圓柱狀透鏡的趣味實(shí)驗(yàn)原理分析

廖永容 楊曉梅 肖 瑜

(寧夏大學(xué)物理與電子電氣工程學(xué)院,寧夏 銀川 750021)

本文從生活中一種常見的光現(xiàn)象出發(fā),設(shè)計(jì)了透過裝有飽和食鹽水的圓柱形塑料水杯觀察白色紙片上“單詞”的變化情況的小實(shí)驗(yàn),測量了紙片上的“單詞變身”時(shí)白色紙片、觀察者和圓柱形水杯杯壁之間的多組位置關(guān)系．并根據(jù)厚透鏡的物像公式和基點(diǎn)計(jì)算出了圓柱透鏡垂直于軸方向截面的主點(diǎn)、節(jié)點(diǎn)與圓心O3點(diǎn)重合,通過透鏡物像公式從理論上計(jì)算出了半徑為7cm折射率為1.5的圓柱形透鏡的成像范圍,分析了所成的像的變化特點(diǎn)．通過分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn),實(shí)驗(yàn)觀察到的像的變化特點(diǎn)、物與杯壁之間的位置關(guān)系和觀察者與杯壁之間的位置關(guān)系符合理論分析的成像范圍和成像特點(diǎn)．運(yùn)用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的真實(shí)性和理論探究的合理性,驗(yàn)證了單詞“變身”實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的光學(xué)原理．此外,實(shí)驗(yàn)還進(jìn)一步分析論證了在杯子中換密度不同的液體(清水、飽和糖水等)時(shí)由于折射率相差不大,所以圓柱透鏡所成的像的變化特點(diǎn)和成像范圍差異不大．

1 現(xiàn)象描述

實(shí)驗(yàn)器材如表1所示.

表1 觀察光現(xiàn)象的自組器材

實(shí)驗(yàn)步驟1:將白色紙片貼于支架上,把塑料杯放在支架的正前方,觀察者于實(shí)驗(yàn)臺(tái)前透過塑料杯平視前方調(diào)整紙片和塑料杯的位置,使字母和玻璃杯的幾何中心與觀察者的視線位于同一條直線上,如圖1所示．

圖1 加水前的英文單詞

圖2 加水后的英文單詞

實(shí)驗(yàn)步驟2:向塑料杯中加飽和食鹽水,水的高度高過紙片即可,觀察者于實(shí)驗(yàn)臺(tái)前透過塑料杯平視前方以同樣的方法觀察,發(fā)現(xiàn)單詞由now變成了won,且被放大了,此時(shí)紙片與杯壁之間的距離為8 cm,眼睛與杯壁之間的水平距離為16.2 cm,如圖2所示．

實(shí)驗(yàn)步驟3:保持字母與塑料杯的幾何中心位于同一條直線上,將紙片移動(dòng)到距離杯壁10.5 cm的地方,發(fā)現(xiàn)單詞由now變成了won,大小幾乎不變,此時(shí)眼睛與杯壁之間的水平距離為11 cm．將紙片移動(dòng)到距離杯壁20 cm的地方,發(fā)現(xiàn)單詞由now變成了won且縮小了,此時(shí)眼睛與杯壁之間的水平距離為7.5 cm．將紙片移動(dòng)到距離杯壁5.5 cm左右的地方,觀察者在任何位置都看不清單詞了,當(dāng)將紙片移動(dòng)到距離杯壁更近的位置時(shí)可以觀察到一個(gè)清晰放大的單詞now．

2 原理分析

透鏡的形狀是圓柱體或透鏡的表面是圓柱面的一部分,這種透鏡就叫做圓柱透鏡．對(duì)于任意一塊處于空氣中的圓柱形透鏡,圓柱體的對(duì)稱軸就是圓柱透鏡的軸,分析時(shí)取圓柱體垂直于對(duì)稱軸的一個(gè)截面,該截面是一個(gè)以O(shè)為圓心,半徑為R的圓面．根據(jù)高斯基點(diǎn)理論,求出處于空氣中的半徑為R,折射率為n的圓面的焦距和主點(diǎn)的位置．

假設(shè)光從左向右入射,由于r1=R,r2=-R,δ=2R,根據(jù)公式

(1)

可以得到圓面的像方焦距為

(2)

結(jié)合主點(diǎn)與頂點(diǎn)間距離的公式

(3)

和

(4)

可得p=R,p′=-R.

結(jié)果表明圓柱透鏡的物方主點(diǎn)H在頂點(diǎn)O1的右邊R處,而像方主點(diǎn)H′在頂點(diǎn)O2的左邊R處,顯然兩主點(diǎn)重合且通過圓心O,如圖3所示．

圖3 主點(diǎn)、節(jié)點(diǎn)與圓心O重合

系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)是角放大率為γ=1的一對(duì)共軛光線與主軸的交點(diǎn)．設(shè)物方節(jié)點(diǎn)K到物方焦點(diǎn)F的距離為xK,像方節(jié)點(diǎn)K′到像方焦點(diǎn)F′的距離為xK′,根據(jù)平面節(jié)點(diǎn)定義,若將這對(duì)節(jié)點(diǎn)看作一對(duì)特殊的共軛物像點(diǎn),則xK和xK′分別可視為相應(yīng)的物距和像距．根據(jù)公式

(5)

可得xK=-f,xK′=-f′.

