數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生結(jié)構(gòu)性思維的路徑探索

楊曉霞 易良斌

摘 要：教材的編寫讓我們看到的數(shù)學(xué)知識是零碎的顯性知識.這對學(xué)生的結(jié)構(gòu)性思維發(fā)展是極其不利的.因此，教師要根據(jù)教材的知識發(fā)展和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，精心選擇和組織“結(jié)構(gòu)化”知識，從進(jìn)一步完善教學(xué)環(huán)節(jié)入手，將孤立的、分散的、繁雜的數(shù)學(xué)知識串聯(lián)起來，使其具有關(guān)聯(lián)性、層次性、有序性，引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)自我建構(gòu)，發(fā)展學(xué)習(xí)力.

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)性思維；學(xué)習(xí)力；立體化

數(shù)學(xué)教材編排的知識體系是結(jié)構(gòu)化的，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也是建構(gòu)性的.教材編寫時(shí)，不得已將它們分割開來，編入不同章節(jié).教師一章一節(jié)地教，學(xué)生一章一節(jié)地學(xué)，很難將知識連成整體，這在一定程度上，阻礙了學(xué)生的認(rèn)知能力發(fā)展，較難形成結(jié)構(gòu)化的思維品質(zhì).課堂教學(xué)作為一個(gè)生態(tài)系統(tǒng)，必須從整體上把握，對數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的情境創(chuàng)設(shè)、素材選擇、活動(dòng)組織、結(jié)構(gòu)安排、媒體使用等教學(xué)要素需要精確把握和妙用，幫助學(xué)生揭示數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)一種整體性的意義建構(gòu).這樣的工作應(yīng)該從每一節(jié)課滲透、孕伏，每一單元給予點(diǎn)撥和強(qiáng)化，整個(gè)初中學(xué)段組織梳理概括.唯有這樣，我們才能在組織教學(xué)時(shí)找準(zhǔn)“結(jié)構(gòu)”的結(jié)點(diǎn)，抓住知識的本質(zhì)，催生學(xué)生學(xué)習(xí)力的發(fā)展和素養(yǎng)的提升.

一、思維鏈——每一堂課的思維立體化

結(jié)構(gòu)性思維的培養(yǎng)就像爬階梯，每一級階梯都由點(diǎn)、線、面、體組成，每一堂課恰似點(diǎn)和線組成的面.首先厘清每塊面上有什么教學(xué)目標(biāo)，然后對這些“點(diǎn)”進(jìn)行分析、聯(lián)系起來，形成一條條的線，再由這些散開出去的線組成一個(gè)面.在每一節(jié)數(shù)學(xué)課上，要以簡明的教學(xué)結(jié)構(gòu)和豐富的數(shù)學(xué)材料教給學(xué)生思考的過程和數(shù)學(xué)方法，抵達(dá)教學(xué)的本質(zhì)目標(biāo)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光和數(shù)學(xué)素養(yǎng)[1].

例如作圖是數(shù)學(xué)課程中一個(gè)重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，也是一種很好的實(shí)踐操作和思維訓(xùn)練方式.在新課程標(biāo)準(zhǔn)中作圖也是教學(xué)內(nèi)容一個(gè)重要的組成部分，其中“怎樣作一個(gè)∠ABC的角平分線”是平面幾何中最基本的作圖方法之一.在教授這個(gè)知識點(diǎn)時(shí)，筆者布置了對此作圖畫法的探究，提供學(xué)生自主合作探究的舞臺，營造思維馳騁的空間.在經(jīng)歷知識的發(fā)現(xiàn)過程中，師生一起思考、交流，盡量為學(xué)生提供“做中學(xué)”的時(shí)空，呈現(xiàn)多種畫法，思路各具特色，畫法豐富多彩.

師：假如圖形已經(jīng)作出，如果我們能確定∠ABC的平分線上的一個(gè)點(diǎn)P，那么我們就能作出這條角平分線了.那這個(gè)點(diǎn)如何確定呢？

生：因?yàn)椤螦BP=∠CBP，所以我們構(gòu)造一對全等的三角形，使∠ABP與∠CBP成為對應(yīng)角.這只要利用圓規(guī)在角邊BA，BC上截取兩條相等的線段BD，BE，然后分別以D，E為端點(diǎn)，另一個(gè)端點(diǎn)P公共，作兩條線段，就能作出一對全等三角形.而這些都可以利用圓規(guī)和直尺完成.

