帶乘性噪聲的隨機(jī)分?jǐn)?shù)階Ginzburg-Landau方程的漸近行為

王云肖, 舒 級, 楊 袁, 李 倩, 汪春江

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

復(fù)Ginzburg-Landau方程是關(guān)于非平衡流體動(dòng)力系統(tǒng)和化學(xué)系統(tǒng)的不穩(wěn)定、超導(dǎo)和超流體、非線性光纖和Bose-Einstein凝聚的重要模型.非線性Schr?dinger方程是一Hamilton系統(tǒng),在有限時(shí)間擁有局部奇異解,而復(fù)Ginzburg-Landau方程是非線性Schr?dinger方程的耗散情形.目前已有許多關(guān)于Ginzburg-Landau方程的研究[1-9].Guo等[9]研究了廣義2D Ginzburg-Landau方程

αλ1·▽(|u|2u)+β(λ2·▽u)|u|2,

并得到了在

條件下整體吸引子的存在性.對于隨機(jī)情形,Crauel等[10]研究了隨機(jī)廣義2D Ginzburg-Landau方程

du=(ρu-(1+iγ)Δu-(1+iμ)|u|6u+

αλ1▽(|u|2u)+β(λ2▽u)|u|2)dt+ΦdW.

本文考慮如下帶乘性噪聲的隨機(jī)廣義2D分?jǐn)?shù)階Ginzburg-Landau方程

du=(ρu-(1+iγ)(-Δ)αu-

(1+iμ)|u|6u+λ1·▽(|u|2u)+

(λ2·▽u)|u|2)dt+θudW,

x∈R2,t>0,

(1)

具有如下初值和周期邊界條件

u(x,t)=u(x+2πei,t),

u(x,t0)=u0(x),x∈R2,

(2)

其中,wk(k∈N)是相互獨(dú)立的實(shí)值布朗運(yùn)動(dòng),(ek)k∈N是L2(R2)上的正交基.

本文的目的是證明問題(1)～(2)在L2(R2)上存在隨機(jī)吸引子.為此,需要證明u(t)關(guān)于時(shí)間在不同空間的一致有界性.在這里應(yīng)用類似于文獻(xiàn)[11-17]中的方法來解決這個(gè)問題.

1 預(yù)備知識

定義1[11]設(shè)(X,d)是可分的距離空間,F是Borelδ-代數(shù),θt是(Ω,F,P)對應(yīng)的保測變換,若可測映射

在X上滿足:

1)S(0,ω)=IX;

2) 對任意的s,t∈R,ω∈Ω,有S(t+s,ω)=S(t,θsω)°S(s,ω);

3)S(t,ω):X→X是連續(xù)的,

那么稱S是一個(gè)連續(xù)隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng).

定義2[12]給定一個(gè)隨機(jī)集K,集合

稱為K的Ω-極限集.

1)A(ω)是嚴(yán)格不變的,即對于所有t>0,S(t,ω)A(ω)=A(θtω);

2)A(ω)吸引所有確定有界集B?X,

那么稱A(ω)為S的隨機(jī)吸引子.

是S的隨機(jī)吸引子.

接下來給出2個(gè)重要引理[15].

引理1設(shè)u∈Lq并且對于u的m階導(dǎo)數(shù)為Dmu∈Lr,1≤q,r≤∞.對于Dju,0≤j

(3)

并有

(4)

引理2假設(shè)S>0并且p,p2,p3∈(1,∞).如果f,g∈S,并且

(5)

則有不等式

‖f‖Hs,p3‖g‖p4),

C(‖▽f‖p1‖g‖Hs-1,p2+‖f‖Hs,p3‖g‖p4).(6)

‖▽u‖L∞(0,T,L2(D))<∞.

最后給出分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子和分?jǐn)?shù)階Sobolev空間及其范數(shù)的定義.

另外,分?jǐn)?shù)階Sobolev空間Hα的范數(shù)規(guī)定如下

本文常用的幾個(gè)函數(shù)空間定義為

H=L2(R2),V=Hα(R2),

其范數(shù)分別為‖·‖和‖·‖V.

2 隨機(jī)分?jǐn)?shù)階Ginzburg-Landau方程的解及其對應(yīng)的隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)

本節(jié)證明問題(1)～(2)對應(yīng)隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的存在性.為此,方程(1)可寫為

(1+iμ)|u|6u+λ1·▽(|u|2u)+

(7)

引入過程[11]

z=e-θW(t),

且滿足隨機(jī)偏微分方程

該方程的解z是Ornstein-Uhlenbeck過程,z∈C([0,∞],V)[12],z是穩(wěn)態(tài)遍歷過程,它的跡是P-a.s.連續(xù)的,并且對于任意t和s有

z(t,θs,ω)=z(t+s,ω),P-a.s.

設(shè)B是H中的有界集,對于t0<0和ut0∈B,令

v(t)=u(t)z(t),t≥t0,

其中u是方程(1)的解.由方程(7)和v的形式知,隨機(jī)過程v滿足隨機(jī)方程

(1+iμ)z-6|v|6v+λ1z-2·▽(|v|2v)+

z-2(λ2·▽v)|v|2,

(8)

v(t0,ω)=v0(ω)=u0z(t0,ω).

(9)

對任意v(t0)=v0,v(t,ω;t0,v0)表示方程(8)～(9)的解,有

v(t,ω;t0)=u(t,ω;t0,u0z(t0,ω))z(t,ω).

顯然,由

S(t,ω;t0)u0=u(t,ω;t0)=

v(t,ω;t0,v0z(t0,ω))z(t,ω)

定義了隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng){S(t,ω;t0)}t≥t0,ω∈Ω,稱為由帶乘性噪聲的隨機(jī)分?jǐn)?shù)階Ginzburg-Landau方程產(chǎn)生的流.對于t≥t0,映照ω→S(t,ω;t0)u0是可測的[19].

3 隨機(jī)吸引子的存在性

現(xiàn)證明{S(t,ω;t0)}t≥t0,ω∈Ω是緊的,并且t=t0時(shí)在H、V中存在緊吸收集.令v是方程(8)～(9)的解,對于ω∈Ω,需要得到解v在H,V上的先驗(yàn)估計(jì).在本文中,εi(i=1,2,…,13),i(i=1,2,…,8),ki(i=1,2,…,8),κi(i=1,2,…,14),C和c表示依賴方程(1)系數(shù)的正常數(shù).

證明將方程(8)與v作內(nèi)積,并取實(shí)部得

(10)

有

方程(10)可以寫為

-Re(1+iμ)z-6(|v|6v,v)+

2Reλ1z-2·▽(|v|2v,v)+

(10)式右邊第一項(xiàng)可估計(jì)為

(12)

(10)式右邊第二、三項(xiàng)可估計(jì)為

(13)

則

(14)

其中

g1(t)=c(λ1,λ2,μ)(z-8+z-12)+‖▽v‖2.

根據(jù)Gronwall不等式有

2(‖u(t0)‖2‖z(t0)‖2)e-(t-s)+

證明將方程(8)與(-Δ)αv作內(nèi)積,并取實(shí)部,得

(15)

則有

(16)

(17)

則(15)式可變?yōu)?/p>

c(λ1,λ2)z-8+‖▽v‖4,

(18)

可得

C=c(λ1,λ2)z-8+c(r1(ω)),

(19)

其中

在[s,t]上對(18)式進(jìn)行積分,s,t∈[-1,0],

由引理3得

r3是P-a.s.有限的.

定理2帶乘性噪聲的隨機(jī)分?jǐn)?shù)階Ginzburg-Landau方程在H中存在緊的吸引子.