基于橢圓RHM的擴(kuò)展目標(biāo)伯努利濾波算法

張永權(quán), 張海濤, 姬紅兵

(西安電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院, 陜西 西安 710071)

0 引 言

在傳統(tǒng)目標(biāo)跟蹤方法[1]中,通常將目標(biāo)看作點(diǎn)目標(biāo),忽略其形狀特征。隨著高分辨率傳感器的廣泛應(yīng)用,可獲取的目標(biāo)信息也隨之增加,不僅能獲得目標(biāo)運(yùn)動(dòng)信息,也能獲得目標(biāo)的形狀等信息。綜合利用這些信息,可以提高目標(biāo)跟蹤精度的同時(shí),也能獲得關(guān)于目標(biāo)的屬性,有利于后續(xù)的進(jìn)一步處理。例如,高分辨率雷達(dá)可測(cè)量目標(biāo)多個(gè)等效散射中心,并且每一時(shí)刻接收到的散射中心點(diǎn)數(shù)目會(huì)隨目標(biāo)姿態(tài)的變化而不斷變化。針對(duì)這些情況,傳統(tǒng)的點(diǎn)目標(biāo)跟蹤方法的性能下降甚至失效。近年來(lái),出現(xiàn)的擴(kuò)展目標(biāo)跟蹤技術(shù),引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。

針對(duì)擴(kuò)展目標(biāo)跟蹤,文獻(xiàn)[2]提出了一種擴(kuò)展目標(biāo)模型,該模型利用空間分布描述目標(biāo)。在此基礎(chǔ)上,進(jìn)一步提出了擴(kuò)展目標(biāo)的泊松分布模型[3],該模型假設(shè)目標(biāo)產(chǎn)生的量測(cè)數(shù)服從泊松分布。同時(shí),為了解決數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)問(wèn)題,文獻(xiàn)[4]將隨機(jī)集理論應(yīng)用于擴(kuò)展目標(biāo)跟蹤,提出了擴(kuò)展目標(biāo)概率假設(shè)密度(probability hypothesis density, PHD)濾波。文獻(xiàn)[5]提出了勢(shì)PHD(cardinalized PHD, CPHD)濾波以解決PHD濾波估計(jì)目標(biāo)數(shù)不準(zhǔn)確的問(wèn)題。文獻(xiàn)[6]提出了基于伯努利濾波的擴(kuò)展目標(biāo)跟蹤方法,該方法可以同時(shí)估計(jì)目標(biāo)的存在概率和后驗(yàn)概率密度函數(shù)。由于擴(kuò)展目標(biāo)不同于點(diǎn)目標(biāo),其狀態(tài)信息同時(shí)包含了目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和擴(kuò)展?fàn)顟B(tài),可借助擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)改善對(duì)擴(kuò)展目標(biāo)跟蹤的性能,提高目標(biāo)跟蹤的精度。為了估計(jì)擴(kuò)展?fàn)顟B(tài),文獻(xiàn)[7]提出了隨機(jī)矩陣方法,采用對(duì)稱正定矩陣描述目標(biāo)的擴(kuò)展信息。雖然該方法經(jīng)過(guò)完善可估計(jì)目標(biāo)擴(kuò)展?fàn)顟B(tài),但在算法中假設(shè)量測(cè)噪聲僅由目標(biāo)擴(kuò)展引起,忽略了傳感器自身的噪聲,且在運(yùn)動(dòng)狀態(tài)預(yù)測(cè)和更新過(guò)程中與擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)的估計(jì)相關(guān)聯(lián),導(dǎo)致估計(jì)精度受限。另一種描述目標(biāo)擴(kuò)展的模型是隨機(jī)超曲面模型(random hypersurface model, RHM)[8-11],它假設(shè)量測(cè)是由RHM上的量測(cè)源產(chǎn)生,對(duì)量測(cè)源的建模即可反映目標(biāo)的擴(kuò)展程度,同時(shí)考慮了傳感器的噪聲。

鑒于RHM對(duì)擴(kuò)展目標(biāo)形狀估計(jì)的良好性能,本文利用RHM對(duì)擴(kuò)展目標(biāo)量測(cè)源建模。在擴(kuò)展目標(biāo)跟蹤中,觀測(cè)數(shù)據(jù)與目標(biāo)動(dòng)態(tài)參數(shù)之間存在非線性關(guān)系,然而擴(kuò)展目標(biāo)的非線性濾波似然函數(shù)沒(méi)有閉合解。為此,本文以伯努利濾波為框架,以序列蒙特卡羅(sequential Monte Carlo, SMC)為實(shí)現(xiàn)形式,利用RHM構(gòu)建量測(cè)源模型,并給出量測(cè)似然函數(shù);此外,引入Gamma分布估計(jì)目標(biāo)量測(cè)率,并將量測(cè)率估計(jì)結(jié)果應(yīng)用到伯努利濾波更新方程,推導(dǎo)出擴(kuò)展目標(biāo)狀態(tài)更新方程。最后,通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證所提算法的有效性,并且在真實(shí)監(jiān)控視頻中驗(yàn)證所提算法的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

