立足數(shù)學(xué)本質(zhì) 實(shí)現(xiàn)有效教學(xué)

華佳

摘 要：教師在設(shè)計(jì)習(xí)題時(shí)，把內(nèi)容相近、數(shù)學(xué)思想方法相同、解決問題方法相似的習(xí)題放在一起進(jìn)行類比教學(xué)，讓學(xué)生在類比中對(duì)數(shù)學(xué)解題思路不斷加深、提高、開拓，從而優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，提升解決問題的能力.

關(guān)鍵詞：類比；數(shù)學(xué)教學(xué)；解題

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)常對(duì)典型的題目進(jìn)行探索和研究，通過類比（變換題目條件，改變圖形結(jié)構(gòu)，挖掘問題的結(jié)論，從特殊推廣到一般，將靜態(tài)圖動(dòng)起來），把蘊(yùn)含在題目中的數(shù)學(xué)思想方法揭示出來，挖掘出問題中的隱含條件，從而達(dá)到“做一題，通一類，會(huì)一片”解題境界[1].學(xué)生從中能夠獲取研究問題的有效方法，激活數(shù)學(xué)思維，提升探究問題、解決問題的能力.

一、由表及里的類比性習(xí)題

函數(shù)的性質(zhì)與解不等式之間也有微妙的聯(lián)系.有的題表面上是要求你求解不等式，實(shí)際上往往通過函數(shù)的性質(zhì)對(duì)不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，把括?hào)去掉，這樣問題就迎刃而解.

例1 已知函數(shù)[f（x）=（12）x-2x]，不等式[f（2m-mcosθ）+f（-1-cosθ）

分析：可以證得[f（x）]是奇函數(shù)，并且在R上單調(diào)遞減，[2m-mcosθ>1+cosθ]對(duì)任意的[θ∈0，π2]恒成立.分離變量得[m>1+cosθ2-cosθ]對(duì)任意的[θ∈0，π2]恒成立，即求[y=1+cosθ2-cosθ]的最大值，通過換元，分離常數(shù)可求出最大值為2，所以m>2.

評(píng)注： 很多學(xué)生把[2m-mcosθ]，[-1-cosθ]代入函數(shù)解析式，進(jìn)行解不等式，這樣計(jì)算量很大且很難解決.我們?cè)诮鉀Q問題時(shí)要透過現(xiàn)象看本質(zhì)，這題考查的是函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，利用性質(zhì)進(jìn)行求解，讓人豁然開朗，提高學(xué)生思維的靈活性和深刻性.

練習(xí)：已知函數(shù)[f（x）=x2+2x，x∈R，]則不等式[f（2x-1）≤f（1）]的解集為多少？

該題和例題是類似的解法，發(fā)現(xiàn)函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性〔容易看出函數(shù)是偶函數(shù)，在[（0，+∞）]是增函數(shù)，在[（-∞，0）]是單調(diào)減〕，利用性質(zhì)就可以求解了.

二、由此及彼的類比性習(xí)題

橢圓與雙曲線定義差別就在“和”與“差”上，所以兩者在定義、標(biāo)準(zhǔn)方程的形式、幾何性質(zhì)以及研究的方法等都存在很多相似之處.我們先研究橢圓的幾何性質(zhì)，然后通過類比得到雙曲線的一些性質(zhì)，感受兩種曲線的和諧統(tǒng)一.

例2 問題1：已知A是橢圓[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]上〔異于長(zhǎng)軸兩頂點(diǎn) B（-a，0），C（a，0）〕的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)A與長(zhǎng)軸兩頂點(diǎn)B，C連線的斜率之積為多少？

分析：設(shè)[A（x0，y0）]，則點(diǎn)A與長(zhǎng)軸兩頂點(diǎn)B（-a，0），C（a，0） 連線的斜率之積為[y0x0+a?y0x0-a=y20x20-a2]，將[y20=b2a2（a2-x20）]代入就可以得到斜率之積為定值[-b2a2].

