推導(dǎo)IBS評分在無關(guān)個(gè)體對人群中概率分布的計(jì)算公式

趙煥東 ，趙書民 ，陳玉祥 ，李成濤

（1.中南大學(xué)湘雅醫(yī)院 國家衛(wèi)生部納米生物技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長沙 410008；2.中南大學(xué)藥學(xué)院，湖南長沙 410013；3.江蘇東南證據(jù)科學(xué)研究院有限公司，江蘇 南京 210042；4.司法鑒定科學(xué)研究院 上海市法醫(yī)學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 上海市司法鑒定專業(yè)技術(shù)服務(wù)平臺，上海 200063）

2014年，司法鑒定科學(xué)研究院與國內(nèi)其他機(jī)構(gòu)共同研制的《生物學(xué)全同胞關(guān)系鑒定實(shí)施規(guī)范》（SF/Z JD0105002—2014）作為部頒規(guī)范正式發(fā)布實(shí)施（以下簡稱《規(guī)范》）?！兑?guī)范》發(fā)布以來，對國內(nèi)各鑒定機(jī)構(gòu)相關(guān)業(yè)務(wù)的規(guī)范實(shí)施發(fā)揮了積極作用。在該《規(guī)范》中，作為判斷標(biāo)準(zhǔn)的核心參數(shù)并未采用傳統(tǒng)的全同胞指數(shù)，而是采用了兩個(gè)個(gè)體間常染色體多重STR分型系統(tǒng)的狀態(tài)一致性（identity by state，IBS）評分。后者計(jì)算簡單，避免了實(shí)際應(yīng)用中的復(fù)雜計(jì)算。由于技術(shù)規(guī)范在內(nèi)容和篇幅上有特殊要求，該《規(guī)范》對完成三種不同數(shù)量STR基因座時(shí)對應(yīng)的IBS評分閾值以及相應(yīng)的系統(tǒng)效能進(jìn)行了簡要說明，但并未對其基本判斷原理過多闡述。近年來已有學(xué)者對如何更為靈活地使用《規(guī)范》進(jìn)行了一些有益的探索[1]。本研究結(jié)合《規(guī)范》的研制過程，對IBS評分在生物學(xué)全同胞關(guān)系鑒定的原假設(shè)（H0：被檢驗(yàn)個(gè)體間為無關(guān)個(gè)體）中概率分布的計(jì)算公式進(jìn)行了推導(dǎo)與驗(yàn)證。

1 方法與結(jié)果

1.1 參數(shù)定義

假設(shè)兩名無關(guān)個(gè)體（A與B）某一常染色體STR基因座可能的分型結(jié)果如表1所示，比較A與B在該STR基因座分型結(jié)果有且僅有三種互相排斥的結(jié)果：有2個(gè)相同的等位基因、僅有1個(gè)等位基因相同、無相同等位基因，分別以a2=1、a1=1、a0=1表示。A與B在該基因座相同的等位基因個(gè)數(shù)即為兩者在該基因座上的IBS評分，記作ibs。對特定個(gè)體對而言，在某個(gè)常染色體STR基因座有：a2+a1+a0=1，且ibs=2a2+a1。表1是對《規(guī)范》中單個(gè)常染色體STR基因座IBS評分表的擴(kuò)展。

表1 單個(gè)常染色體STR基因座分型結(jié)果對應(yīng)的IBS評分表

若對A與B完成n個(gè)相互獨(dú)立的常染色體STR基因座分型，A與B間基因型相同的基因座總個(gè)數(shù)A2、僅有1個(gè)等位基因相同的基因座總個(gè)數(shù)A1、無相同等位基因的基因座總個(gè)數(shù)A0則分別為各個(gè)STR基因座上 a2、a1、a0值的總和，且有：

依據(jù)A2、A1、A0可以計(jì)算得到無關(guān)個(gè)體對在所檢測的n個(gè)常染色體STR基因座上總相同等位基因個(gè)數(shù)，即IBS評分，記作IBS，其計(jì)算公式為：

這一計(jì)算公式與《規(guī)范》中給出的計(jì)算公式是等效的。

1.2 無關(guān)個(gè)體對間不同參數(shù)對應(yīng)概率的分解

若以 p2、p1、p0分別表示 a2、a1、a0取值為 1 的概率，由于A與B在同一個(gè)STR基因座上a2、a1、a0三者中必有且僅有其一能取值為1，則有：