1 相關(guān)基礎(chǔ)

1.1 橢圓隨機(jī)超曲面

該模型的量測(cè)產(chǎn)生過(guò)程可描述為:首先,從擴(kuò)展目標(biāo)表面的不同位置產(chǎn)生量測(cè)源;然后,通過(guò)量測(cè)源和傳感器噪聲產(chǎn)生最終的量測(cè)[12]。

,i=1,2,…,nT

(1)

圖1 量測(cè)產(chǎn)生模型Fig.1 Measurement generation model

(2)

式中,sk為尺度因子,且sk∈[0,1]。本文為了便于計(jì)算,采用極坐標(biāo)描述橢圓RHM,即

;ak,bk,φk)·ek

(3)

(4)

(5)

由式(1)和式(3)可得非線性量測(cè)方程

(6)

1.2 擴(kuò)展目標(biāo)伯努利濾波算法

這里僅給出伯努利濾波算法的簡(jiǎn)要描述,具體形式可參見(jiàn)文獻(xiàn)[6,13-14]。

在隨機(jī)有限集(random finite set, RFS)框架中,k時(shí)刻伯努利過(guò)程可用{qk|k,sk|k(x)}表示。其中,qk|k為目標(biāo)存在概率,sk|k(x)為后驗(yàn)概率密度函數(shù)。它們的預(yù)測(cè)方程與標(biāo)準(zhǔn)伯努利濾波算法一致,即

qk|k-1=pb(1-qk-1|k-1)+psqk-1|k-1

(7)

(8)

式中,pb和ps分別為目標(biāo)的新生概率和存活概率;πk|k-1(x|x′)表示目標(biāo)狀態(tài)由x′到x的轉(zhuǎn)移概率密度函數(shù)；bk|k-1(x)為目標(biāo)新生的概率密度函數(shù)。

由標(biāo)準(zhǔn)伯努利濾波的遞推公式可得出擴(kuò)展目標(biāo)跟蹤的更新方程為

(9)

sk|k(x)=[(1-pd)Lk+

(10)

式中

Ψk×

(11)

(12)

式中，P1∶Lk(Zk)為量測(cè)集Zk所有劃分子集的集合,其基數(shù)為1,2,…,Lk。

1.3 存在問(wèn)題

由于上述算法采用較為簡(jiǎn)單的隨機(jī)游走模型描述目標(biāo)的擴(kuò)展?fàn)顟B(tài),且沒(méi)有建立一個(gè)確切的目標(biāo)量測(cè)源模型,而是利用空間分布描述量測(cè)密度,致使估計(jì)精度降低。此外,式(10)中的量測(cè)率Lk的估計(jì)方法較為簡(jiǎn)單,即

(13)

該方法僅簡(jiǎn)單結(jié)合了當(dāng)前量測(cè)數(shù)、檢測(cè)概率和雜波率,并未進(jìn)一步深入考慮其內(nèi)在的數(shù)學(xué)模型,致使該方法得到的量測(cè)率估計(jì)誤差較大,進(jìn)而影響跟蹤效果。再者,當(dāng)量測(cè)數(shù)目較多時(shí),上述濾波算法由于考慮了所有可能的劃分結(jié)果P1∶Lk(Zk),導(dǎo)致計(jì)算量過(guò)大,嚴(yán)重影響該濾波算法的計(jì)算效率。

2 基于橢圓RHM伯努利濾波算法

針對(duì)第1.3節(jié)提到的問(wèn)題,本節(jié)首先給出基于橢圓RHM的伯努利濾波算法更新方程。其次,引入Gamma分布[15-16]模型估計(jì)量測(cè)率。最后,為了便于實(shí)現(xiàn),給出所提算法的粒子實(shí)現(xiàn)方法,并簡(jiǎn)化劃分集合P1∶Lk(Zk),以減少算法的計(jì)算量。

