堪培拉指數(shù)與基尼系數(shù)的不平等測(cè)度比較

韓秀蘭，張 楠

（山西財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)學(xué)院，太原 030006）

0 引言

不平等指數(shù)作為不平等測(cè)度的重要方法，相關(guān)研究十分豐富。自Gini（1914）提出基尼系數(shù)后，眾多學(xué)者構(gòu)造了一系列新指數(shù)來(lái)測(cè)度不平等，這些指數(shù)主要包括Bonferroni指數(shù)（1930）[1]、Vergottini指數(shù)（1940）[2]、Atkinson 指 數(shù)（1970）[3]、泰爾指數(shù)（1973）[4]以及Zenga指數(shù)（2007）[5]等。

不平等指標(biāo)如果具有較優(yōu)良的特性，就能以更好的方式來(lái)測(cè)量不平等。目前，一些具有較優(yōu)良特性的不平等指標(biāo)并沒(méi)有得到應(yīng)有的重視。比如堪培拉（Canberra）指數(shù)，該指數(shù)基于堪培拉距離衡量不平等，其良好性能由Subramanian（2012）[6]在測(cè)度洛倫茨曲線間的混亂程度時(shí)首次闡釋，國(guó)外文獻(xiàn)有許多相關(guān)的理論探討和實(shí)證應(yīng)用，但堪培拉指數(shù)在中國(guó)尚未引起人們的關(guān)注。本文將堪培拉指數(shù)與傳統(tǒng)的基尼系數(shù)進(jìn)行比較，系統(tǒng)地探討堪培拉指數(shù)對(duì)不平等的度量。

1 堪培拉指數(shù)

1.1 符號(hào)定義

為了以較統(tǒng)一的方式給出不平等指數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，有必要首先對(duì)基本符號(hào)進(jìn)行定義。

非負(fù)、升序排列的n維收入向量：x=(x1…xi…xn)；

收入升序排列的前i個(gè)人的累積人口比例：pi=i/n；

前i個(gè)人的累積收入：時(shí)，累積收入為總收入T(x)；

前i個(gè)人的累積收入比例：L(Pi)=Qi(x)/T(x)；

前i個(gè)人的平均收入：μi=Qi(x)/i；

總平均收入：μ=T(x)/n。

1.2 堪培拉指數(shù)

堪培拉（Canberra）指數(shù)是國(guó)際上最新的不平等測(cè)度指標(biāo)，是將堪培拉距離函數(shù)引入經(jīng)濟(jì)和社會(huì)領(lǐng)域來(lái)測(cè)度不平等。n維向量a和b間堪培拉距離的定義為：

對(duì)于升序排列的n維非負(fù)收入向量x=(x1…xi…xn)，平等分配時(shí)每個(gè)人的收入都相同，相應(yīng)的收入向量為μx=(μ1…μi…μn)，μi=μ，Subramanian（2012）[6]基于堪培拉距離函數(shù)構(gòu)造的不平等指數(shù)稱為堪培拉指數(shù)：

顯然，堪培拉指數(shù)是收入升序排列的前i個(gè)人的平均收入與總體平均收入之間相對(duì)差距的平均值。Subramanian（2012）[6]將DC(x)=[μ-μi(x)]/[μ+μi(x)]，x∈[0，μ]定義為堪培拉剝奪函數(shù)，Mirzaei等（2017）[7]進(jìn)一步將堪培拉剝奪函數(shù)定義為堪培拉曲線（見圖1）：

圖1堪培拉曲線

如果總體中所有個(gè)體具有相同的收入，則μ=μi、p=L(p)，堪培拉曲線與連接坐標(biāo)點(diǎn)（0,0）、（1,0）的平等線重合，因此，堪培拉指數(shù)可定義為堪培拉曲線以下的面積：

顯然，堪培拉指數(shù)的值域?yàn)閇0,1]。

1.3 基尼系數(shù)

基尼系數(shù)是應(yīng)用最廣泛的傳統(tǒng)不平等指標(biāo)，其定義基于洛倫茲曲線函數(shù)L(p)，該函數(shù)指收入升序排列后一定人口累積分位數(shù)所對(duì)應(yīng)的收入累積分位數(shù)（見圖2），可表示為：

