摩擦因數(shù)對摩擦自激振動影響規(guī)律的數(shù)值分析

錢韋吉， 黃志強

(西南石油大學(xué) 機電工程學(xué)院，成都 610500)

在生產(chǎn)和工程領(lǐng)域以及人們的日常生活中，由摩擦引起的振動現(xiàn)象無處不在。例如機床高速切削時，刀具與工件之間產(chǎn)生的振動現(xiàn)象[1]；高速列車在過彎和加減速過程中產(chǎn)生的輪軌振動[2-3]；汽車在剎車過程中產(chǎn)生的尖叫噪聲[4]等，這些現(xiàn)象都與摩擦引起的自激振動息息相關(guān)。在大多數(shù)情況下，摩擦自激振動會加劇摩擦接觸面的磨損現(xiàn)象，并帶來噪聲等環(huán)境問題。因此，如何抑制和消除這些廣泛存在的摩擦自激振動現(xiàn)象一直是摩擦學(xué)研究中的一個重要主題。

為了揭示摩擦自激振動的產(chǎn)生機理，找到從源頭上抑制摩擦自激振動的方法，人們建立了一系列的摩擦模型來探索和解釋摩擦自激振動現(xiàn)象，例如黏滑摩擦模型[5]、摩擦力-相對滑動速度負斜率摩擦模型、自鎖-滑動摩擦模型[6]、模態(tài)耦合摩擦模型、摩擦力時滯效應(yīng)摩擦模型[7]、含摩擦振子的混沌行為模型[8]等十余種摩擦模型。到目前為止，摩擦自激振動的產(chǎn)生機理任然未被深入揭示，大部分摩擦模型僅能解釋摩擦自激振動產(chǎn)生的過程中的個別現(xiàn)象，并未得到一種系統(tǒng)性的規(guī)律。然而，上述摩擦模型都有一個比較統(tǒng)一的結(jié)論是：摩擦因數(shù)的變化對摩擦自激振動現(xiàn)象的產(chǎn)生和消失起著至關(guān)重要的影響。

目前，對摩擦自激振動的研究主要通過試驗方法和數(shù)值模擬的方法進行[9-10]。試驗方法可以直觀準確的測定摩擦自激振動發(fā)生時的振動頻率、振幅和摩擦力等參數(shù)。但是，對于在摩擦自激振動產(chǎn)生過程中的一些關(guān)鍵參數(shù)，例如接觸表面之間的摩擦因數(shù)，很難進行精確的控制。為了解決實驗過程中難以控制關(guān)鍵參數(shù)的缺陷，數(shù)值模擬的方法也被廣泛應(yīng)用于摩擦自激振動的研究當中[11-12]。有限元方法由于可以正確的反應(yīng)系統(tǒng)的自然頻率和彈性模態(tài)，逐漸成為摩擦自激振動研究過程中的主要數(shù)值模擬方法[13-14]。摩擦自激振動的有限元分析法主要有兩種：復(fù)特征值分析(Complex Eigenvalue Analysis)[15-16]和瞬時動態(tài)分析(Dynamic Transient Analysis)[17]。復(fù)特征值分析的理論基礎(chǔ)是摩擦接觸面之間的一個線性假設(shè)。它只能在穩(wěn)態(tài)滑動或接近穩(wěn)態(tài)滑動的情況下能獲得比較精確的結(jié)果。針對復(fù)特征值分析方法的缺點，人們提出了一種非線性的瞬時動態(tài)分析方法，這種方法最早由Nagy等在1994年應(yīng)用于汽車制動尖叫噪聲的有限元預(yù)測模型中。復(fù)特征值分析存在的很多缺點都可以使用瞬時動態(tài)分析來克服。

針對試驗過程中難以對摩擦因數(shù)進行有規(guī)律的調(diào)節(jié)的缺點，本文建立了金屬往復(fù)滑動試驗臺的有限元分析模型，分別采用瞬時動態(tài)分析和復(fù)特征值分析的方法，研究了在摩擦因數(shù)規(guī)律變化的條件下，摩擦自激振動在時域和頻域上的變化規(guī)律，及其對應(yīng)的振動模態(tài)的變化規(guī)律。

1 金屬往復(fù)滑動摩擦試驗系統(tǒng)

