自相關(guān)過程的EWMA殘差控制圖的設(shè)計(jì)與性能評價(jià)

尚云艷，郭鵬江,夏志明

（1.西京學(xué)院a.理學(xué)院；b.科研處；2.西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，西安 710123）

0 引言

統(tǒng)計(jì)過程控制（SPC）已在制造業(yè)得到了廣泛應(yīng)用，相關(guān)研究已比較成熟，其目的是用來監(jiān)控生產(chǎn)過程，檢測異常波動(dòng)，尋找并消除產(chǎn)生異常波動(dòng)的原因。控制圖是實(shí)施過程監(jiān)控的有效工具，它的使用基于一個(gè)重要的假設(shè)，即過程受控時(shí)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)是獨(dú)立且服從正態(tài)分布的。但是實(shí)際數(shù)據(jù)通常表現(xiàn)出某種程度的自相關(guān)性[1]，如宏觀經(jīng)濟(jì)、金融數(shù)據(jù)等均表現(xiàn)出不同程度的相關(guān)性。在違背獨(dú)立性假設(shè)的情況下，如果在原始數(shù)據(jù)上直接應(yīng)用傳統(tǒng)控制圖，則會(huì)使得控制圖的誤報(bào)率增加。為更有效地監(jiān)控生產(chǎn)過程，眾多學(xué)者提出殘差控制圖，即先擬合自相關(guān)過程的時(shí)間序列模型，再利用擬合模型的殘差相互獨(dú)立且服從正態(tài)分布的特性，以傳統(tǒng)控制圖直接監(jiān)控殘差序列值。

傳統(tǒng)控制圖對中小漂移檢測的靈敏性參差不齊，因此，為提高中小漂移的檢測效能，Roberts（1959）[2]提出了指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均（EWMA）控制圖，EWMA控制圖的特點(diǎn)是利用了歷史數(shù)據(jù)，且該控制圖可以對不同階段的數(shù)據(jù)取不同的權(quán)重，距今越近的數(shù)據(jù)權(quán)重越大，距今越遠(yuǎn)的數(shù)據(jù)權(quán)重越小，它主要檢測統(tǒng)計(jì)過程控制中的微小波動(dòng)。

Zhang（1997）[3]定義了檢測能力指數(shù)，將其應(yīng)用于廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程模型，通過蒙特卡洛模擬，與傳統(tǒng)控制圖相比較，在調(diào)整廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程模型的參數(shù)條件下，殘差控制圖對中小漂移的檢測效能得到提升；張志雷（2012）[4]基于同樣的思想將信噪比指標(biāo)應(yīng)用于自相關(guān)控制圖，通過蒙特卡洛模擬，與傳統(tǒng)控制圖方法相比較，在調(diào)整ARMA模型參數(shù)的條件下，自相關(guān)控制圖對中小漂移的檢測效能同樣得到提升。

目前還沒有把過程檢測能力指數(shù)思想與EWMA殘差控制圖方法相結(jié)合的研究，因此，本文在尚云艷等（2015）[5]的基礎(chǔ)上將檢測能力指數(shù)應(yīng)用于基于二階自相關(guān)過程(AR(2))的EWMA殘差控制圖，根據(jù)EWMA殘差控制圖檢測能力的強(qiáng)弱，調(diào)整AR(2)模型的參數(shù)，運(yùn)用蒙特卡羅模擬方法將其與傳統(tǒng)殘差控制圖和自相關(guān)殘差控制圖進(jìn)行比較分析其性能。

1 建立模型

由王振龍（2010）[6]可知 AR(2)模型：

其中，Xt(X0=0)是零均值化的序列變量值（t=1，2，…），φ1，φ2是模型參數(shù)，且滿足約束：φ1+φ2＜1，

是隨機(jī)誤差項(xiàng)。一般地，通常對模型做以下假設(shè)：

假設(shè)2：自變量序列Xt只與Xt-1，Xt-2有關(guān)，與Xt-3，…，Xt-p(p＞2)無關(guān)，也與隨機(jī)誤差項(xiàng)εt不相關(guān)，即Cov(εt，Xt-k)=0 ，k=1，2，…。并且，如果E(Xt)=0 ，則過程受控；若E(Xt)=δσε（當(dāng)δ≠0時(shí)），則過程失控。