類比將上面題中的“橢圓”改成“雙曲線”，就可以得到下面一個(gè)習(xí)題：

已知A是雙曲線[x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]上〔異于長(zhǎng)軸兩頂點(diǎn) B（-a，0），C（a，0）〕的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)A與長(zhǎng)軸兩頂點(diǎn)B，C連線的斜率之積為多少？

分析：這個(gè)問題和上面的例題是類似的求解，可得斜率之積為定值[b2a2].橢圓與雙曲線定義相近，它們之間可以設(shè)置很多相類似的習(xí)題，解決這些問題的方法也是相類似的，連最后的結(jié)論也有很多相似或相同的地方.

再通過類比，把例題中的“異于長(zhǎng)軸兩頂點(diǎn) B（-a，0），C （a，0）”換成“經(jīng)過原點(diǎn)的任意一條弦”結(jié)論是否成立？

分析：設(shè)[A（x0，y0）]，直線與橢圓相交于B（[x1，y1]），C（[-x1，-y1]）兩點(diǎn)，點(diǎn)A與兩交點(diǎn)連線的斜率之積為[y0-y1x0-x1?y0+y1x0+x1=y20-y21x20-x21]，將[y20=b2a2（a2-x20）]代入就可以得到斜率之積為定值[-b2a2].雙曲線也是用類似的求解方法，可以得到相類似的結(jié)論，可以得到斜率之積為定值[b2a2].

三、 解題方法相似的類比性習(xí)題

高中數(shù)學(xué)習(xí)題量大，題目繁雜，然而對(duì)于一類習(xí)題，它考查的思路是不變的.通過不斷的學(xué)習(xí)和總結(jié)就會(huì)找到相互之間的關(guān)聯(lián)，歸納得到一類數(shù)學(xué)題的解題思路.

例3 已知圓O：[x2+y2=1]，直線[l：ax+y=3]，若直線[l]上存在點(diǎn)P，過點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，使得[∠APB=60°]，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析：通過圖象可知OP的長(zhǎng)度是2，由圓的定義可知，動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)O的距離等于定長(zhǎng)2的點(diǎn)的軌跡是圓，所以點(diǎn)P的軌跡方程為[x2+y2=4].直線上存在點(diǎn)P，所以直線與圓有交點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系，這題就迎刃而解了.

練習(xí)1：已知圓[C：x-32+y-42=1]和兩點(diǎn)[A-m，0]，[Bm，0m>0]，若圓上存在點(diǎn)[P]，使得[∠APB=90°]，則[m]的取值范圍為多少？

分析：由題意，圓上存在點(diǎn)[P]，使得[∠APB=90°]，即AP[⊥]BP，由此可得出點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=m2，圓C上存在點(diǎn)P，所以兩圓有交點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為圓與圓之間的位置關(guān)系，就可以解決.這題雖然沒有直接出現(xiàn)圓的定義，但是和例1的思路是一樣的，求出點(diǎn)P的軌跡方程是圓.

練習(xí)2：在平面直角坐標(biāo)xOy中，已知A（1，0），B（4，0），圓（x-a）2+y2=1上存在唯一點(diǎn)P滿足[PAPB]=[12]，則實(shí)數(shù)a的取值集合是多少？

分析：由[A]，[B]為定點(diǎn)[PAPB]=[12]可知，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是阿波羅尼斯圓，它是圓的另一種形式.然后轉(zhuǎn)化為兩圓相切，進(jìn)行求解.

練習(xí)3：在平面直角坐標(biāo)系[xOy]中，已知點(diǎn)[A（-2，0）]，點(diǎn)[B]是圓[C：（x-2）2+y2=4]上任意一點(diǎn)，點(diǎn)[P]為[AB]中點(diǎn).若點(diǎn)[M]滿足[MA2+MO2=20]（其中[O]為坐標(biāo)原點(diǎn)），則線段[PM]長(zhǎng)度的取值范圍為多少？

分析：由[MA2+MO2=20]可得出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是圓，軌跡方程為（x+1）2+y2=9，點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=1，求線段[PM]長(zhǎng)度的取值范圍就是兩圓上兩點(diǎn)之間的取值范圍.