依據(jù)表1備注信息，以Ho代表純合子，以He代表雜合子，可將 p2、p1、p0分解為：

1.3 無關(guān)個(gè)體對間不同參數(shù)概率計(jì)算公式的推導(dǎo)

設(shè)某STR基因座有 m個(gè)等位基因，并以fi（i=1，2，3，…，m）表示該基因座上第 i個(gè)等位基因的頻率，則有：

1.3.1 推導(dǎo)p2計(jì)算公式

1.3.1.1 推導(dǎo) p2（HoHo）計(jì)算公式

依據(jù)表1 備注信息，式（4）中 p2（HoHo）指 A 與 B 基因型相同且均為純合子的概率，依據(jù)這一定義，p2（HoHo）可以寫作：

1.3.1.2 p2（HeHe）計(jì)算公式的推導(dǎo)

依據(jù)表1 備注信息，式（4）中 p2（HeHe）指 A 與 B 基因型相同且均為雜合子的概率，依據(jù)這一定義，p2（HeHe）可以寫作：

展開后得到：

依據(jù)式（4）可以得到：

1.3.2 推導(dǎo)p1計(jì)算公式

1.3.2.1 推導(dǎo) p1（HoHe）計(jì)算公式

依據(jù)表1 備注信息，式（5）中 p1（HoHe）指 A 與 B 在該基因座只有1個(gè)相同的等位基因且二者1個(gè)為純合子、1個(gè)為雜合子的概率。依據(jù)這一定義，p1（HoHe）可以寫作：

1.3.2.2 p1（HeHe）計(jì)算公式的推導(dǎo)

依據(jù)表1 備注信息，式（5）中 p1（HeHe）指 A 與 B 在該基因座只有1個(gè)相同的等位基因且二者均為雜合子的概率。 依據(jù)這一定義，p1（HeHe）可以寫作：

依據(jù) p1（HoHe）、p1（HeHe）的計(jì)算公式和式（5），可以得到p1的計(jì)算公式為：

1.3.3 推導(dǎo)p0計(jì)算公式

依據(jù)式（3）和 p2、p1的計(jì)算公式，可以得到 p0的計(jì)算公式為：

1.3.3.1 推導(dǎo) p0（HoHo）計(jì)算公式

依據(jù)表1 備注信息，式（6）中 p0（HoHo）指 A 與 B 無相同等位基因且二者均為純合子的概率。依據(jù)這一定義，p0（HoHo）可以寫作：

1.3.3.2 推導(dǎo) p0（HoHe）計(jì)算公式

依據(jù)表1 備注信息，式（6）中 p0（HoHe）指 A 與 B 無相同等位基因且二者1個(gè)為純合子、1個(gè)為雜合子的概率。 依據(jù)這一定義，p0（HoHe）可以寫作：

1.3.3.3 p0（HeHe）計(jì)算公式的推導(dǎo)

依據(jù)表1 備注信息，式（6）中 p0（HeHe）指 A 與 B 均為雜合子且無相同的等位基因。依據(jù)這一定義，p0（HeHe）可以寫作：

依據(jù)式（6）及上述推導(dǎo)得到的 p0、p0（HoHo）和 p0（HeHo）計(jì)算公式，即可換算得到的 p0（HeHe）展開式為：

1.4 推導(dǎo)無關(guān)個(gè)體對人群中IBS二項(xiàng)分布的總體率

依據(jù)1.1節(jié)中關(guān)于a2、a1、a0的定義可知：對無關(guān)個(gè)體對A與B采用包含n個(gè)相互獨(dú)立的STR基因座進(jìn)行分型檢測，a2=1這樣的事件所發(fā)生的次數(shù)即A2，服從總體率為 P2的二項(xiàng)分布，可記作 A2～B（n，P2）[2]。 同樣的，A1服從總體率為P1的二項(xiàng)分布，記作A1～B（n，P1）。其中 P2為 1.3.1 節(jié)推導(dǎo)得到的各個(gè) p2l（l=1，2，…，n）的算術(shù)平均數(shù)，P1為1.3.2節(jié)推導(dǎo)得到的各個(gè)p1l（l=1，2，…，n）的算術(shù)平均數(shù)，即有：

依據(jù)式（2）和二項(xiàng)分布的可加性[3]，IBS亦為服從二項(xiàng)分布的變量。對于包含n個(gè)相互獨(dú)立的STR基因座的分型系統(tǒng)而言，IBS的最大值為2n，則IBS服從總體率為 π 的二項(xiàng)分布：IBS～B（2n，π）。