2 構(gòu)造EWMA統(tǒng)計(jì)量

2.1 基于AR(2)模型的殘差

將參數(shù)估計(jì)值φ1、φ2代入模型（1）計(jì)算殘差，即：

且依據(jù)自相關(guān)過程可知：

殘差序列的自協(xié)方差函數(shù)為(k=1，2，...)：

根據(jù)尚云艷等（2015）[5]假設(shè)均值隨時(shí)間變化，則自相關(guān)序列滿足：

假設(shè)t=0和t=1時(shí)刻均值從0漂移δσx，則殘差序列：

若假設(shè)過程均值不再發(fā)生變化，則殘差序列可以統(tǒng)一用式（4）表示：

由上述分析可見，當(dāng)過程均值發(fā)生漂移以后，第一個(gè)時(shí)刻殘差的均值為δσx，但是自相關(guān)過程很快作出反應(yīng)，第二個(gè)時(shí)刻殘差的均值變?yōu)棣摩襵(1-φ1)，第三個(gè)時(shí)刻殘差的均值變?yōu)棣摩襵(1-φ1-φ2)。當(dāng)自相關(guān)參數(shù)φ1+φ2→1時(shí)，隨后的殘差與過程剛發(fā)生偏移時(shí)的殘差相比會(huì)變得非常小，而難于檢測出過程的偏移。由式（4）可知，當(dāng)φ1+φ2為負(fù)或者為正且取值較小時(shí)，均值的變化對殘差的影響增強(qiáng)了，即在該條件下，殘差控制圖的靈敏度將有所提高。

2.2 過程檢測能力指數(shù)

Zhang（1997）[3]給出過程檢測能力指數(shù)的定義：

f(t)是殘差控制圖在過程均值發(fā)生漂移δσε時(shí)（即t時(shí)刻）檢測能力大小的一種度量，f(t)的值只取決于參數(shù)φ1、φ2、ρ1、ρ2的大小，與均值漂移δσε大小無關(guān)。當(dāng)f(t)＞1時(shí)，殘差控制圖在t時(shí)刻的檢測能力指數(shù)比傳統(tǒng)控制圖在t時(shí)刻的檢測能力指數(shù)強(qiáng)，即表明殘差控制圖在t時(shí)刻的檢測能力增強(qiáng)；反之，當(dāng)f(t)＜1時(shí)，表明殘差控制圖在t時(shí)刻的檢測能力減弱。

對AR(2)過程，當(dāng)φ1+φ2或者φ2-φ1→1，1-φ1ρ1-φ2ρ2→0時(shí)，f(t)→∞，即AR(2)過程不平穩(wěn)時(shí)，f(t)的值將會(huì)變得比較大，表明該時(shí)刻檢測漂移的能力比較強(qiáng)；對AR(1)過程，當(dāng) |φ1|→1，φ2=0時(shí)，f(t)→∞ ，即AR(1)模型平穩(wěn)時(shí)，t時(shí)刻的過程檢測能力很強(qiáng)。

特別地，當(dāng)φ1=φ2=0時(shí)，有f(t)=1，表明{Xt}是一獨(dú)立的變量序列（反之亦成立），此時(shí)殘差控制圖和傳統(tǒng)均值控制圖的檢測能力相同。

根據(jù)Zhang（1997）[3]定理1：對于平穩(wěn)過程AR(2)：

2.3 EWMA殘差統(tǒng)計(jì)量

對式（3）采用指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均法得到統(tǒng)計(jì)量Zt，t=0，1，2，…，即：

若模型（1）開始時(shí)受控，則統(tǒng)計(jì)量Z0的期望為0，E(Z0)=δσx(δ=0)；若模型（1）開始時(shí)失控，則統(tǒng)計(jì)量Z1的期望和方差分別是E(Z1)=δ(1-φ1)σx(δ≠0)，E(Z2)=δ(1-根據(jù)式（5）可得，當(dāng)t＞1，...時(shí)，該過程的檢測能力指數(shù)f(t)=

綜上所述,基于AR(2)模型的EWMA殘差控制圖控制線為：

其中,k為控制線系數(shù)。

3 控制圖性能比較與分析

一般地，對于控制圖的比較，都是在相同條件下比較，即在受控平均運(yùn)行長度相同的情況下，比較失控平均運(yùn)行長度。如果平均運(yùn)行長度越短，說明控制圖性能越好，越長則越說明該控制圖的性能越不好。

運(yùn)用Matlab軟件給出一個(gè)滿足模型（1）的AR(2)平穩(wěn)過程，通過給定不同參數(shù)值，作10000次模擬運(yùn)算，獲得在不同漂移大小下各控制圖的ARL值，具體結(jié)果見表1。