金屬往復(fù)滑動摩擦試驗系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)，如圖1(a)所示。該裝置主要由力傳感器、主動和被動試件、試件支架、動作器和加速度傳感器等組成。力傳感器上端被固定在試驗臺的橫梁上，下端連接被動試件支架，被動試件被牢固的粘貼在被動試件支架上，主動試件使用螺栓夾緊的方式安裝在主動試件支架上，主動試件支架安裝在試驗臺的動作器上。動作器帶動主動試件做上下往復(fù)滑動，其位移按正弦規(guī)律變化。被動試件與主動試件之間的法向載荷施加在被動試件支架的背面，靠近被動試件上下對稱面位置。被動件和主動件的材料均為45號鋼，主動件尺寸為40 mm×40 mm×40 mm，被動件的尺寸為20 mm×10 mm×10 mm。主動試件和被動試件之間的接觸面的表面粗糙度均為Ra=0.1 μm。在被動試件支架的背面，分別安裝有兩個壓電加速傳感器，用于測量試驗系統(tǒng)在法向和切向上的振動加速度。試驗的往復(fù)滑動行程為：1 mm，振幅D= 0.5 mm，頻率f=2 Hz，法向力Fn=100 N，試驗是在開放式大氣環(huán)境條件下進行的。

當主動試件和被動試件之間產(chǎn)生往復(fù)滑動時，試驗系統(tǒng)很容易發(fā)生摩擦自激振動，試驗結(jié)果如圖2所示。從圖2(a)和圖2(b)可知，摩擦自激振動主要發(fā)生在主動試件向上滑動的過程中。這一現(xiàn)象可以用自鎖-滑動摩擦模型進行解釋。試驗系統(tǒng)的機構(gòu)運動示意圖，如圖1(b)所示。由于力傳感器的剛度較小，可以被簡化為一個鉸支座；被動試件支架可以簡化為一根長度為l的彈性桿，它與主動試件滑動方向的夾角為θ；主動試件沿著豎直方向做上下往復(fù)滑動。被動試件在背面受到法向壓力P的作用，在接觸面上受到法向反力N的作用，當主動試件向上滑動時，被動試件所受摩擦力F豎直向上。在鉸支座的回轉(zhuǎn)中心點處，可以建立如下的力矩平衡方程

Plcosθ+Flsinθ-Nlcosθ=0

(1)

F=Nμ

(2)

式中：μ為摩擦因數(shù)；消去式(1)中的法向反力N，可得

F=μP/(1-μtanθ)

(3)

圖1 試驗裝置Fig.1 Test apparatus

當θ滿足一定的范圍時(tanθ→1/μ)，會使摩擦力F變得非常大。如果被動試件支架是一根剛性桿，系統(tǒng)將會發(fā)生自鎖現(xiàn)象。然而，實際上被動件支架為一根彈性桿，在較大的摩擦力的作用下，會發(fā)生彈性變形，進而形成“自鎖-變形-滑動”這一循環(huán)過程，從而產(chǎn)生摩擦自激振動。當主動件向下滑動時，被動試件所受摩擦力F方向向下，F(xiàn)=μP/(1+μtanθ)，不滿足系統(tǒng)自鎖的條件，因此沒有出現(xiàn)自激振動。圖2(c)和圖2(d)分別為圖2(a)和圖2(b)所示振動加速度的功率譜密度(Power Spectral Density,PSD)分析結(jié)果。PSD分析顯示，試驗系統(tǒng)發(fā)生摩擦自激振動時，其主要振動頻率為3 403.32 Hz，切向振動頻率為3 437.5 Hz。這一分析結(jié)果表明當摩擦自激振動出現(xiàn)時，其法向振動頻率與切向振動頻率非常接近，法向振動與切向振動的耦合也可能是摩擦自激振動產(chǎn)生的一種原因。

圖2 試驗實測結(jié)果，F(xiàn)n=100 N, f =2 Hz, D=0.5 mm, μ=0.38Fig.2 Experimental results, Fn=100 N, f =2 Hz, D=0.5 mm, μ=0.38

