子午線收斂角和長(zhǎng)度比復(fù)變函數(shù)表示的實(shí)數(shù)解

金立新，魏桂華，許常文

(1. 中鐵第一勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司，陜西 西安 710043；2. 甘肅鐵道綜合工程勘察院有限公司，甘肅 蘭州 730000)

高斯投影是等角橫切橢圓柱投影，其必須滿足3個(gè)條件[1-3]:高斯投影為正形投影，即等角投影；中央子午線投影后為直線，且為投影的對(duì)稱軸；中央子午線投影后長(zhǎng)度不變。

有些學(xué)者研究了用復(fù)變函數(shù)表示的高斯投影[4-6]正反解，公式比較簡(jiǎn)潔，但需要復(fù)數(shù)迭代。文獻(xiàn)[7]給出了基于復(fù)數(shù)等角緯度、復(fù)數(shù)底點(diǎn)緯度表示的高斯投影復(fù)變函數(shù)非迭代解，但復(fù)變函數(shù)只能用專用軟件計(jì)算，故推廣使用受到一定影響。文獻(xiàn)[8—9]研究了復(fù)變函數(shù)表示的球面高斯投影公式，并給出了與橫墨卡托公式的等價(jià)性證明。文獻(xiàn)[10]研究了復(fù)變函數(shù)表示的高斯投影近似式，其特征是采用了橢球面在球面的局部描寫(xiě)，且計(jì)算精度較低，只能達(dá)到0.3 m。文獻(xiàn)[11]在文獻(xiàn)[7]的基礎(chǔ)上，給出了高斯投影正反解復(fù)變函數(shù)表示的實(shí)數(shù)解，也給出了高斯投影正解子午線收斂角和長(zhǎng)度比的實(shí)數(shù)解，但未給出反解子午線收斂角和長(zhǎng)度比的實(shí)數(shù)解。

本文在文獻(xiàn)[12]的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究長(zhǎng)度比和子午線收斂角的實(shí)數(shù)解公式。子午線弧長(zhǎng)對(duì)等量緯度q的導(dǎo)數(shù)和子午線弧長(zhǎng)對(duì)等角緯度φ的導(dǎo)數(shù)分別為

(1)

對(duì)式(1)進(jìn)行解析開(kāi)拓，即有復(fù)數(shù)平面坐標(biāo)對(duì)復(fù)數(shù)等量緯度的導(dǎo)數(shù)函數(shù)[4-7]，復(fù)數(shù)平面坐標(biāo)對(duì)復(fù)數(shù)等角緯度Φ的導(dǎo)數(shù)函數(shù)[4-7]，也都是解析函數(shù)，公式為

(2)

式(2)即解析函數(shù)的復(fù)數(shù)歸化緯度表示。式中，z=x+iy為復(fù)數(shù)平面坐標(biāo)；w=q+il為復(fù)數(shù)等量緯度。將U定義為復(fù)數(shù)歸化緯度，cosU為復(fù)數(shù)歸化緯度的余弦函數(shù)。

用復(fù)變函數(shù)的觀點(diǎn)看，長(zhǎng)度比和子午線收斂角是解析函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)[4-7]。顧及r=acosu，則式(2)變化為

(3)

式(3)即解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的復(fù)數(shù)歸化緯度表示。式中，m、γ分別為長(zhǎng)度比、子午線收斂角，即

子午線收斂角取負(fù)號(hào)，是由于復(fù)變函數(shù)的方向定義與高斯投影定義的方向相反。由此可見(jiàn)，欲求得長(zhǎng)度比和子午線收斂角，關(guān)鍵是求得歸化緯度和復(fù)數(shù)歸化緯度的表達(dá)式。

1 正解歸化緯度公式推導(dǎo)

橢球面到平面的正形投影基本方程[12-14]為

z=x+iy=f(q+il)=f(w)

(4)

由復(fù)數(shù)等角緯度計(jì)算的高斯坐標(biāo)公式[7]為

(5)

根據(jù)文獻(xiàn)[11]，復(fù)數(shù)等角緯度的虛實(shí)部分開(kāi)形式為

(6)

虛實(shí)部分開(kāi)，即有高斯平面坐標(biāo)[11]為

(7)

式中系數(shù)參見(jiàn)式(41)。N為系數(shù)項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，式(41)中N=5，實(shí)際上可以達(dá)到N=8。

由式(6)中的?x、?y對(duì)等量經(jīng)度、等量緯度l、q分別求導(dǎo)數(shù)，可得

由式(7)對(duì)復(fù)數(shù)等角緯度的虛實(shí)部分別求導(dǎo)數(shù)