2.1 基于橢圓RHM的伯努利濾波更新

預(yù)測(cè)方程與標(biāo)準(zhǔn)的伯努利濾波一致,此處僅給出更新過(guò)程的推導(dǎo)。

似然函數(shù)取決于量測(cè)模型,由于式(10)中未考慮量測(cè)模型,因此似然函數(shù)gk(z|x)沒(méi)有確切的數(shù)學(xué)表達(dá)式[17]。本文采用RHM對(duì)目標(biāo)量測(cè)源建模,則式(10)中的似然函數(shù)可以表示為

g(zk|xk)=?δ(zk-(h(xk,s)+vk))·

N(vk;0,Rk)·fs(s)dvkds=

(14)

式中,fs(s)為尺度因子s的概率密度函數(shù)。

通過(guò)計(jì)算可以得到似然函數(shù)的閉合解,但所得到的結(jié)果數(shù)值不穩(wěn)定,因而不適合于狀態(tài)估計(jì)。為得到穩(wěn)定的似然函數(shù)閉合解,且便于數(shù)學(xué)處理,可通過(guò)矩匹配的方式采用高斯分布近似fs(s),即

(15)

然后,將fs(s)代入似然函數(shù)中,由式(14)可得

(16)

為了便于工程實(shí)現(xiàn),通常需要計(jì)算對(duì)數(shù)似然。對(duì)式(16)進(jìn)行數(shù)學(xué)處理,可得到相應(yīng)似然函數(shù)的對(duì)數(shù)形式為

(17)

以上僅考慮了每時(shí)刻產(chǎn)生一個(gè)量測(cè)的情況。實(shí)際中,每一個(gè)時(shí)刻可能產(chǎn)生多個(gè)量測(cè),表示為

(18)

(19)

最后,將對(duì)數(shù)似然函數(shù)代入到式(9)～式(11),可得到基于RHM的伯努利濾波算法的更新方程。

2.2 基于Gamma分布的量測(cè)率估計(jì)

文獻(xiàn)[6]采用式(13)來(lái)估計(jì)目標(biāo)量測(cè)率,但該策略產(chǎn)生的誤差較大。為此,本文引入Gamma分布近似量測(cè)率的概率密度函數(shù),即

p(Lk|Zk-1)=GAM(Lk;αk|k-1,βk|k-1)=

(20)

式中,α>0為Gamma分布的形狀參數(shù),β>0為尺度參數(shù)。量測(cè)率的后驗(yàn)分布函數(shù)為

p(Lk|Zk)=GAM(Lk;αk|k-1,βk|k-1)×PS(Nz,k;Lk)

(21)

假設(shè)真實(shí)量測(cè)率恒定不變,則p(Lk|Zk)=p(Lk|Zk-1)。然而,一般情況下Lk會(huì)發(fā)生變化。采用指數(shù)遺忘因子ηk來(lái)預(yù)測(cè)量測(cè)率Lk,即

(22)

量測(cè)率參數(shù)更新可由式(21)得

(23)

Ω(i)為量測(cè)劃分集合P1∶Lk(Zk)中的子集。這樣,量測(cè)率Lk可估計(jì)為

(24)

(25)

2.3 粒子實(shí)現(xiàn)

(26)

根據(jù)伯努利更新方程式(10),每一粒子權(quán)值更新公式為

(27)

3 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

通過(guò)對(duì)橢圓形狀擴(kuò)展目標(biāo)進(jìn)行跟蹤,并將結(jié)果與未加入RHM的擴(kuò)展目標(biāo)伯努利濾波算法進(jìn)行比較。執(zhí)行100次蒙特卡羅仿真實(shí)驗(yàn),取平均,結(jié)果如圖2～圖5所示。圖2為兩種算法的目標(biāo)后驗(yàn)存在概率qk|k的結(jié)果,圖3為量測(cè)率的估計(jì)結(jié)果,圖4和圖5為兩種算法的跟蹤結(jié)果。

圖2 存在概率Fig.2 Existence probability

圖3 量測(cè)率Fig.3 Measurement rate

圖4 目標(biāo)質(zhì)心軌跡Fig.4 Trajectory of target centroid

圖5 目標(biāo)形狀比較及局部放大圖Fig.5 Comparison of target shape and partial enlarged drawing

從圖2～圖5中可以看出,兩種算法均能很好地估計(jì)橢圓擴(kuò)展目標(biāo)的軌跡和形狀。另外,從圖3可以看出，Gamma分布提高了量測(cè)率Lk的估計(jì)準(zhǔn)確率。從圖4和圖5的局部放大圖可以看出,兩種算法對(duì)擴(kuò)展目標(biāo)的質(zhì)心位置和目標(biāo)形狀估計(jì)都有一定的偏差,但本文提出的算法估計(jì)精度較高,對(duì)目標(biāo)形狀的估計(jì)較為準(zhǔn)確。為了更進(jìn)一步驗(yàn)證本文所提算法的有效性,圖6和圖7示出兩種算法的均方根誤差(root mean square error, RMSE)。