2 金屬往復(fù)滑動系統(tǒng)的有限元建模

通過對試驗系統(tǒng)的各主要部件(力傳感器、被動試件支架、主動試件支架、主動和被動試件)進行仔細測量，建立了試驗系統(tǒng)的1∶1有限元模型，如圖3(a)所示。有限元模型的參數(shù)設(shè)置如下：主動試件與被動試件采用相同的材料屬性，密度ρ=7 800 kg/m3，彈性模量E=2.1×105MPa，泊松比ν=0.3。法向壓力和運動參數(shù)的設(shè)置與試驗相同。模型采用8節(jié)點六面體縮減積分單元，整個模型共有154 618個單元。有限元模型的邊界條件，如圖3(b)所示。力傳感器的中心孔被施加了固支邊界條件(encastre)，主動件支架的底部被施加了位移約束(X和Z方向)。速度邊界條件也被施加在了主動件支架的底部(Y方向)，主動試件的速度變化規(guī)律為正弦規(guī)律。法向載荷(X方向)被施加在了被動件支架的背部。

圖3 往復(fù)滑動系統(tǒng)的有限元模型Fig.3 Model of the reciprocating sliding system

3 瞬時動態(tài)分析

3.1 摩擦自激振動瞬時動態(tài)分析簡介

本文采用ABAQUS/ Explicit有限元分析軟件對摩擦自激振動現(xiàn)象進行瞬時動態(tài)分析。在分析過程中，兩個滑動表面之間的摩擦力Fi通過庫倫摩擦定律進行計算。其計算公式為[18]：

(4)

在有限元分析過程中，式(4)必須進行線性化，其線性化的過程是直接對摩擦力函數(shù)進行微分，式(4)的線性化表達式如下

dFi=(μ+(?μ/?p)p)nidp+

(5)

式中：第一項(μ+(?μ/?p)p)nidp將在摩擦系統(tǒng)的剛度矩陣中產(chǎn)生非對稱項，使系統(tǒng)具有產(chǎn)生模態(tài)耦合現(xiàn)象的可能性，進而產(chǎn)生摩擦自激振動；第二和第三項作用于摩擦系統(tǒng)的阻尼矩陣。

摩擦自激振動的時域響應(yīng)采用顯式時間積分法進行計算，在此過程中，系統(tǒng)的平衡方程可以寫為如下形式

(6)

(7)

式中：[C]為系統(tǒng)的阻尼矩陣；[K+Kf]為系統(tǒng)的剛度矩陣，其中Kf為式(5)的第一項在剛度矩陣中產(chǎn)生的非對稱項。

使用中心差分法對式(6)進行顯式時間積分

(8)

(9)

3.2 有限元預(yù)測振動與實測振動的比較

為了驗證有限元分析模型能否正確地預(yù)測摩擦自激振動，作者對試驗實測結(jié)果和有限元瞬時動態(tài)分析結(jié)果進行了對比。有限元瞬時動態(tài)分析結(jié)果，如圖4所示。對比圖2和圖4可知，試驗結(jié)果和有限元瞬時動態(tài)分析結(jié)果在時域和頻域上都得到了很好的吻合。在時域上，試驗結(jié)果和有限元分析結(jié)果均顯示摩擦自激振動發(fā)生在主動試件向上運動的階段。并且，有限元分析結(jié)果和實測數(shù)據(jù)的振幅都在同一個數(shù)量級上。在0～0.25 s的上行程階段，實測振動加速度振幅的均方根為87.71 m/s2(法向)和14.84 m/s2(切向)。有限元預(yù)測的振動加速度振幅的均方根為95.54 m/s2(法向)和25.21 m/s2(切向)。在頻域上，實測數(shù)據(jù)顯示測試點的法向振動頻率為3 403.32 Hz，切向振動頻率為3 437.5 Hz。有限元分析結(jié)果顯示測試點的法向和切向振動頻率均為3 344.73 Hz。有限元分析結(jié)果更進一步的說明了，當摩擦自激振動產(chǎn)生時，系統(tǒng)的法向振動和切向振動發(fā)生了耦合。通過上述對比分析，可以說明有限元分析模型能準確的預(yù)測出摩擦自激振動的幅值和頻率，以及摩擦自激振動的出現(xiàn)時間，驗證了有限元分析模型的正確性。