由例3、練習(xí)1、練習(xí)2、練習(xí)3四題都可得出軌跡為圓的幾種常見表現(xiàn)形式：（1）到定點(diǎn)距離是定長(zhǎng)：[PA=r]（[P]為動(dòng)點(diǎn)，[A]為定點(diǎn)）；（2）到兩定點(diǎn)連線垂直：[PA⊥PB]（[P]為動(dòng)點(diǎn)，[A]，[B]為定點(diǎn)）；（3）到兩定點(diǎn)距離之比是不為1的定值（阿波羅尼斯圓）：[PAPB=λ（λ≠1）]（[P]為動(dòng)點(diǎn)，[A]、[B]為定點(diǎn)）；（4）到兩定點(diǎn)距離平方和為定值：[PA2+PB2=k]（[P]為動(dòng)點(diǎn)，[A]，[B]為定點(diǎn)）. 這幾類問題都是把圓的軌跡方程求出來，然后轉(zhuǎn)化成直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，問題就容易解決.學(xué)生在以后解題過程中看到這些表現(xiàn)形式就知道是圓方程，求出方程問題就迎刃而解了.

四、同一概念下不同屬性的類比性習(xí)題

知識(shí)求連，方法求變，問題求活.學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展是有規(guī)律的，類比教學(xué)是學(xué)生獲取知識(shí)本質(zhì)、數(shù)學(xué)思想方法和解題思維能力的有效途徑.

例4 O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足[OP=OA+λ（AB+AC）]，[λ∈0，+∞]，則點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的什么心？

分析：取△ABC邊BC中點(diǎn)D，[OP-OA=λ（AB+AC）=2λAD]，P為公共點(diǎn)，所以A，P，D三點(diǎn)共線，所以點(diǎn)P過[△]ABC的重心.緊緊抓住△ABC重心是中線的交點(diǎn)這一屬性.

類比上述例題，O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足[OP=OA+λ（AB|AB|+AC|AC|）]，[λ∈0，+∞]，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡通過[△]ABC的什么心？

分析：式子變形為[AP=λ（AB|AB|+AC|AC|）]，根據(jù)單位向量[AB|AB|]，[AC|AC|]，可知點(diǎn)P在[∠A]的平分線上，又[λ>0]則知點(diǎn)P經(jīng)過[△]ABC內(nèi)心.這道題目考查了向量的合成和分解、單位向量以及數(shù)量積的知識(shí)，具備一定數(shù)的形結(jié)合能力，注重知識(shí)間向量與三角形知識(shí)間的聯(lián)系.

類比：O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足[OP=OA+λ（AB|AB|sinB+AC|AC| sinC）]，[λ∈0，+∞]，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡通過[△]ABC的什么心？

分析：這題關(guān)鍵是觸發(fā)學(xué)生對(duì)結(jié)構(gòu)[|AB| sinB]、[|AC| sinC]如何理解和突破，可以引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想到正弦定理.由正弦定理知[sinB=|AC|2R]，[sinC=|AB|2R]，代入后可得[AP=2Rλ|AB|?|AC|（|AB|+|AC|）]，可知點(diǎn)P在BC邊的中線上，結(jié)合圖形可知點(diǎn)P的軌跡過三角形的重心.

波利亞曾經(jīng)說過：“類比是偉人的領(lǐng)路人.”類比性習(xí)題教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生觀察、探究、推理，感悟數(shù)學(xué)思想方法的概括內(nèi)化過程，喚醒學(xué)生認(rèn)知的內(nèi)驅(qū)力，獲得對(duì)問題的深度認(rèn)識(shí)，形成有效的學(xué)習(xí)策略[2]

參考文獻(xiàn)：

[1]吳成強(qiáng)，程勝.類比性習(xí)題設(shè)計(jì)的實(shí)踐與研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2014（5）：18-20.

[2]徐春波.備課環(huán)節(jié)中注重變式和類比能力的建構(gòu)[J].新課程學(xué)習(xí)，2011（1）：171-172.