圖6為兩種算法對(duì)橢圓擴(kuò)展目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)估計(jì)的RMSE比較,圖7為兩算法對(duì)擴(kuò)展目標(biāo)形狀估計(jì)的RMSE比較。可以看出,當(dāng)目標(biāo)出現(xiàn)時(shí)兩種算法的RMSE均達(dá)到了最大值,這是由于跟蹤延遲導(dǎo)致。隨著時(shí)間的推移,RMSE逐漸減小,并趨于穩(wěn)定。另外,由于本文的算法采用橢圓RHM建模量測(cè)源,運(yùn)用尺度因子使量測(cè)源散布在目標(biāo)表面,更加準(zhǔn)確地描述了量測(cè)源分布,使得擬合目標(biāo)的擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)更加精確,通過(guò)引入Gamma分布使量測(cè)率估計(jì)更加接近真實(shí)值,跟蹤性能優(yōu)于其他算法。

圖6 目標(biāo)位置RMSEFig.6 RMSE of target location

圖7 目標(biāo)形狀RMSEFig.7 RMSE of target shape

4 實(shí)際場(chǎng)景中的應(yīng)用

為了驗(yàn)證所提算法的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值,采用該算法來(lái)跟蹤真實(shí)視頻場(chǎng)景中移動(dòng)的目標(biāo)。本實(shí)驗(yàn)所用視頻來(lái)源于PETS 2 000,視頻中每幀圖像的分辨率為768×576。在視頻中,跟蹤目標(biāo)為一白色車輛,該車在第31幀進(jìn)入場(chǎng)景,第180幀離開(kāi)場(chǎng)景。由于拍攝角度不變,所跟蹤車輛的尺寸大小、前進(jìn)速度和方向一直都在發(fā)生變化,并且場(chǎng)景中還有其他小的移動(dòng)目標(biāo),本實(shí)驗(yàn)?zāi)J(rèn)在高過(guò)程噪聲環(huán)境中進(jìn)行跟蹤。在實(shí)驗(yàn)中,采用Shi-Tomasi角點(diǎn)檢測(cè)算法來(lái)檢測(cè)每一幀圖像中出現(xiàn)的角點(diǎn),并且把前10幀圖像建立一個(gè)背景集合,通過(guò)對(duì)比每一幀圖像中檢測(cè)到的角點(diǎn)與背景集合中檢測(cè)到的角點(diǎn),留下跟蹤場(chǎng)景中白色車輛的角點(diǎn),即目標(biāo)量測(cè)點(diǎn)。

圖8分別展示了第45、75、115和145幀的跟蹤結(jié)果,圖中紅點(diǎn)為濾除背景之后檢測(cè)到的目標(biāo)角點(diǎn),藍(lán)色橢圓表示采用本文所提算法估計(jì)得到的目標(biāo)擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)。從圖8中可以看出,隨著目標(biāo)移動(dòng)方向以及尺寸的變化,本文所提算法可精確地跟蹤目標(biāo),并能估計(jì)出目標(biāo)的擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)。

圖8 跟蹤白色移動(dòng)車輛Fig.8 Tracking of a white moving car

5 結(jié) 論

針對(duì)現(xiàn)有單擴(kuò)展目標(biāo)伯努利濾波算法中存在的擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)、量測(cè)率估計(jì)不準(zhǔn)確和非線性問(wèn)題,本文提出了一種基于橢圓RHM的伯努利濾波算法。通過(guò)對(duì)比實(shí)驗(yàn),本文所提算法要優(yōu)于現(xiàn)有單目標(biāo)伯努利濾波算法,在保證運(yùn)動(dòng)狀態(tài)估計(jì)精度的同時(shí),可提高擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)和量測(cè)率估計(jì)精度,并且通過(guò)對(duì)視頻中真實(shí)目標(biāo)的跟蹤,驗(yàn)證了所提算法具有良好的工程應(yīng)用前景和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。然而,本文所提算法僅適用于單擴(kuò)展目標(biāo)跟蹤場(chǎng)景,如何結(jié)合近期提出的標(biāo)簽多伯努利濾波算法[19]以及擴(kuò)展目標(biāo)箱粒子濾波算法[20],實(shí)時(shí)有效地跟蹤多擴(kuò)展目標(biāo)、識(shí)別擴(kuò)展目標(biāo)身份信息和處理非線性問(wèn)題,將是我們下一步研究的重點(diǎn)。