圖2洛倫茲曲線

洛倫茨曲線始終低于代表完全平等的對(duì)角線（圖中450線）I(p)=p，p∈[0，1]，任何與對(duì)角線之間的偏差都代表存在一定程度的不平等，因此基尼系數(shù)可表示為：

可以看出，式（6）所示的基尼系數(shù)也是基于某種意義的距離來(lái)表示不平等，該距離是對(duì)角線I(p)=p和洛倫茨曲線L(p)之間的距離。基尼系數(shù)的值域?yàn)閇0,1]。

2 堪培拉指數(shù)與基尼系數(shù)的比較分析

堪培拉指數(shù)與基尼系數(shù)的提出雖然相隔一個(gè)世紀(jì)之久，卻有諸多相似之處，兩指數(shù)都體現(xiàn)“距離”的概念，存在相應(yīng)的不平等曲線，具有相似的幾何意義。由于兩指數(shù)的構(gòu)造思想不同，對(duì)不同收入群體的敏感性不同，導(dǎo)致滿足的公理化要求和相應(yīng)的分解方式也有所區(qū)別。

2.1 測(cè)度敏感性比較

對(duì)比堪培拉指數(shù)的積分表達(dá)式（4）與基尼系數(shù)的積分表達(dá)式（6），如果收入完全平等分配，所有人口累積分位數(shù)等于對(duì)應(yīng)的收入累積分位數(shù)，即p=L(p)，則有C=G=0；通常情況下堪培拉指數(shù)和基尼系數(shù)的值都大于0，但兩者不相等。

將式（2）的堪培拉指數(shù)加和形式進(jìn)一步展開，堪培拉指數(shù)還可表示為：

Sen（1973）[8]將基尼系數(shù)表示為：

將式（7）和式（8）對(duì)比可知，對(duì)于每個(gè)i=1，…，n，收入水平xi重復(fù)n+1-i次，收入最低的xi重復(fù)了n次，收入最高的xn重復(fù)了1次?？芭嗬笖?shù)和基尼系數(shù)都體現(xiàn)出一種特殊的隨著收入排名的提高而觀測(cè)值出現(xiàn)次數(shù)遞減的布局結(jié)構(gòu)，由于兩者構(gòu)造的方法不同，考慮的收入差異對(duì)比的標(biāo)準(zhǔn)不同，盡管具有相似的布局結(jié)構(gòu)，兩者對(duì)升序排列的不同累積分位數(shù)群體的收入差異敏感度仍然不同。

為了對(duì)比分析，將式（4）所示的堪培拉指數(shù)與式（6）所示的基尼系數(shù)統(tǒng)一變換為：

與基尼系數(shù)一樣，堪培拉指數(shù)的核心部分也是p-L(p)，如前文所述，這部分是完全平等分配累積收入份額p與實(shí)際累積收入份額L(p)的差額，兩種指數(shù)賦予該差額以不同的權(quán)重，基尼系數(shù)中的權(quán)重wG(p)為常數(shù)2，而堪培拉指數(shù)中的權(quán)重wC(p)=1/[p+L(p)]隨著累積收入分位數(shù)的上升而遞減?；嵯禂?shù)和堪培拉指數(shù)權(quán)重的這種差異意味著前者對(duì)累積收入分位數(shù)中部的收入差距比較敏感，而后者對(duì)累積收入分位數(shù)低處的收入差距比較敏感。

2.2 滿足的公理化性質(zhì)比較

不平等度量指標(biāo)需要滿足某些公理化要求，以保證其良好的測(cè)量性質(zhì)，這些公理如表1所示。

表1 不平等測(cè)度指數(shù)的性質(zhì)