IBS 的期望值 E（IBS）為：

IBS的總體率π為：

1.5 應(yīng)用示例

采用參考文獻(xiàn)[3-4]中FGA等19個(gè)STR基因座在華東漢族人群中的等位基因頻率，依據(jù)每一個(gè)STR基因座各自的等位基因頻率和1.3節(jié)推導(dǎo)的公式，可以分別計(jì)算出各個(gè)STR基因座對應(yīng)的p2、p1、p0值，進(jìn)而得到對于這19個(gè)STR基因座所組成的分型系統(tǒng)各參數(shù)在無關(guān)個(gè)體對人群中的二項(xiàng)分布的總體率（表2），并得到相應(yīng)參數(shù)在無關(guān)個(gè)體對人群中的二項(xiàng)分布（圖1），同時(shí)也可以計(jì)算得到不同參數(shù)、不同取值時(shí)對應(yīng)的全同胞鑒定原假設(shè)（H0）對應(yīng)的概率值。例如，當(dāng)無關(guān)個(gè)體對A與B經(jīng)FGA等19個(gè)必檢STR基因座分型后，IBS=10，依據(jù)IBS二項(xiàng)分布的總體率，通過EXCEL的二項(xiàng)分布函數(shù)BINOM.DIST，輸入BINOM.DIST（10，38，0.3110，F(xiàn)ALSE）即可得到二者為無關(guān)個(gè)體的概率為0.1181。在得到生物學(xué)全同胞對人群中IBS分布特征參數(shù)后，即可直接計(jì)算IBS=10時(shí)二者為生物學(xué)全同胞（檢驗(yàn)假設(shè)中的備擇假設(shè)H1）的概率。備擇假設(shè)H1對應(yīng)概率與原假設(shè)H0對應(yīng)概率的比值，意義即類似于全同胞指數(shù)，表示了A與B為生物學(xué)全同胞的可能性是二者為無關(guān)個(gè)體的可能性的倍數(shù)。

表2 FGA等19個(gè)STR基因座分型系統(tǒng)對應(yīng)的各參數(shù)二項(xiàng)分布總體率

圖1 19個(gè)STR基因座分型系統(tǒng)IBS評分在無關(guān)個(gè)體對人群中的二項(xiàng)分布

2 討 論

在進(jìn)行生物學(xué)全同胞等親緣關(guān)系檢驗(yàn)時(shí)，通常會(huì)有兩種相互對立的檢驗(yàn)假設(shè)，原假設(shè)（H0）：被檢驗(yàn)的兩名個(gè)體間無任何親緣關(guān)系，即為一對無關(guān)個(gè)體；備擇假設(shè)（H1）：被檢驗(yàn)的兩名個(gè)體間存在其所聲稱的親緣關(guān)系（如生物學(xué)全同胞、生物學(xué)父子等）。依據(jù)得到的遺傳標(biāo)記分型結(jié)果（遺傳學(xué)證據(jù)），計(jì)算某種參數(shù)并依據(jù)該參數(shù)的概率分布來推斷兩種假設(shè)成立的可能性（遺傳學(xué)證據(jù)評價(jià)）。當(dāng)H0成立的概率低于所規(guī)定的檢驗(yàn)水準(zhǔn)時(shí)（如 α=0.01），則拒絕 H0、接受 H1。 當(dāng) H0的發(fā)生概率大于檢驗(yàn)水準(zhǔn)時(shí)，則依據(jù)現(xiàn)有的遺傳學(xué)證據(jù)不能拒絕H0，即還不能排除二者是無關(guān)個(gè)體。這一邏輯判斷過程是統(tǒng)計(jì)學(xué)中的一種基本思想。

前期研究[5-8]已發(fā)現(xiàn)，IBS評分是一種理想的用于生物學(xué)全同胞的遺傳學(xué)統(tǒng)計(jì)參數(shù)。在這些研究中，均嘗試劃定一個(gè)IBS評分閾值來區(qū)分全同胞與無關(guān)個(gè)體，并比較了IBS評分法與傳統(tǒng)的親權(quán)指數(shù)或似然比方法的一致性，其出發(fā)點(diǎn)均與《規(guī)范》一致。但在這些研究中均面臨同樣的問題：受制于特定的STR分型系統(tǒng)。每出現(xiàn)一種新的STR分型系統(tǒng)，或所使用的STR基因座個(gè)數(shù)發(fā)生變化時(shí)，均應(yīng)對其判定全同胞的IBS評分閾值或有效性進(jìn)行重新評估[1，7]。這無論是對實(shí)際案件中的應(yīng)用還是對新的常染色體STR基因座分型系統(tǒng)的研究都是不利的。因此，需要一種可對任意STR基因座組合的生物學(xué)全同胞鑒定效能進(jìn)行評估的數(shù)學(xué)模型。