圖4 有限元瞬時動態(tài)分析預(yù)測結(jié)果，F(xiàn)n=100 N， f=2 Hz， D=0.5 mm， μ=0.38Fig.4 Dynamic transient analysis results, Fn=100 N， f=2 Hz， D=0.5 mm， μ=0.38

3.3 時域分析結(jié)果及討論

摩擦因數(shù)的變化對摩擦自激振動的產(chǎn)生有非常重要的影響。然而，在試驗過程中很難對接觸面之間的摩擦因數(shù)進行精確控制。在有限元分析過程中，這一問題迎刃而解。圖5顯示了金屬往復(fù)滑動系統(tǒng)在不同摩擦因數(shù)條件下的法向振動情況。當摩擦因數(shù)較小時(μ<0.25)，系統(tǒng)在往復(fù)滑動的過程中是穩(wěn)定的，沒有摩擦自激振動現(xiàn)象產(chǎn)生，如圖5(a)所示。隨著摩擦因數(shù)的增大(0.25<μ<0.38)，金屬往復(fù)滑動系統(tǒng)逐漸產(chǎn)生了不連續(xù)的摩擦自激振動。并且，系統(tǒng)的振幅隨著摩擦因數(shù)的增大而增大，如圖5(b)、圖5(c)和圖5(d)所示。隨著摩擦因數(shù)的繼續(xù)增大，當μ>0.38時，金屬往復(fù)滑動系統(tǒng)的摩擦自激振動現(xiàn)象由不連續(xù)變?yōu)檫B續(xù)，如圖5(e)和圖5(f)所示。

金屬往復(fù)滑動系統(tǒng)的振動加速度的振幅也隨著摩擦因數(shù)的增大而發(fā)生了改變，如圖6所示。從圖6可知，當摩擦因數(shù)0.25<μ<0.35時，測試點的振幅隨著摩擦因數(shù)的增大而緩慢增大。此時，金屬往復(fù)滑動系統(tǒng)產(chǎn)生不連續(xù)的摩擦自激振動。當摩擦因數(shù)0.35<μ<0.38時，系統(tǒng)產(chǎn)生的摩擦自激振動迅速的由不連續(xù)變?yōu)檫B續(xù)，在這一階段，摩擦自激振動的振幅也呈指數(shù)型增大。當摩擦因數(shù)0.38<μ<0.65時，系統(tǒng)發(fā)生連續(xù)的摩擦自激振動，在這一階段，隨著摩擦因數(shù)的增大，系統(tǒng)的振幅僅小幅增大。

圖5 測試點在不同摩擦因數(shù)條件下的法向振動加速度，F(xiàn)n=100 N, f=2 Hz, D=0.5 mmFig.5 Evolution of vibration accelerations for different friction coefficient, Fn=100 N, f=2 Hz, D=0.5 mm

從上述分析可知，摩擦因數(shù)對摩擦振動的連續(xù)性和振幅有非常顯著的影響。當摩擦系統(tǒng)在摩擦力的作用下產(chǎn)生自激振動時，振動不是瞬間產(chǎn)生的，而是要經(jīng)歷三個階段：產(chǎn)生不連續(xù)的小幅振動；振動由不連續(xù)變?yōu)檫B續(xù)且振幅劇烈增大；持續(xù)穩(wěn)定的自激振動。產(chǎn)生這三個不同的振動階段的原因是：當摩擦因數(shù)較小時，摩擦力向系統(tǒng)輸入的能量較小，還不能使系統(tǒng)完全失穩(wěn)，系統(tǒng)在短暫失穩(wěn)以后會立刻回歸穩(wěn)定，因此，此時產(chǎn)生的振動是不連續(xù)的，并且振幅較小。隨著摩擦因數(shù)的增大，摩擦力向系統(tǒng)輸入的能量逐漸變大，當摩擦因數(shù)增大到一定程度時，系統(tǒng)達到失穩(wěn)的臨界點，此時系統(tǒng)的振幅快速增大，并且振動由不連續(xù)變?yōu)檫B續(xù)。最終，摩擦力的輸入能量與系統(tǒng)振動產(chǎn)生的耗散能量達到平衡，產(chǎn)生持續(xù)而穩(wěn)定的摩擦自激振動。