在討論這個(gè)作法正確的理由是利用SSS判定三角形全等后，筆者繼續(xù)提問：再想想看，如果把圓規(guī)和直尺替換成“角尺”，我們該怎樣作出角平分線呢？

為了喚起學(xué)生的興趣，激勵(lì)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，大膽探索，筆者每次事先安排好學(xué)具，采用小組討論交流的形式，借助團(tuán)隊(duì)力量完成.在此基礎(chǔ)上，選取小組代表發(fā)表看法[2].

生：和圓規(guī)使用的原理一樣，首先用角尺分別在角兩邊量取BD=BE（如圖1）.

圖1

然后把角尺放置在角的內(nèi)部，找到一個(gè)點(diǎn)P，使得PD=PE（如圖2）.作射線BP，即為所求的角平分線（如圖3）.

圖2 圖3

在討論這個(gè)作法正確的理由仍然是利用SSS判定三角形全等后，筆者把角尺換成角平分器，而且給學(xué)生充足的活動(dòng)空間，讓學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦.小組之間爭論不休，各抒己見，課堂氣氛活躍，學(xué)生的情緒高漲.

生：將角平分器四邊形OMPQ（滿足條件OM=OQ，MP=QP）的頂點(diǎn)O與∠ABC的頂點(diǎn)B重合，OM，OQ分別重合在邊BM，BQ上；過點(diǎn)P作射線BP.則射線BP 就是∠ABC的平分線（如圖4）.

[O][B][M][P][O][B][M][B][M][C][P][Q][P][O]

圖4

“樂思方有思泉涌”，在接下來的課堂教學(xué)中，時(shí)時(shí)關(guān)注學(xué)生的思維發(fā)展過程，注意營造積極的思維狀態(tài)，創(chuàng)設(shè)民主、寬松、和諧的課堂氣氛，讓學(xué)生暢所欲言.學(xué)生的創(chuàng)造火花不斷閃現(xiàn)，學(xué)生的情緒達(dá)到高潮.

生：我使用的是刻度尺和三角板，首先在角兩邊分別截取BD=BE（如圖5）；

圖5

然后分別過點(diǎn)D，E作BD和BE的垂線，相交于點(diǎn)P（如圖6）；

圖6

最后作射線BP，即為所求的角平分線（如圖7）.

圖7

這種探索性、結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)教學(xué)方式在其后亦得到進(jìn)一步的貫徹，方法層出不窮.比如另兩種尺規(guī)畫法（如圖8），另兩種三角板畫法（如圖9），一種刻度尺畫法（如圖10）.在學(xué)生發(fā)表個(gè)性化的畫法后，教師借助“幾何畫板”，采取讓學(xué)生動(dòng)手畫一畫、量一量的方式，使學(xué)生通過對直觀圖形的觀察歸納和猜想，自己去發(fā)現(xiàn)結(jié)論，并引導(dǎo)學(xué)生證明猜想，對作圖方法做進(jìn)一步的完善.

圖8

圖9 圖10

但要說明的是，多角度、多側(cè)面地進(jìn)行分析思考不等于胡亂地堆砌、盲目地安排，應(yīng)根據(jù)學(xué)生思維特點(diǎn)層層遞進(jìn)，逐層深入，所有素材要承載豐富的情智和深刻的思維.該案例經(jīng)歷“觀察圖形，搜集信息——根據(jù)獲取的信息提出問題——合作學(xué)習(xí)，解決問題”的思維過程，在這個(gè)過程中留給學(xué)生一條長長的思想隧道，訓(xùn)練了學(xué)生的結(jié)構(gòu)性思維.如此，學(xué)生的思維才會(huì)清晰，對所學(xué)的知識才能系統(tǒng)地整理與歸納.

