基于小波變換模改進(jìn)Perona-Malik模型的強(qiáng)噪聲信號(hào)濾波算法

毋文峰， 陳小虎

(1.中國人民武裝警察部隊(duì)警官學(xué)院 管理科學(xué)與工程系,成都 610213；2.中國人民解放軍火箭軍工程大學(xué) 裝備管理工程系,西安 710025)

機(jī)械振動(dòng)信號(hào)在產(chǎn)生、傳輸和記錄過程中，由于生成系統(tǒng)和介質(zhì)的原因，經(jīng)常會(huì)不可避免地受到各種噪聲的干擾，使信號(hào)的分辨率下降，重要的細(xì)節(jié)特征受到影響，甚至信號(hào)失真，因此，在進(jìn)一步的奇異性檢測(cè)、特征提取前，有必要采取適當(dāng)?shù)姆椒▉斫档突蛉コ盘?hào)噪聲。去噪是機(jī)械振動(dòng)信號(hào)處理中一個(gè)非常重要的預(yù)處理過程，已有國內(nèi)外諸多專家學(xué)者在深入研究這一問題。

目前，小波變換是最為重要的機(jī)械振動(dòng)信號(hào)去噪方法之一[1]，已得到了廣泛深入的研究和應(yīng)用。包廣清等[2]針對(duì)隨機(jī)噪聲信號(hào)，將小波閾值去噪原理用于經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Empirical Mode Decomposition, EMD)中，提出了EMD閾值去噪方法，用于軸承故障振動(dòng)信號(hào)可以獲得較高的信噪比。魏振春等[3]引入雙變量改進(jìn)閾值函數(shù)，提出了改進(jìn)的自適應(yīng)冗余第二代小波去噪方法，改進(jìn)方法融合了二者的優(yōu)點(diǎn)，在強(qiáng)噪聲背景下可以很好地保留原信號(hào)的特征并有效地去除噪聲。蘇祖強(qiáng)等[4]針對(duì)強(qiáng)噪聲、非線性且頻率成分復(fù)雜的振動(dòng)信號(hào)降噪問題，提出了基于小波包分解和主流形識(shí)別的非線性降噪方法，該方法具有良好的非線性降噪能力。周祥鑫等[5]研究了基于小波閾值的高速道岔振動(dòng)信號(hào)降噪方法，并詳細(xì)討論了降噪過程中小波基、分解層數(shù)、閾值準(zhǔn)則、閾值函數(shù)等參數(shù)的選擇。李紅延等[6]對(duì)比分析了若干不同小波閾值去噪算法，在經(jīng)典小波閾值去噪算法的基礎(chǔ)上改進(jìn)了閾值函數(shù)，提出了新的小波自適應(yīng)閾值去噪算法，更好地抑制了噪聲污染和保持信號(hào)細(xì)節(jié)。除了小波去噪方法，專家學(xué)者還研究了眾多其他方法，比如付海燕等[7]提出了利用時(shí)域同步平均(Time Synchronous Averaging, TSA)技術(shù)去除直升機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)信號(hào)噪聲，能夠有效地去除噪聲和無關(guān)信號(hào)；周曉峰等[8]為了消除旋轉(zhuǎn)機(jī)械振動(dòng)信號(hào)中不同類型的噪聲，提出了基于虛擬信號(hào)的多級(jí)獨(dú)立分量分析的消噪方法，可以得到很好的消噪效果，有效提高了信噪比；隋文濤等[9]將圖像處理的總變差降噪方法引入振動(dòng)信號(hào)降噪，用于滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)的降噪處理等。

在實(shí)踐中，小波變換和其他傳統(tǒng)去噪方法都存在著一個(gè)問題，即信號(hào)去噪不可避免地模糊了它的細(xì)節(jié)部分(如沖擊和邊界等)，而沖擊、邊界等信號(hào)細(xì)節(jié)部分包含了非常重要的故障特征信息，這一點(diǎn)在強(qiáng)噪聲背景信號(hào)中尤為嚴(yán)重。因此，信號(hào)去噪與保留信號(hào)細(xì)節(jié)特征是一對(duì)矛盾，有必要研究既能去噪又能保留信號(hào)細(xì)節(jié)等小尺度特征的方法。

偏微分方程(Partial Differential Equation, PDE)是一種新穎的圖像處理方法[10-16]，它利用圖像是分段光滑的二元函數(shù)這一重要信息，以圖像邊緣為邊界，采用分段連續(xù)的函數(shù)逼近真實(shí)圖像，抑制噪聲。PDE在去噪的同時(shí)可以保留圖像的邊緣和輪廓等小尺度特征。目前PDE在機(jī)械振動(dòng)信號(hào)去噪中的研究還極少[17-19]。在PDE理論中，Perona和Malik提出的Perona-Malik模型是一種典型的非線性各向異性擴(kuò)散濾波模型，已在圖像去噪領(lǐng)域得到了廣泛深入的研究和應(yīng)用，當(dāng)然它也存在著易受噪聲干擾而致邊界模糊、魯棒性差等不足，已有部分學(xué)者致力于改進(jìn)Perona-Malik算法?？紤]到小波去噪算法具有一定的抗噪聲能力，擬構(gòu)造一種新的小波變換模擴(kuò)散系數(shù)并引入Perona-Malik非線性各向異性擴(kuò)散濾波模型，從而綜合小波去噪算法和Perona-Malik擴(kuò)散濾波模型的長處，提出一種改進(jìn)Perona-Malik模型用于強(qiáng)噪聲背景機(jī)械振動(dòng)信號(hào)降噪，改進(jìn)算法兼顧了信號(hào)降噪和保留信號(hào)細(xì)節(jié)特征，去噪效果更好。