隨著摩擦因數(shù)的改變，金屬往復(fù)滑動系統(tǒng)的摩擦自激振動頻率也發(fā)生了無規(guī)律的小幅變化，如圖7所示。從圖7可知，摩擦因數(shù)的變化對摩擦自激振動頻率的影響相對較小，其主要振動頻率集中于約3 300 Hz。

圖6 測試點法向振動的振幅在不同摩擦因數(shù)條件下的變化情況Fig.6 Variation of the amplitudes of the vibration acceleration with friction coefficient

圖7 測試點法向振動的頻率在不同摩擦因數(shù)條件下的變化情況Fig.7 Variation of the vibration frequencies with friction coefficient

4 復(fù)特征值分析

4.1 摩擦自激振動復(fù)特征值分析簡介

復(fù)特征值分析主要用于分析摩擦系統(tǒng)在頻域范圍內(nèi)的穩(wěn)定性，找到摩擦系統(tǒng)在一定條件下最容易發(fā)生摩擦自激振動的頻率以及對應(yīng)的振動模態(tài)。復(fù)特征值分析的計算過程中，接觸表面之間摩擦力的計算方法同瞬時動態(tài)分析時采用的方法是一致的，同樣會在系統(tǒng)的剛度矩陣中產(chǎn)生非對稱項，其運動方程可以寫為如下形式

(10)

式中：[M]為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣；[C]為系統(tǒng)的阻尼矩陣；[K+Kf]為系統(tǒng)的剛度矩陣；x為系統(tǒng)的節(jié)點位移向量；Kf為由包含摩擦力作用的非對稱項。式(10)對應(yīng)的特征方程可寫為

([M]λ2+[C]λ+[K+Kf])φ=0

(11)

由于系統(tǒng)的剛度矩陣[K+Kf]為非對稱的，這使得式(11)的特征值有可能出現(xiàn)復(fù)數(shù)。因此，式(10)的通解即可寫為

x(t)=∑φiexp(αi+iωi)t

(12)

式中：t為時間；αi+iωi=λi為式(11)的特征值。從式(12)可知，當復(fù)特征值αi+iωi出現(xiàn)正實部時，系統(tǒng)可能會出現(xiàn)失穩(wěn)現(xiàn)象。在這種條件下，一個非常小的擾動也會使系統(tǒng)產(chǎn)生振幅越來越大的自激振動，這種振動即為摩擦自激振動。因此，復(fù)特征值分析可以預(yù)測摩擦系統(tǒng)在某一頻率發(fā)生摩擦自激振動的可能性。一般采用等效阻尼比ζ的形式來表達摩擦系統(tǒng)產(chǎn)生摩擦自激振動的可能性。

ζ=-2Re(λ)/|Im(λ)|

(13)

等效阻尼比越小，摩擦系統(tǒng)越容易發(fā)生摩擦自激振動。

4.2 頻域分析結(jié)果及討論

在主動試件上行程階段，往復(fù)滑動系統(tǒng)第1階～第16階振動模態(tài)的頻率隨摩擦因數(shù)變化的情況，如圖8(a)所示。從圖8(a)可知，當主動試件與被動試件之間的摩擦因數(shù)μ≥0.3時，系統(tǒng)的第14階振動模態(tài)和第15階振動模態(tài)發(fā)生了耦合。在這種情況下，系統(tǒng)的復(fù)特征值實部會出現(xiàn)正值，從而引發(fā)系統(tǒng)失穩(wěn)，產(chǎn)生自激振動。μ=0.3時，系統(tǒng)的摩擦自激振動頻率為3 423.2 Hz，隨著摩擦因數(shù)的增大，振動頻率發(fā)生了微小的變化。系統(tǒng)的等效阻尼比隨摩擦因數(shù)變化的情況，如圖8(b)所示。當摩擦因數(shù)μ<0.3時，系統(tǒng)的等效阻尼比為0，說明系統(tǒng)是穩(wěn)定的。當摩擦因數(shù)μ=0.3時，模態(tài)耦合現(xiàn)象產(chǎn)生，系統(tǒng)的等效阻尼比ζ變?yōu)樨撝担到y(tǒng)出現(xiàn)了不穩(wěn)定的自激振動。當摩擦因數(shù)0.3<μ<0.4時，等效阻尼比急劇減小，說明系統(tǒng)產(chǎn)生摩擦自激振動的可能性急劇增大。當摩擦因數(shù)μ>0.4時，系統(tǒng)的等效阻尼比變化趨于平緩。這一現(xiàn)象與瞬時動態(tài)分析結(jié)果(見圖6)相吻合。在主動試件下行程階段，復(fù)特征值分析顯示系統(tǒng)并未出現(xiàn)模態(tài)耦合現(xiàn)象，因此不會發(fā)生摩擦自激振動。