如果能夠僅依據(jù)STR基因座的等位基因頻率這一基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，即可了解IBS評分在不同人群（H0對應(yīng)的無關(guān)個(gè)體對人群和H1對應(yīng)的生物學(xué)全同胞人群）中的概率分布，將可解決對任意STR分型系統(tǒng)全同胞鑒定效能的有效性評估問題。本研究依據(jù)兩個(gè)個(gè)體同一STR基因座可能的基因型組合，通過對有2個(gè)相同的等位基因、有1個(gè)相同的等位基因和無相同的等位基因這三種情形的概率的分解，依據(jù)概率的基本原理，推導(dǎo)出了依據(jù)STR等位基因頻率計(jì)算上述三種情形出現(xiàn)概率的通用公式，而上述三種情形又分別對應(yīng)了單一STR基因座IBS評分分別為2、1、0的三種情形。隨后依據(jù)二項(xiàng)分布的可加性得到多重分型系統(tǒng)IBS評分在相應(yīng)人群中二項(xiàng)分布的關(guān)鍵參數(shù)（總體率）。基于所完成分型的STR基因座個(gè)數(shù)n以及依據(jù)這n個(gè)STR基因座的等位基因頻率計(jì)算得到的IBS評分的總體率，即可對任意STR基因座組合的、任意IBS分值對應(yīng)的H0概率進(jìn)行計(jì)算。如計(jì)算檢驗(yàn)26個(gè)STR基因座、IBS評分為21時(shí)的H0概率等。

如何驗(yàn)證這些推導(dǎo)結(jié)果的可靠性呢？作為一個(gè)可普遍應(yīng)用的計(jì)算公式，可以用一些簡單的特例來進(jìn)行驗(yàn)證。如假定一個(gè)STR基因座只有3個(gè)等位基因，其等位基因頻率分別為0.3、0.3和0.4。由于等位基因個(gè)數(shù)有限，可以很方便地通過窮舉法列舉出無關(guān)個(gè)體對基于這一STR基因座的基因型組合，從而對本研究所推導(dǎo)的公式進(jìn)行驗(yàn)證。事實(shí)上，在既往的一些應(yīng)用場景中，已有一些計(jì)算公式可以用來計(jì)算特定情形下STR基因座的概率p2，如在個(gè)體識別中個(gè)體識別率（discrimination power，DP）的計(jì)算公式[9]。某 STR 基因座的DP是指該STR基因座上任意兩個(gè)無關(guān)個(gè)體基因型不同的概率，則1-DP即該基因座上任意兩個(gè)體基因型相同的概率，即1.3.1節(jié)推導(dǎo)所得的p2，1-DP的結(jié)果與本研究從頭推導(dǎo)結(jié)果一致，這也說明了本研究推導(dǎo)過程的正確性。另外，兩個(gè)體間無相同的等位基因，在不考慮突變的情形下，類似于二聯(lián)體親權(quán)鑒定中的排除親權(quán)的情形，亦即該STR基因座的二聯(lián)體非父排除率[10]。而1.3.3節(jié)所示的從頭推導(dǎo)結(jié)果與文獻(xiàn)報(bào)道[10]的二聯(lián)體非父排除率公式是一致的，這也證明了推導(dǎo)過程的正確性。1.3.3.3節(jié)中對p0（HeHe）定義式采用了“已知和求部分”這種簡便的加減法計(jì)算方式。但如果對1.3.3.3節(jié)中p0（HeHe）定義式從頭展開，也可以反向通過“已知部分求和”的方法進(jìn)行驗(yàn)證，因?yàn)閜2、p1、p0三部分的總和一定為 1。

在進(jìn)行任一親權(quán)關(guān)系鑒定時(shí)，原假設(shè)H0與備擇假設(shè)H1都是一對有機(jī)整體。本研究僅完成了生物學(xué)全同胞關(guān)系鑒定中IBS評分在原假設(shè)H0對應(yīng)人群中的概率分布的推導(dǎo)。IBS評分在備擇假設(shè)（H1）對應(yīng)人群中的概率分布仍需進(jìn)一步研究。