表1 不同參數(shù)φ1，φ2、δ下的控制圖的ARL對比

當(dāng)過程參數(shù)不同時(shí)，為便于比較，記φ1=1.5，φ2=-0.7為過程I，φ1=1.5，φ2=-0.95為過程II，根據(jù)式（2）過程I和過程II的一、二階自相關(guān)系數(shù)結(jié)果均大于0，過程I的參數(shù)滿足φ1+φ2-φ22＞0，有f(t)=0.5951＜1；過程II的參數(shù)滿足φ1+φ2-φ22＜0，有f(t)=2.5554＞1，即過程均值發(fā)生漂移時(shí)，過程I的檢測能力比過程II弱。從表1也可以看出，在過程均值發(fā)生0.5σε漂移時(shí)，過程I的自相關(guān)殘差控制圖和EWMA殘差控制圖的失控ARL分別是258.5369和224.7687，均大于過程II的34.5419和22.6026。同樣的，記φ1=-0.1,φ2=0.4為過程III，φ1=-0.5，φ2=0.4 為過程IV，過程III和過程IV的一階自相關(guān)系數(shù)均小于0，但是當(dāng)過程均值發(fā)生漂移時(shí)，過程IV的失控ARL均小于過程III的失控ARL?？梢姰?dāng)參數(shù)滿足φ1+φ2-φ22＜0，傳統(tǒng)殘差控制圖、自相關(guān)殘差控制圖和EWMA殘差控制圖的靈敏度均有所提高。

當(dāng)過程參數(shù)相同時(shí)，且參數(shù)滿足φ1+φ2-φ22＜0，自相關(guān)殘差控制圖與傳統(tǒng)殘差控制圖相比較：自相關(guān)殘差控制圖檢測性能好，比如當(dāng)φ1=1.5，φ2=-0.95,δ=0.5時(shí)，自相關(guān)殘差控制圖的平均運(yùn)行長度ARL=34.5419是傳統(tǒng)殘差控制圖ARL=157.8806五分之一；EWMA殘差控制圖與傳統(tǒng)殘差控制圖相比較：EWMA殘差控制圖檢測性能好，比如當(dāng)φ1=1.5，φ2=-0.95,δ=0.5時(shí)，EWMA殘差控制圖的平均運(yùn)行長度ARL=22.6026是傳統(tǒng)殘差控制圖ARL=157.8806的七分之一；自相關(guān)殘差控制圖與EWMA殘差控制圖相比較:當(dāng)φ1=1.5，φ2=-0.95,δ=2.0 ，EWMA殘差控制圖的ARL=3.0517較自相關(guān)殘差控制圖的ARL=3.0732小，可見，雖然差距不是很明顯，但EWMA殘差控制圖可以提高對中小漂移的檢測效率。

但是當(dāng)φ1+φ2-φ22＞0時(shí)，自相關(guān)殘差控制圖和EWMA殘差控制圖的檢測效率較傳統(tǒng)殘差控制圖逐漸變?nèi)?，即傳統(tǒng)殘差控制圖不受參數(shù)取值的影響，其表現(xiàn)結(jié)果都一致的好，而當(dāng)φ1+φ2-φ22＞0時(shí)，自相關(guān)殘差控制圖和EWMA殘差控制圖檢測效率偏慢。

在實(shí)際生產(chǎn)中，數(shù)據(jù)都是存在自相關(guān)性的，那么殘差必會(huì)受到相關(guān)系數(shù)的干擾。這時(shí)如果使用傳統(tǒng)殘差控制圖檢測時(shí)可能會(huì)產(chǎn)生更多的虛發(fā)警報(bào)，而自相關(guān)殘差控制圖和EWMA殘差控制圖是考慮到相關(guān)系數(shù)對均值漂移值的影響進(jìn)行的檢驗(yàn)。根據(jù)表1，當(dāng)φ1+φ2-φ22＜0時(shí)，自相關(guān)殘差控制圖和EWMA殘差控制圖，檢測效果一致的好；同時(shí)，無論φ1+φ2-φ22＜0和φ1+φ2-φ22＞0時(shí)，EWMA殘差控制圖都要比自相關(guān)殘差控制圖效果還要好。

4 結(jié)束語

本文通過自相關(guān)過程的EWMA殘差控制圖的設(shè)計(jì)與實(shí)驗(yàn)?zāi)M,證明了該控制圖提高了針對自相關(guān)過程發(fā)生中小漂移檢測的靈敏度；雖然之前在AR(1)上討論EWMA控制圖對中小漂移檢測效率很高，但是并沒有系統(tǒng)給出自相關(guān)過程的檢測漂移能力強(qiáng)弱的判斷方法。綜上所述，本文提出的方法應(yīng)用到實(shí)踐，可以提高檢測效率帶來實(shí)際的經(jīng)濟(jì)效益，為了進(jìn)一步提高檢測效率，還可以考慮基于似然比統(tǒng)計(jì)量的控制圖。