二、思維塊——每一單元的思維立體化

前面談到每堂課是一塊面，那么每一單元就是一塊塊的面交疊在一起形成的階梯.對教師而言，在研讀和使用教材的過程時(shí)，應(yīng)把握精髓、優(yōu)化組合、整體架構(gòu)，將自身對教材的理解不同程度地融入教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，或補(bǔ)充，或刪減，或合并，或調(diào)整，讓知識顯得更加凝練，締造深刻.

比如計(jì)算能力該怎樣進(jìn)行設(shè)計(jì)，可以使得學(xué)生的水平能夠有一個(gè)明顯的提升呢？我們可以分析一下，有哪些載體支持計(jì)算能力.然后在這些載體中，應(yīng)該如何幫助學(xué)生提升他的計(jì)算能力，而不是簡單的仿學(xué)和識記.與我們傳統(tǒng)單元的教學(xué)設(shè)計(jì)相比，視野和思路都需要開拓一些.一個(gè)單元設(shè)計(jì)中，肯定有一個(gè)或兩個(gè)核心的主題詞.例如因式分解教學(xué)中，其實(shí)二次三項(xiàng)式在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解的方法主要包含兩類，一是提取公因式，二是十字相乘法.其中十字相乘法因式分解包含公式法因式分解，公式法因式分解只是十字相乘法因式分解的兩種特殊情況.如果把這層關(guān)系介紹給學(xué)生，那就能把零散在一章里的課時(shí)內(nèi)容整合起來，使其結(jié)構(gòu)化，學(xué)習(xí)的整體感更強(qiáng).

（一）用十字相乘法解釋完全平方公式法

用十字交叉線表示

a +b

a +b

ab + ab = 2ab

即a2 + 2ab +b2 =（a + b） （a + b）

=（a + b）2

a -b

a -b

ab + ab = -2ab

即a2 - 2ab +b2 =（a - b） （a - b）

=（a - b）2

（二）用十字相乘法解釋平方差公式法

用十字交叉線表示

a +b

a -b

-ab+ab = 0

即a2 -b2= a2+ 0ab- b2

=（a + b）（a - b）

這樣就把貌似獨(dú)立的三個(gè)因式分解方法都打通了.這樣就可以對分散在每一節(jié)里的單元知識進(jìn)行整理和概括，自然跨步，恰到好處.這在一定程度上實(shí)現(xiàn)認(rèn)識的提升，上下連貫，首尾呼應(yīng)，將幾個(gè)課時(shí)的結(jié)構(gòu)連接成一體.

三、思維場——整個(gè)學(xué)段的思維立體化

數(shù)學(xué)有著自己的結(jié)構(gòu)群.對不同結(jié)構(gòu)群內(nèi)在聯(lián)系的學(xué)習(xí)和內(nèi)化，有助于學(xué)生對有差異而又能相通的結(jié)構(gòu)群進(jìn)行融合，用綜合的眼光去發(fā)現(xiàn)問題、認(rèn)識問題和解決問題.我們在教學(xué)時(shí)應(yīng)多一些“系統(tǒng)”的眼光，對教材編排的數(shù)學(xué)知識多一些整體考慮，帶給學(xué)生更多的宏觀視野、結(jié)構(gòu)思維、建構(gòu)啟示，把在不同時(shí)期學(xué)到的知識串珠成鏈，裝在頭腦中，形成穩(wěn)定的數(shù)學(xué)知識認(rèn)知“鏈”.

例如，浙教版《數(shù)學(xué)》九上§2.4二次函數(shù)的應(yīng)用（3）的例5：“求一元二次方程x2+x-1=0的解.”這是利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解的問題.在該知識的教學(xué)上，筆者掙脫固有模式，充分激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，通過引導(dǎo)學(xué)生討論展開課堂教學(xué)，設(shè)計(jì)了三個(gè)層面的設(shè)問.

（一）二次函數(shù)和方程的關(guān)系

筆者讓學(xué)生觀察函數(shù)y=x2+x-1，問當(dāng)x取何值時(shí)，y=0？這里x的取值與方程x2+x-1=0有什么關(guān)系？這樣設(shè)問，學(xué)生馬上就想到利用二次函數(shù)的圖象來求一元二次方程的解了.

甲：單獨(dú)畫出一個(gè)函數(shù)y=x2+x-1的圖象，觀察它與x軸的交點(diǎn)，把交點(diǎn)的橫坐標(biāo)作為方程的解.