由式(7)對(duì)等量經(jīng)度、等量緯度l、q分別求導(dǎo)數(shù)

不難驗(yàn)證

表明高斯平面坐標(biāo)表達(dá)為等量大地坐標(biāo)的函數(shù)，是解析函數(shù)，滿足柯西黎曼條件，是正形投影。即滿足了高斯投影正解的第一個(gè)條件。

中央子午線成為縱坐標(biāo)軸，縱坐標(biāo)即為子午線弧長(zhǎng)。顧及tanφ=sinhq，則有

即滿足了高斯投影正解的第二個(gè)條件。

此時(shí)有平行圈半徑(等量緯度表示)為

(8)

由式(8)，顧及r=acosu，得歸化緯度(等量緯度表示)為

(9)

由式(10)得歸化緯度(等角緯度表示)為

(10)

由式(10)，等角緯度表示的歸化緯度，變化為

(11)

利用余弦函數(shù)積化和差公式

式(10)變化為

進(jìn)一步歸納為

(12)

式中，m1=(j0+j2)；m3=(j2+2j4)；m5=(2j4+3j6)；m7=(3j6+4j8)；m9=(4j8+5j10)。

2 正解子午線收斂角和長(zhǎng)度比

正解中，欲求得子午線收斂角和長(zhǎng)度比，關(guān)鍵是將等量緯度、等角緯度表示的歸化緯度解析開(kāi)拓為復(fù)數(shù)歸化緯度。

式(12)解析開(kāi)拓為復(fù)數(shù)歸化緯度余弦，并顧及式(6)，有

(13)

利用復(fù)數(shù)三角函數(shù)公式

cos[(2n-1)(?x+i?y)]=cos(2n-1)?xcosh(2n-1)?y-

isin(2n-1)?xsinh(2n-1)?y

并令

(14)

式(13)虛實(shí)部分開(kāi)，即有

cosU=M-iN

(15)

式(15)代入式(3)，即有

(16)

則長(zhǎng)度比、子午線收斂角分別為

(17)

(18)

式(17)、式(18)即為由等量坐標(biāo)q、l表示的長(zhǎng)度比和子午線收斂角。

對(duì)于中央子午線，有

(19)

式(19)表明在中央子午線上，尺度比為1，即滿足了高斯投影正解的第三個(gè)條件。

對(duì)于赤道，有

長(zhǎng)度比隨著經(jīng)度增加而增大，隨著緯度增加而減小。子午線收斂角隨著經(jīng)度增加而增大，隨著緯度增加而增大。中央子午線上長(zhǎng)度比為1，為最小值，離開(kāi)中央子午線，均大于1。中央子午線及赤道上，子午線收斂角均為0。

3 反解歸化緯度公式推導(dǎo)

平面到橢球面的正形投影基本方程為

W=q+il=F(x+iy)=F(Z)

(20)

由等角緯度計(jì)算的等距離緯度計(jì)算式為

(21)

由等距離緯度計(jì)算的等角緯度計(jì)算式為

(22)

由復(fù)數(shù)等距離緯度計(jì)算的復(fù)數(shù)等角緯度計(jì)算式為

(23)

或

(24)

利用公式

(25)

式(24)虛實(shí)部分開(kāi)，即有

(26)

式中系數(shù)參見(jiàn)式(42)。N為系數(shù)項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，式(42)中N=5，實(shí)際上可以達(dá)到N=8。

則有等量緯度、等量經(jīng)度為

(27)

然后，由等角緯度與等量緯度的關(guān)系，計(jì)算等角緯度

(28)

由式(12)歸化緯度與等角緯度的關(guān)系，計(jì)算歸化緯度

(29)

式(29)進(jìn)一步歸納為

(30)

從式中可以看出，歸化緯度依賴于高斯平面坐標(biāo)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)。式(30)可以直接求取歸化緯度，進(jìn)而求得大地緯度。方法是利用大地緯度與歸化緯度的閉合公式，如下

(31)