圖8 復(fù)特征值分析結(jié)果Fig.8 Complex eigenvalue analysis results

隨著摩擦因數(shù)的變化，金屬往復(fù)滑動系統(tǒng)的振動模態(tài)也隨之發(fā)生變化，如圖9所示。圖中U1，U2和U3這三個參數(shù)分別對應(yīng)系統(tǒng)在X，Y和Z三個方向上節(jié)點的模態(tài)位移。復(fù)特征值分析結(jié)果顯示，當摩擦因數(shù)0.3<μ<0.36時，系統(tǒng)的振動模態(tài)，如圖9(a)所示，對應(yīng)瞬時動態(tài)分析結(jié)果，系統(tǒng)此時發(fā)生的是不連續(xù)的摩擦自激振動。從圖9(a)可知，系統(tǒng)的振動主要發(fā)生在X(U1)方向和Y(U2)方向。當摩擦因數(shù)0.36<μ<0.38時，系統(tǒng)的振動模態(tài)發(fā)生了一定的變化，如圖9(b)所示。其振型變化主要發(fā)生在被動試件及其支架上，主動試件及其支架的振型變化不大。并且，系統(tǒng)的振動同樣主要發(fā)生在X方向和Y方向上。對應(yīng)瞬時動態(tài)分析結(jié)果，摩擦自激振動此時正在由不連續(xù)變?yōu)檫B續(xù)。當摩擦因數(shù)0.38<μ<0.65時，系統(tǒng)的振動模態(tài)也發(fā)生了一定的變化，如圖9(c)所示。此時，主、被動試件及其支架的振型均發(fā)生了一定的變化，系統(tǒng)的振動同樣集中在X方向和Y方向上。對應(yīng)瞬時動態(tài)分析結(jié)果，此時系統(tǒng)發(fā)生的是連續(xù)的摩擦自激振動。結(jié)合瞬時動態(tài)分析結(jié)果和復(fù)特征值分析結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)，隨著摩擦接觸面之間的摩擦因數(shù)μ的增大，當系統(tǒng)發(fā)生摩擦自激振動以后，會經(jīng)歷不連續(xù)的小幅振動，振幅劇烈增大，連續(xù)穩(wěn)定的自激振動三個階段。并且，在這三個階段中，系統(tǒng)的振動模態(tài)并不相同。在此過程中，摩擦自激振動的頻率和振動方向不會發(fā)生顯著變化。

圖9 在不同摩擦因數(shù)條件下的系統(tǒng)振動模態(tài)Fig.9 Evolution of mode shape of the reciprocating sliding system for different friction coefficient

5 結(jié) 論

本文分別使用瞬時動態(tài)分析法和復(fù)特征值分析法對金屬往復(fù)滑動系統(tǒng)產(chǎn)生的摩擦自激振動進行了有限元分析，研究了摩擦因數(shù)對摩擦自激振動的影響規(guī)律。結(jié)論歸納如下：

(1)隨著接觸面之間的摩擦因數(shù)的增大，當系統(tǒng)發(fā)生摩擦自激振動以后，會經(jīng)歷以下三個階段：①發(fā)生不連續(xù)的摩擦自激振動，在這一階段摩擦自激振動的振幅較小且不連續(xù)；②摩擦自激振動由不連續(xù)變?yōu)檫B續(xù)，在這一階段摩擦自激振動的振幅呈指數(shù)型增大；③發(fā)生穩(wěn)定連續(xù)的摩擦自激振動。

(2)在不同的階段，摩擦系統(tǒng)對應(yīng)的振動模態(tài)會發(fā)生改變。

(3)摩擦因數(shù)的變化對摩擦自激振動的頻率和主要振動方向影響較小。