非相對(duì)論分子物理中帶逆平方勢(shì)的非線性Schr?dinger方程的解整體存在性

夏 濱

(四川建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院 教務(wù)處, 四川 德陽(yáng) 618000)

1 預(yù)備知識(shí)

在非相對(duì)論分子物理中帶磁性的粒子捕獲電子是一類重要的物理現(xiàn)象.關(guān)于它的刻畫、研究和掌控有著重要的意義和作用.這類現(xiàn)象由一類帶逆平方勢(shì)的非線性Schr?dinger方程[1-2]模擬,其形式如下

x∈RD,

(1)

方程(1)中的逆平方勢(shì)強(qiáng)烈地影響著相應(yīng)的Schr?dinger算子,因?yàn)樗信cSchr?dinger算子相同的尺度不變性和Kelvin變換,從而使得它不屬于Kato類[3-4].因此方程(1)吸引了眾多關(guān)注和研究[5-7].

賦予方程(1)初值

φ(x,0)=φ0,x∈RD.

(2)

(3)

(爆破).

本文特別感興趣Cauchy問題(1)～(2)的解整體存在性問題.采用文獻(xiàn)[11-12]的方法,通過(guò)考察Cauchy問題(1)～(2)的特征以及它的哈密爾頓系統(tǒng)不變量,并結(jié)合一系列的精細(xì)不等式工具,建立了Cauchy問題(1)～(2)的解整體存在性.對(duì)于次臨界情形,證明了系統(tǒng)的解全部整體存在；對(duì)于臨界情形,獲得了系統(tǒng)解整體存在的一個(gè)L2標(biāo)準(zhǔn)；對(duì)于超臨界情形,獲得了系統(tǒng)整體存在的一個(gè)H1標(biāo)準(zhǔn).進(jìn)一步,這些標(biāo)準(zhǔn)都是精確、顯示和可計(jì)算的.

2 預(yù)備知識(shí)和主要結(jié)論

定義質(zhì)量泛涵

勢(shì)能泛涵

和能量泛涵

M(φ(t))=M(φ0)

(4)

和

P(φ(t))=P(φ0),

(5)

其中M和P是前面定義的質(zhì)量和勢(shì)能泛涵.

設(shè)Q(x)是如下非線性橢圓方程的正徑對(duì)稱解

-△u+u-|u|p-1u=0,u∈H1(RD).

(6)

文獻(xiàn)[14]建立了其解的存在性,文獻(xiàn)[15]證明了其解的唯一性.

(7)

其中,最佳系數(shù)C*>0滿足

(8)

引理2.2(Young不等式)[17]對(duì)任意正實(shí)數(shù)a>0,b>0,ε>0,假設(shè)r,r′∈(1,+∞)且滿足1/r+1/r′=1.那么

證明對(duì)于函數(shù)f(x)=x-Cxθ,x>0,其中θ∈(0,1)和C>0,有

3)f″(x)=Cθ(1-θ)xθ-2>0,x>0.

另一方面,函數(shù)f(x)的Taylor展式如下

下面給出本文的主要結(jié)論.

‖φ0‖H1<

那么其解φ在H1(RD)中都整體存在.

3 次臨界和臨界情形

P(φ0)=P(φ)=

(9)

▽?duì)諀2+

(10)

4 超臨界情形

首先,建立Cauchy問題(1)～(2)的發(fā)展不變流.設(shè)置

▽u|2dx<

其中E是第二節(jié)中定義的能量泛涵,Q是方程(6)的正徑對(duì)稱解.

M(φ(t))=M(φ0),t∈[0,T).

因此

E(φ0)=P(φ0)+M(φ0)<

從而

E(φ(t))=P(φ(t))+M(φ(t))<

(11)

為了證明φ(t)∈Kg,只需證明

(12)

如果(12)式不成立,由

和連續(xù)性,存在t1∈(0,T)使得

▽?duì)?t1)|2dx=

(13)

然而,由引理2.1得

(14)

這里,C*是引理2.1中Gagliardo-Nirenberg不等式的最佳系數(shù).運(yùn)用Young不等式(引理2.2)可得

(15)

這里

(16)

(17)

(18)

那么

(19)

在s∈(0,+∞)上定義實(shí)值函數(shù)

?s>0.

(20)

于是有

因此,當(dāng)s∈(0,+∞),F(s)達(dá)到它的最大值

(21)

有

(22)

因此,由(13)、(19)～(22)式可得

(23)

這與

E(φ(t1))=E(φ0)<

矛盾，因此(12)式成立.因此,Kg在Cauchy問題(1)～(2)生成的流上是不變的.

且

那么Cauchy問題(1)～(2)的解φ在H1(RD)中整體存在.

證明設(shè)初值φ0∈H1(RD)滿足

和

那么φ0∈Kg.讓?duì)毡硎綜auchy問題(1)～(2)在t∈[0,T)上的解.由命題4.1知φ∈Kg，因此

(24)

同時(shí),注意到質(zhì)量守恒律(4),易得φ在H1(RD)中有界.因此,由局部適定性結(jié)論,此情形下的Cauchy問題(1)～(2)的解φ在H1(RD)中都整體存在.

▽?duì)?|2+|φ0|2]dx]1/2<

(25)

那么可得

▽?duì)?|2+|φ0|2]dx<

(26)

即

(27)

從而,由(3)式知

(28)

于是

(29)

為了證明定理2.3,由命題4.2,只需證明

▽?duì)?|2dx<

(30)

然而,由(28)式易得

(31)

因此,由(29)、(31)式和命題4.2可知Cauchy問題(1)～(2)的解φ在H1(RD)中整體存在.