不平等度量指標(biāo)通常滿足的公理越多（兩種不平等測(cè)度指數(shù)所滿足性質(zhì)的證明過(guò)程有大量的文獻(xiàn)對(duì)此關(guān)注，鑒于篇幅限制，本文將其略去），越能得到較廣泛的認(rèn)可?？芭嗬笖?shù)滿足表中所有的公理：齊次性、弱轉(zhuǎn)移性、強(qiáng)轉(zhuǎn)移性、人口對(duì)稱性和可加性，而基尼系數(shù)不滿足強(qiáng)轉(zhuǎn)移公理。另外，兩種指數(shù)雖然都滿足可加性，但堪培拉指數(shù)的分解更簡(jiǎn)潔，解釋能力更強(qiáng)。

基尼系數(shù)和洛倫茲曲線的組合可以用直觀的形式來(lái)表達(dá)不平等，作為最經(jīng)典的不平等測(cè)度方式，具有很強(qiáng)的理論和實(shí)際意義。然而，基尼系數(shù)對(duì)低收入群體沒(méi)有給予足夠的重視，不滿足強(qiáng)轉(zhuǎn)移公理要求，這也是基尼系數(shù)存在的較大缺陷。因此，滿足強(qiáng)轉(zhuǎn)移原則的堪培拉指數(shù)更應(yīng)作為測(cè)度不平等的重要工具，以表達(dá)更多關(guān)注窮人的福利思想。

2.3 可加性比較

不平等指數(shù)的可加性可用于揭示不平等的構(gòu)成，所得結(jié)論具有更直接的政策指導(dǎo)意義，堪培拉指數(shù)指數(shù)和基尼系數(shù)的構(gòu)造不同，具有不同的分解方式，本文以不平等的人口構(gòu)成子組分解為例進(jìn)行對(duì)比。

設(shè)總體可根據(jù)一定的特征（比如性別、城鄉(xiāng)、地域等特征）分為k個(gè)子組，Subramanian（2012）[6]通過(guò)建立子組和總體間的映射，將堪培拉指數(shù)按子組分解為：

其中fg表示各子組人口份額，/(μ+μgi)為各子組的堪培拉指數(shù)，其中ng為各子組的個(gè)體數(shù)，μgi為各子組與總體相對(duì)應(yīng)的前i個(gè)人收入平均值。顯然，堪培拉總不平等測(cè)度是子組不平等測(cè)度的加權(quán)和，相應(yīng)權(quán)重是各子組對(duì)應(yīng)的人口份額。

Dagum（1997）[9]給出以下基尼系數(shù)的分解公式：

上面方程中，fg和sg分別為g組人口份額和收入份額。方程（13）測(cè)量子組間存在的不平等，表示為任意兩子組間基尼系數(shù)Glg=Δlg/(μl+μg)與其人口比重和收入比重的加權(quán)和，為任意兩組間的平均絕對(duì)差異；方程（14）是組內(nèi)不平等，組間不平等GTB又可進(jìn)一步表示為組間不平等的凈貢獻(xiàn)GNB和組間交叉項(xiàng)GC之和：

可見，由于兩種指數(shù)的構(gòu)造方法不同，分解方式也不同，相比之下，基尼系數(shù)子組分解顯得過(guò)于復(fù)雜，并且相應(yīng)的分解除了組內(nèi)不平等和組間凈不平等外，存在組間交叉項(xiàng)等難以解釋的余項(xiàng)，而堪培拉指數(shù)可直接分解為各組不平等指數(shù)的加權(quán)和，更簡(jiǎn)潔明了。

3 基于堪培拉指數(shù)的不平等測(cè)度實(shí)證

3.1 數(shù)據(jù)與指標(biāo)

應(yīng)用實(shí)際微觀數(shù)據(jù)對(duì)堪培拉指數(shù)和基尼系數(shù)進(jìn)行實(shí)證可以更好地理解堪培拉指數(shù)的優(yōu)勢(shì)。本文實(shí)證所用微觀數(shù)據(jù)為CFPS數(shù)據(jù)①CFPS為北京大學(xué)中國(guó)社會(huì)科學(xué)調(diào)查中心實(shí)施的中國(guó)家庭追蹤調(diào)查。，該數(shù)據(jù)覆蓋全國(guó)，專注于中國(guó)居民家庭的經(jīng)濟(jì)與非經(jīng)濟(jì)福利指標(biāo)，該調(diào)查于2010年正式啟動(dòng)，最新數(shù)據(jù)可提供至2014年，家庭收入數(shù)據(jù)的調(diào)查是針對(duì)上一年度的。

