超越不等式的解法探究

□海南省海南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 林瑞記 鄭伊楠

一、引言

不等式的求解本身是訓(xùn)練和考察學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要素材，更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)。所以，不等式的研究工作一直以來(lái)都是非?；钴S，不僅研究成果如雨后春筍，而且不等式的各個(gè)分枝也都是具有強(qiáng)大的吸引力的研究領(lǐng)域。不等式的解法有很多種，如：比較法、綜合分析法、反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法、換元法、拋物線技巧法、幾何證明法、積分法、極值法等等。然而，有關(guān)求解超越不等式的數(shù)學(xué)分析方法，依舊缺乏系統(tǒng)理論層面的提升。本文按照指數(shù)類(lèi)不等式、對(duì)數(shù)類(lèi)不等式、三角類(lèi)不等式分類(lèi)來(lái)求解或者證明，再由特殊的解法歸納總結(jié)到一般的解法。

二、關(guān)于指數(shù)類(lèi)超越不等式的解法探究

對(duì)于指數(shù)類(lèi)超越不等式，利用已有的基礎(chǔ)知識(shí)來(lái)求解。比如解一般指數(shù)不等式的同底法，即將超越不等式的指數(shù)式化為同底的指數(shù)式，然后利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解。

解：原超越不等式可化為

（1） 當(dāng)0＜x＜1時(shí)，（*） 式則同解于不等式-6x2-9x+15＞3x2-11x+1.即 ：9x2-2x-14＜0.由 于9x2-2x-14=0的兩個(gè)根分別為得9x2-2x-14＜0的解集為以，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，可以求得原超越不等式的解集為0＜x＜1.

（2） 當(dāng) x＞1時(shí) ，（*） 式 則 同 解 于 不 等 式-6x2-9x+15＜3x2-11x+1，即：9x2-2x-14＞0，它的解集為以當(dāng)x＞1時(shí)，原超越不等式的解為

三、關(guān)于對(duì)數(shù)類(lèi)超越不等式的解法探究

類(lèi)比于上例的講解，對(duì)于對(duì)數(shù)類(lèi)的超越不等式，也可以將超越不等式的對(duì)數(shù)式化為同底的對(duì)數(shù)式，然后利用對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax的單調(diào)性求解。

解：原超越不等式可以化為

即

令y=log3（3x-1）·則有，即：y2+y-＜0.解y2+y-=0的兩個(gè)根分別為y1=-

所以有

即

提問(wèn)是大多數(shù)初中英語(yǔ)閱讀課堂的必有環(huán)節(jié)之一，不僅可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)英語(yǔ)的好奇心，也可以鍛煉學(xué)生的分析能力以及解決能力，更可以活躍課堂氣氛。英語(yǔ)老師可以在綜合評(píng)估學(xué)生英語(yǔ)知識(shí)水平的基礎(chǔ)上對(duì)不同層次的學(xué)生設(shè)置不同的問(wèn)題，加強(qiáng)英語(yǔ)閱讀課堂提問(wèn)與學(xué)生知識(shí)水平的貼合度。

故

所以，原不等式的解集為log3

例3：解不等式log36

解：設(shè)x=log36t，則可得到.故原不等式可化為log7（1+6x）＞x，可得7x＜1+6x.兩邊同除7x以又可得到，令，則g（x）在x∈R上是減函數(shù)，且有，所以＞1，當(dāng)且僅當(dāng)x＜1.從而x=log36t＜1.所以，原不等式的解集為｛t｜0＜t＜36｝.

四、關(guān)于三角類(lèi)超越不等式的解法探究

對(duì)于三角類(lèi)的超越不等式，利用已有的三角函數(shù)知識(shí)來(lái)解答。比如：利用三角函數(shù)的恒等變化，以及三角函數(shù)的單調(diào)性、正負(fù)區(qū)間等特性來(lái)解決。

例4：設(shè)x∈（0，2π），n為正整數(shù)，解超越不等式sin

解：原不等式化為

再利用和差化積公式，可得

故原不等式的解為：

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，原不等式的解為π＜x＜2π.

結(jié)語(yǔ)

通過(guò)以上例子，歸納超越不等式的求解步驟如下：

（1）對(duì)超越不等式先做適當(dāng)?shù)淖兓?/p>

（2）把不等式所有關(guān)聯(lián)的項(xiàng)移到一邊，令其為函數(shù)h（x）；

（3）確定h（x）的定義域；

（4）令函數(shù)h（x），解其超越方程；

（5）進(jìn)一步討論函數(shù)h（x）在各個(gè)區(qū)間上的符號(hào)；

（6）由函數(shù)h（x）在各個(gè)區(qū)間上的符號(hào)，確定原不等式的解集。