由式(27)，等量緯度、等量經(jīng)度分別對(duì)復(fù)數(shù)等角緯度虛、實(shí)部求導(dǎo)，得

由式(26)，等角緯度虛實(shí)部分別對(duì)高斯平面坐標(biāo)求導(dǎo)，得

由式(27)，等量緯度、等量經(jīng)度分別對(duì)高斯平面坐標(biāo)求導(dǎo)，得

不難驗(yàn)證

即式(27)滿足柯西黎曼條件，即滿足了高斯投影反解的第一個(gè)條件。

縱坐標(biāo)軸成為中央子午線，顧及tanφ=sinhq，則有

橫坐標(biāo)軸成為赤道，有

即滿足了高斯投影反解的第二個(gè)條件。

4 反解子午線收斂角和長(zhǎng)度比

反解中，欲求得子午線收斂角和長(zhǎng)度比，關(guān)鍵是將等距離緯度、高斯投影平面坐標(biāo)表示的歸化緯度解析開(kāi)拓為復(fù)數(shù)歸化緯度。

式(30)解析開(kāi)拓為復(fù)數(shù)歸化緯度余弦，并顧及式(6)，有

(32)

根據(jù)文獻(xiàn)[11]，復(fù)數(shù)等角緯度的虛實(shí)部分開(kāi)形式為

(33)

利用復(fù)數(shù)三角函數(shù)公式

cos[(2n-1)(φx+iφy)]=cos(2n-1)φxcosh(2n-1)φy-

isin(2n-1)φxsinh(2n-1)φy

式(32)虛實(shí)部分開(kāi)，即有

cosU=P-iQ

(34)

并令

(35)

式(34)代入式(3)，即有

(36)

長(zhǎng)度比、子午線收斂角分別為

(37)

(38)

對(duì)于中央子午線，有

(39)

式(39)表明在中央子午線上，尺度比為1，即滿足了高斯投影反解的第三個(gè)條件。

對(duì)于赤道，有

長(zhǎng)度比隨著橫坐標(biāo)增加而增大，隨著縱坐標(biāo)增加而減小。子午線收斂角隨著橫坐標(biāo)增加而增大，隨著縱坐標(biāo)增加而增大。中央子午線上長(zhǎng)度比為1，為最小值，離開(kāi)中央子午線，均大于1。中央子午線及赤道上，子午線收斂角均為0。

5 步驟及算例

5.1 高斯投影正解的計(jì)算步驟

首先，由大地緯度B計(jì)算等量緯度

q=arctanh(sinB)-e·arctanh(esinB)

(40)

其次，根據(jù)式(6)，由等量大地坐標(biāo)q、l求出復(fù)數(shù)等角緯度Φ的虛實(shí)部分開(kāi)形式?x、?y。

然后，由式(10)計(jì)算歸化緯度余弦。由式(14)計(jì)算復(fù)數(shù)歸化緯度余弦的虛實(shí)部，即過(guò)渡變量M、N。

正解系數(shù)為

(41)

最后，由式(17)、式(18)計(jì)算長(zhǎng)度比、子午線收斂角。

5.2 高斯投影反解的計(jì)算步驟

首先，計(jì)算底點(diǎn)緯度半徑R=aj0。

其次，由式(25)計(jì)算復(fù)數(shù)等角緯度的虛實(shí)部分開(kāi)形式φx、φy。由式(29)、式(30)計(jì)算歸化緯度余弦、等量經(jīng)度cosu、l。

反解系數(shù)為

(42)

然后，由式(31)計(jì)算大地緯度，由式(36)計(jì)算過(guò)渡變量P、Q。

最后，由式(38)、式(40)計(jì)算長(zhǎng)度比、子午線收斂角。

5.3 算 例

采用CGCS2000橢球元素，利用本文推導(dǎo)的公式，編制mathematica計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)程序，按照先正解、后反解的順序，計(jì)算幾個(gè)點(diǎn)的長(zhǎng)度比和子午線收斂角，結(jié)果見(jiàn)表1。

從表1可以看出：反解的長(zhǎng)度比和子午線收斂角與正解的長(zhǎng)度比和子午線收斂角，完全一致。

6 結(jié) 論

(1) 本文定義了復(fù)數(shù)平行圈半徑、復(fù)數(shù)歸化緯度，補(bǔ)充了高斯投影復(fù)數(shù)理論，豐富了高斯投影理論。

(2) 給出了正反解長(zhǎng)度比、子午線收斂角的新公式，對(duì)于研究高斯投影的機(jī)理、性質(zhì)有一定意義。

(3) 基于復(fù)數(shù)緯度的實(shí)數(shù)解，突破經(jīng)典高斯投影帶寬的限制，適應(yīng)半帶寬可非常接近90°，可以實(shí)現(xiàn)圖形信息的連續(xù)表達(dá)，對(duì)于高斯投影理論有一定改善。

表1 計(jì)算結(jié)果