基于“一題多解”，有效落實(shí)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力

相麗

[摘 要]有效落實(shí)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力是當(dāng)下中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的重要目標(biāo)與任務(wù)，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本內(nèi)容。數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力有5個(gè)維度：從數(shù)學(xué)角度提出問題、數(shù)學(xué)表征與變換、數(shù)學(xué)推理與論證、數(shù)學(xué)地解決問題、數(shù)學(xué)交流。以“雞兔同籠”問題的“一題多解”為例，從微觀的角度剖析其枚舉—列表法、算術(shù)—假設(shè)法、代數(shù)—方程法以及解題反思中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力；一題多解；雞兔同籠

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2018）23-0018-02

近年來，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成為國內(nèi)外數(shù)學(xué)教育改革的一條主線，引領(lǐng)與推動(dòng)著數(shù)學(xué)教育的改革：美國、新加坡、德國、日本等國家的課程文件中均提出了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)（或能力）的要求；國內(nèi)史寧中、宋乃慶、喻平、徐斌艷、馬云鵬、李星云、曹培英等一批學(xué)者闡釋了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵、構(gòu)成及培養(yǎng)等。當(dāng)下，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中關(guān)鍵能力的落實(shí)是中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中的一個(gè)重點(diǎn)與難點(diǎn)問題。下面以“雞兔同籠”為例，從“一題多解”的微觀角度探析小學(xué)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的落實(shí)。

一、小學(xué)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的構(gòu)成

考慮到小學(xué)數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)性、經(jīng)驗(yàn)性與活動(dòng)性等特點(diǎn)，以及小學(xué)生的學(xué)習(xí)心理特征，小學(xué)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力應(yīng)包括從數(shù)學(xué)角度提出問題、數(shù)學(xué)表征與變換、數(shù)學(xué)推理與論證、數(shù)學(xué)地解決問題、數(shù)學(xué)交流五個(gè)方面。

從數(shù)學(xué)角度提出問題：基于某情境、問題或在問題解決過程會(huì)產(chǎn)生自己新的數(shù)學(xué)問題，并用數(shù)學(xué)語言表述這些生成的、創(chuàng)造的、獨(dú)立的新數(shù)學(xué)問題。

數(shù)學(xué)表征與變換：用某種形式（如符號(hào)、圖形（表）、情景、操作性模型、文字等）表達(dá)要學(xué)習(xí)的或處理的數(shù)學(xué)概念或關(guān)系，以便最終解決問題。為了能夠簡化或成功解決問題，會(huì)使用改變信息形態(tài)的某種數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化策略。

數(shù)學(xué)推理與論證：通過對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象（數(shù)學(xué)概念、關(guān)系、性質(zhì)、規(guī)則、命題等）進(jìn)行邏輯性思考（觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比、演繹），從而得出推論，再進(jìn)一步尋求證據(jù)、給出證明或舉出反例，說明所推論的合理性的綜合能力。

數(shù)學(xué)地解決問題：采用各種恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)知識(shí)、方法與策略，解決在數(shù)學(xué)或其他情境中出現(xiàn)的問題，能檢驗(yàn)與反思數(shù)學(xué)問題解決的過程。

數(shù)學(xué)交流：能以閱讀、傾聽等方式識(shí)別、理解、領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)事實(shí)，并能以寫作、講解等方式解釋自己的解決方法、過程和結(jié)果，針對(duì)他人的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)事實(shí)做出分析和評(píng)價(jià)。

二、 列表—枚舉法的分析運(yùn)算過程所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力

“雞兔同籠”問題是我國古代的著名數(shù)學(xué)趣題。早在1500年前，《孫子算經(jīng)》中就記載了“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”此題不僅有趣，有歷史文化背景，還有從算術(shù)到代數(shù)的多種解法，是中小學(xué)數(shù)學(xué)中“一題多解”的經(jīng)典樣題。一般來說，“雞兔同籠”主要有列表—枚舉法、算術(shù)—假設(shè)法、代數(shù)—方程法三類常見解法。根據(jù)小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平，教師在教學(xué)中常將數(shù)量簡化，具體以蘇教版教材（2014年版）六年級(jí)下冊(cè)第三單元“解決問題的策略”中的練一練“雞和兔一共有8只，它們的腿有22條。雞和兔各有多少只？”為例。

“雞兔同籠”問題的列表—枚舉法解題過程一般如下：按雞的只數(shù)從少到多逐一枚舉（如表1所示）。

五、“雞兔同籠”的解法反思過程所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力

解題后的反思是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一項(xiàng)重要內(nèi)容，其反思過程蘊(yùn)含著諸多數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的成分。如教師引導(dǎo)學(xué)生綜合反思“雞兔同籠”的列表—枚舉法、算術(shù)—假設(shè)法、代數(shù)—方程法的解法特征：列表—枚舉法具有嘗試、有序、常規(guī)等特征；算術(shù)—假設(shè)法具有精巧、有趣、簡潔等特征；代數(shù)—方程法具有簡潔、普遍、機(jī)械等特征。反思的這一過程也蘊(yùn)含著一些數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的成分，具體如表5所示。

如此對(duì)“雞兔同籠”問題的解法進(jìn)行反思的過程，能讓學(xué)生以旁觀者的身份提升解題能力，同時(shí)也創(chuàng)設(shè)了學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力培養(yǎng)的機(jī)會(huì)與內(nèi)容載體，體現(xiàn)了面向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)。

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)之一，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)目標(biāo)指向。解題作為數(shù)學(xué)教學(xué)的一項(xiàng)重要內(nèi)容，需要教師重新進(jìn)行理性思考、構(gòu)建與設(shè)計(jì)，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的培養(yǎng)。

【本文系基金項(xiàng)目（江蘇省高校哲學(xué)社會(huì)科學(xué)研究項(xiàng)目《學(xué)科素養(yǎng)導(dǎo)向的“三維知識(shí)”教學(xué)設(shè)計(jì)研究》（項(xiàng)目編號(hào)：2016SJB880087））的研究成果之一】

（責(zé)編 金 鈴）