乙：把方程x2+x-1=0進(jìn)行移項(xiàng)，得到方程x2+x=1.則可以分別畫出函數(shù)y=x2+ x和直線y= 1的圖象，觀察它們的交點(diǎn)，把交點(diǎn)的橫坐標(biāo)作為方程的解.

丁：那我也可以把方程x2+x-1=0進(jìn)行移項(xiàng)，得到方程x2= -x+1.分別畫出函數(shù)y=x2和y= -x+1的圖象，后面做法也是一樣的.

戊：我還可以把方程x2+x-1=0進(jìn)行移項(xiàng)，得到方程x2-1= -x.分別畫出函數(shù)y= x2-1和y= -x的圖象……

（二）二次函數(shù)和方程組的關(guān)系

基于以上對二次函數(shù)應(yīng)用的理解和分析，緊接著筆者出示如下的例題：

“利用函數(shù)的圖象，求方程組[y=x2，y=-x+1]的解.”

所以問題一出示，學(xué)生都叫了：這不是和上面那個(gè)題目一樣嗎！可以通過直接畫出函數(shù)y=x2和y= -x+1的圖象，得到它們的交點(diǎn)，從而得到方程組的解.鑒于二次函數(shù)的用途及我們班學(xué)生分析能力較強(qiáng)，筆者又進(jìn)一步趁熱打鐵，引出二次函數(shù)和一元二次不等式的關(guān)系.

（三）二次函數(shù)和一元二次不等式的關(guān)系

“求不等式x2+x-1>0的解集.”

這個(gè)不等式對初中生來說是陌生的，所以問題一出示，學(xué)生都愣住了，不知道從何下手.筆者啟發(fā)道：函數(shù)y=x2+x-1中，x取什么值時(shí)，函數(shù)值y大于0？x取什么值時(shí)，函數(shù)值y小于0？這樣設(shè)問，把利用二次函數(shù)的圖象來求一元二次不等式的解集呼之欲出.

甲：單獨(dú)畫出一個(gè)函數(shù)y=x2+x-1的圖象，觀察它與x軸的交點(diǎn)，找拋物線在x 軸上方時(shí)x的范圍.觀察得出x1≈0.6，x2≈-1.6，解集是x<0.6或x>-1.6.

乙：把x2+x-1>0變形成x2+x>1，分別畫出函數(shù)y=x2+ x和y= 1的圖象，觀察它們的交點(diǎn)，找拋物線在直線上方時(shí)x的范圍.

?。喊褁2+x-1>0變形成x2 > - x+1，分別畫出函數(shù)y=x2和y= -x+1的圖象，后面做法都一樣.

戊：把x2+x-1>0變形成x2 -1> - x，分別畫出函數(shù)y= x2-1和y= -x的圖象……

這種對“內(nèi)在聯(lián)系”的把握和對“知識結(jié)構(gòu)”的梳理，有利于學(xué)生的學(xué)習(xí)遷移，是學(xué)習(xí)力發(fā)展的重要基礎(chǔ).

所以，數(shù)學(xué)的教學(xué)不能不加組織地向?qū)W生傳授孤立的知識，而是要強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識的整體性和結(jié)構(gòu)性；數(shù)學(xué)的課堂不能只是停留在教材和教學(xué)的表面，而是師生“生命在場”的課堂，彰顯教學(xué)與人的精神力量的課堂.這就要求教師關(guān)注學(xué)生的思維，從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度多琢磨教材的編排意圖，進(jìn)行合理的補(bǔ)充、加工和改造.讓學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，將知識的一般性和特殊性、初級形態(tài)和高級形態(tài)有機(jī)整合，能動(dòng)地建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).這樣，學(xué)生的學(xué)習(xí)力發(fā)展就會(huì)無限可能.

參考文獻(xiàn)：

[1]許衛(wèi)兵.簡約數(shù)學(xué)教學(xué)[M].南京：江蘇教育出版社，2011：57-63.

[2]安德烈·雷德芬.卓越教師的200條教學(xué)策略[M].丁涵，譯.北京：中國青年出版社，2016：152-156.