根據(jù)圓面的對(duì)稱性知f=-f′結(jié)合(2)式得出

由此可知圓柱透鏡垂直于軸截面的主點(diǎn)、節(jié)點(diǎn)和圓心3點(diǎn)重合,即任意垂直于圓柱透鏡的軸且過截面圓心O的光線方向不發(fā)生改變．

空氣的折射率為1,飽和食鹽水的折射率為n(n=1.5),實(shí)驗(yàn)所用透明塑料杯的折射率為1.52．由于塑料杯的折射率與水的折射率只相差0.02,且杯壁厚度0.8 mm與杯子的直徑7 cm相比太小,光線在水中走的路程遠(yuǎn)大于在杯壁中走過的路程．此外,曲面塑料杯壁在很小的范圍內(nèi)可近似的看做平行塑料板,對(duì)光線只產(chǎn)生平移作用．所以分析時(shí)可以忽略塑料杯與飽和食鹽水折射率不同的影響(其實(shí)即使考慮其影響,結(jié)論也還是一樣)．

在向杯中注滿飽和食鹽水后,可將杯和飽和食鹽水整體看作一個(gè)底面半徑為3.5 cm,折射率均勻且大小為1.5的圓柱透鏡．對(duì)置于空氣中的半徑為R=3.5 cm的圓柱透鏡,同樣取垂直于軸方向的截面分析,F和F′分別為物方焦點(diǎn)和像方焦點(diǎn),根據(jù)(6)式可得出該截面的物方焦距和像方焦距分別為f=-5.25 cm,f′=5.25 cm．

圖4 物AB反向縮小

當(dāng)s=2f,即s=-10.5時(shí),s′=10.5,物AB發(fā)出的光經(jīng)圓柱透鏡兩次折射后成倒立等大的實(shí)像A′B′,如圖5所示．

圖5 物AB反向等大

當(dāng)2f10.5,物AB發(fā)出的光經(jīng)圓柱透鏡兩次折射后成倒立放大的實(shí)像A′B′,如圖6所示．

圖6 物AB反向放大

當(dāng)s=f,即s=-5.25時(shí),s′=+∞,物AB發(fā)出的光經(jīng)圓柱透鏡兩次折射后光線平行射出不成像,如圖7所示．

圖7 物距等于物方焦距時(shí)不成像

當(dāng)f

圖8 物距小于物方焦距時(shí)成虛像

物距像距像的性質(zhì)放大或縮小倒立或正立實(shí)像或虛像 s<2f(s<-10.5)f′2f′(s′>10.5)放大倒立實(shí)像s=f(s=-5.25)s′=+∞不成像 f

人眼能夠看見物體,是因?yàn)檎丈湓谖矬w上的光線反射到了人眼中,由物體反射的光線經(jīng)過圓柱透鏡后會(huì)在特定的位置匯聚成像,當(dāng)人眼在光線匯聚的位置附近透過圓柱透鏡觀察時(shí)便能看見像了．通過以上計(jì)算可知當(dāng)物體在O1點(diǎn)左側(cè)的距離發(fā)生變化時(shí),像的性質(zhì)也隨之發(fā)生變化,下面將圓柱透鏡垂直于軸方向截面的成像規(guī)律進(jìn)行總結(jié)并做成圖表形式,具體如表2.

3 實(shí)驗(yàn)拓展

本實(shí)驗(yàn)還另外設(shè)計(jì)了兩種情況:采用密度不同的液體(清水與飽和白糖水)以探究這種圓柱狀透鏡的成像規(guī)律是否會(huì)受到杯中液體的密度不同的影響．理論分析:實(shí)驗(yàn)時(shí)在塑料杯中換不同密度的液體相當(dāng)于改變透鏡的折射率,選用折射率為1.33的水和折射率為1.4的飽和白糖水進(jìn)行驗(yàn)證,計(jì)算得出使用清水和飽和白糖水與使用飽和食鹽水時(shí),若取物距相同且成像性質(zhì)相同的位置,則像距的之差約在1.75～3.6 cm之間．然后用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證:用清水和飽和白糖水進(jìn)行實(shí)驗(yàn)觀察得到的像的變化特點(diǎn)、物與塑料杯壁之間的位置關(guān)系和觀察者與塑料杯壁之間的位置關(guān)系差異不大,由此再次驗(yàn)證了理論計(jì)算的合理性.

4 結(jié)束語

物理教學(xué)的目的是不僅要學(xué)生在學(xué)習(xí)物理知識(shí)的過程中逐漸形成的正確價(jià)值觀、必備品格和關(guān)鍵能力,更要學(xué)生在經(jīng)歷與科學(xué)家們探索科學(xué)知識(shí)相似的過程中,培養(yǎng)學(xué)生對(duì)科學(xué)知識(shí)的熱愛,探索科學(xué)知識(shí)的精神．通過本次對(duì)裝有飽和食鹽水的水杯圓柱透鏡的成像規(guī)律分析,希望鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)生活中常見的現(xiàn)象和問題能勇于探索,勤于實(shí)踐,以提高學(xué)生的自主創(chuàng)新意識(shí),發(fā)展學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和獨(dú)立研究能力．