得

2gx3+(4gh-v12)x2-2h(v12-gh)x=0.

(5)

可見x=0是一個合理解,代表起點(diǎn),也是小球能達(dá)到的最低高度,消去x后構(gòu)建方程

2gx2+(4gh-v12)x-2h(v12-gh)=0.

(6)

解得

(7)

由于小球最低點(diǎn)x=0,負(fù)解舍去,代入v1=2v0可得

(8)

評析： 簡單的模型蘊(yùn)含豐富的物理信息和規(guī)律,在恰當(dāng)?shù)奈锢砬榫忱锟梢宰杂砂l(fā)散,本題的關(guān)鍵依托于前面的圓錐擺彈力的沖量分析發(fā)現(xiàn)小球的重力、彈力都在豎直平面內(nèi),所以小球在豎直方向滿足角動量守恒,利用守恒思想分析復(fù)雜的運(yùn)動有它得天獨(dú)厚的優(yōu)越性.同時(shí)依托于本題可以把圓錐面發(fā)散為球面等,如2013年第30屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽第1題.

總結(jié)： 物理問題源自生活和實(shí)踐,需要對實(shí)際問題抓住主要矛盾,進(jìn)行合理的模型化處理,把握物理模型的科學(xué)本質(zhì)和關(guān)鍵,進(jìn)而利用數(shù)學(xué)方法及進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯推理,所以物理問題分析的一般思路實(shí)際問題模型化,物理問題數(shù)學(xué)化,數(shù)學(xué)結(jié)果物理化.高考、自主招生、競賽對同一模型的能力要求雖然不一樣,但基本遵循分層學(xué)習(xí)的原則,由理想到實(shí)際,由簡單到綜合,思維體系一脈相承.