本文對(duì)2010年和2014年家庭人均純收入的不平等進(jìn)行分析，所有數(shù)據(jù)采用2010年價(jià)格進(jìn)行了可比折算。CFPS在2010年和2014年提供的家戶樣本數(shù)分別為14798和13946②為了增加對(duì)Canberra不平等指數(shù)測(cè)度方法理解的直觀性，本文實(shí)證沒(méi)有考慮CFPS數(shù)據(jù)的樣本權(quán)重。，排除了缺少實(shí)證所需相關(guān)信息的樣本，兩年的最終家戶樣本量分別為13902和12917③統(tǒng)計(jì)軟件計(jì)算不平等指數(shù)時(shí)不考慮0收入數(shù)據(jù)，而0收入家庭又大量存在，直接刪除該樣本會(huì)造成估計(jì)的偏差，本文以0.00001代替所有的0收入，保證了樣本數(shù)，又不至于影響估計(jì)結(jié)果。，農(nóng)村樣本約占到52%。中國(guó)家庭的人均純收入4年間經(jīng)歷了較大幅度的增長(zhǎng)，絕對(duì)水平從10137元上升到14066元（見表2），保持了8.5%以上的年均增長(zhǎng)率。但收入增長(zhǎng)的不平衡性是存在的，家庭人均純收入的平均值遠(yuǎn)高于中位數(shù)，考察的每個(gè)年份，收入分布都表現(xiàn)出較明顯的右偏性。

表2 中國(guó)家庭人均純收入基本描述統(tǒng)計(jì)和不平等測(cè)度 （單位：元）

3.2 堪培拉指數(shù)與基尼系數(shù)的實(shí)證測(cè)度結(jié)果對(duì)比

首先對(duì)比度量值的絕對(duì)水平。2009年和2013年，中國(guó)家庭人均收入基尼系數(shù)值分別為0.5513和0.5272④本文基尼系數(shù)測(cè)度實(shí)證時(shí)沒(méi)有考慮樣本權(quán)重，而且包含0收入家庭，這可能導(dǎo)致不平等測(cè)度結(jié)果偏大。，堪培拉指數(shù)值分別為0.5615和0.5555，兩者的測(cè)度水平值雖有所差別，但變化的趨勢(shì)是一致的，兩者均表明在2009—2013年間中國(guó)家庭人均收入存在較高程度的不平等，但兩種不平等測(cè)度值都有所下降。

從動(dòng)態(tài)角度看，兩種曲線揭示出不平等演變的不同細(xì)節(jié)。兩個(gè)年份的洛倫茨曲線（見下頁(yè)圖3）在0＜p＜0.48范圍的低收入部分幾乎重合，位于0.48＜p＜1范圍內(nèi)的洛倫茨曲線明顯上移，可以得出，總不平等的下降主要?dú)w因于較高收入群體的收入與平均收入的差距縮小引起的不平等下降；堪培拉曲線顯示了不同于倫茨曲線的細(xì)節(jié)特征?？芭嗬€（見下頁(yè)圖4）顯示，2009—2013年，位于0.48＜p＜1范圍的較高收入群體的堪培拉曲線明顯下移，意味著不平等程度的降低，而位于0＜p＜0.48范圍內(nèi)的較低收入群體的堪培拉曲線卻發(fā)生明顯的上移，意味著不平等程度的上升，較高收入群體的不平等降低略高于較低收入群體的不平等上升導(dǎo)致了堪培拉指數(shù)值度量的總體不平等程度下降。對(duì)于中國(guó)家庭人均純收入總體不平等在2009—2013年間的這種動(dòng)態(tài)演變特征：總體不平等程度有所下降，但低收入群體狀況更加惡化，不同群體的細(xì)節(jié)特征在洛倫茨曲線中難以觀察到，但在堪培拉曲線中卻包含了更多的信息，因此，與洛倫茨曲線相比，堪培拉曲線更加關(guān)注較低收入群體，與基尼系數(shù)相比，堪培拉指數(shù)提供了有關(guān)不平等動(dòng)態(tài)演變的更多細(xì)節(jié)。

圖3中國(guó)家庭人均純收入樣本洛倫茨曲線

圖4中國(guó)家庭人均純收入樣本堪培拉曲線

3.3 堪培拉指數(shù)與基尼系數(shù)的不平等分解比較

為簡(jiǎn)單起見，根據(jù)2014年的CFPS數(shù)據(jù)，本文將總體劃分為城市和鄉(xiāng)村兩個(gè)子組，用于不平等的子組分解研究?？芭嗬笖?shù)子組分解沒(méi)有組間的交叉項(xiàng)，相應(yīng)分解結(jié)果顯得簡(jiǎn)單明了。城市家庭人均純收入堪培拉指數(shù)小于農(nóng)村，考慮城鄉(xiāng)人口份額后，城市和農(nóng)村不平等對(duì)總不平等的貢獻(xiàn)率分別為46%和54%（見表3）。

表3 2013年中國(guó)家庭人均純收入堪培拉指數(shù)的城鄉(xiāng)不平等樣本分解結(jié)果

與堪培拉指數(shù)的城鄉(xiāng)不平等加和分解相比，基尼系數(shù)的分解過(guò)于復(fù)雜。城市的基尼系數(shù)略低于農(nóng)村，城市和農(nóng)村組內(nèi)不平等、組間凈不平等和組間交叉項(xiàng)對(duì)總不平等的貢獻(xiàn)分別為47%、28%和25%（見表4），基尼系數(shù)城鄉(xiāng)分解過(guò)程中城鄉(xiāng)間交叉項(xiàng)的存在導(dǎo)致基尼系數(shù)不能簡(jiǎn)單表示為城市和農(nóng)村不平等的加權(quán)和形式。

另外，堪培拉指數(shù)度量的城鄉(xiāng)間不平等具有很大的差別，而基尼系數(shù)的城鄉(xiāng)差異微乎其微，這是由于堪培拉指數(shù)對(duì)較低收入群體的收入差異更為敏感。如果社會(huì)中的弱勢(shì)群體更應(yīng)值得關(guān)注，基尼系數(shù)有可能低估組間不平等差異。

表4 2013年中國(guó)家庭人均純收入基尼系數(shù)的城鄉(xiāng)不平等樣本分解結(jié)果

4 結(jié)論和建議

與基尼系數(shù)相比，堪培拉指數(shù)的特性更優(yōu)異，主要是因?yàn)樗鼭M足強(qiáng)轉(zhuǎn)移公理要求，更適合分析較低收入群體的不平等現(xiàn)狀和相關(guān)政策效應(yīng)；與洛倫茨曲線相比，堪培拉曲線可以展現(xiàn)關(guān)于不平等動(dòng)態(tài)演化的更多細(xì)節(jié)，而基尼系數(shù)則有可能低估組間的不平等差異。

不平等的測(cè)度是度量社會(huì)公平性的重要參照，當(dāng)前世界分化動(dòng)蕩加劇，貧富差距進(jìn)一步加大，而基尼系數(shù)并不能充分體現(xiàn)這種社會(huì)分化。對(duì)中國(guó)而言，減少貧困和緩解不平等是當(dāng)前社會(huì)和經(jīng)濟(jì)發(fā)展的重要戰(zhàn)略目標(biāo)，減少不平等的相關(guān)政策應(yīng)該更多地關(guān)注低收入群體，而我國(guó)現(xiàn)有不平等方面的測(cè)度及相關(guān)的政策效應(yīng)研究大都以基尼系數(shù)為參照，盡管堪培拉指數(shù)在國(guó)際上得到廣泛認(rèn)可，但在我國(guó)卻很少得到關(guān)注。應(yīng)該與國(guó)際接軌，結(jié)合中國(guó)實(shí)際，選擇性質(zhì)更優(yōu)良、對(duì)低福利群體更敏感、能揭示不平等動(dòng)態(tài)演變更多細(xì)節(jié)、能合理體現(xiàn)子組間不平等差異的堪培拉指數(shù)作為不平等統(tǒng)計(jì)測(cè)度的重要方法工具。