1 Perona-Malik模型基本理論

Perona-Malik模型是最具代表性、應(yīng)用也最廣泛的非線性各向異性擴(kuò)散濾波模型之一，它是基于運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來降噪，其基本模型為

(1)

常用的擴(kuò)散系數(shù)為

(2)

(3)

本文采用擴(kuò)散系數(shù)式(2)。

2 基于小波變換模的改進(jìn)Perona-Malik模型

小波變換是一種非線性、非平穩(wěn)信號(hào)的時(shí)頻分析方法，是最為重要的信號(hào)去噪方法之一，小波變換模反映了信號(hào)的幅值變化，并具有一定的抗噪聲能力。因此，考慮利用小波變換模替代梯度模用于檢測(cè)信號(hào)的邊緣。

首先，分析小波閾值去噪方法和Perona-Malik濾波模型之間的內(nèi)在聯(lián)系，其次，構(gòu)造基于小波變換模的擴(kuò)散系數(shù)并改進(jìn)Perona-Malik濾波模型。

2.1 小波變換與非線性各向異性擴(kuò)散的關(guān)系

小波閾值去噪方法是非常重要的小波去噪方法之一，它是通過含噪信號(hào)小波分解，利用軟閾值或硬閾值抑制小波系數(shù)，在保持小波系數(shù)正負(fù)性(可為0)不變的條件下，使小波系數(shù)的絕對(duì)值比原小波系數(shù)的絕對(duì)值小，從而有效地去除噪聲。

設(shè)W表示離散小波變換，W-1表示離散小波逆變換，Sλ表示閾值函數(shù)并且滿足：x≥0?Sλ(x)≥0，Sλ(-x)=-Sλ(x)，|Sλ(x)|≤x，其中λ是閾值門限。

設(shè)t=0時(shí)刻原信號(hào)為u(x,0)，t=1時(shí)刻信號(hào)為u(x,1)，則原始信號(hào)u(x,0)的小波閾值收縮過程可以表示為

W-1g(|Wu(x,0)|)Wu(x,0)

(4)

其中，令g(|x|)=Sλ(x)-I(x)=(Sλ-I)(x)。

由此可得

(5)

式中：|Wu(x,t)|表示信號(hào)小波變換模，反映了信號(hào)u(x,t)在x處的幅值變化。在幅值變化平緩處，|Wu(x,t)|的值較小；在邊緣處，|Wu(x,t)|的值較大，而且信號(hào)的奇異性越強(qiáng)，|Wu(x,t)|的值越大。因此，小波變換模正好符合非線性各向異性擴(kuò)散濾波邊緣檢測(cè)的要求，這也說明小波閾值去噪方法與非線性各向異性擴(kuò)散濾波方法之間確實(shí)存在著非常密切的內(nèi)在聯(lián)系。

2.2 改進(jìn)Perona-Malik模型

因此，改進(jìn)的一維Perona-Malik擴(kuò)散濾波模型為

(6)

2.3 改進(jìn)Perona-Malik模型的濾波性能

在改進(jìn)Perona-Malik擴(kuò)散濾波模型中，擴(kuò)散系數(shù)g(|Wu(x,t)|)用于控制平滑速度：當(dāng)信號(hào)位于幅值變化平緩的區(qū)域x時(shí)，|Wu(x,t)|的值相對(duì)較小，g(|Wu|)的值相對(duì)較大，此時(shí)實(shí)行強(qiáng)擴(kuò)散，這對(duì)于去除孤立噪聲特別有效；當(dāng)信號(hào)位于邊緣x處，|Wu(x,t)|取得局部極大值，從而g(|Wu|)的值相對(duì)較小，此時(shí)實(shí)行弱擴(kuò)散以保護(hù)重要信息。

3 實(shí)驗(yàn)分析

3.1 算法比較

利用仿真信號(hào)比較小波閾值去噪算法、Perona-Malik擴(kuò)散濾波模型、改進(jìn)Perona-Malik擴(kuò)散濾波模型的去噪效果，并用信噪比(Signal to Noise Ratio, SNR)評(píng)價(jià)各算法的去噪效果。若信噪比SNR越大，則算法的去噪效果越好。

假設(shè)滾動(dòng)軸承外圈單點(diǎn)損傷故障振動(dòng)仿真信號(hào)為

(7)

其中，衰減振動(dòng)的固有頻率fn=3 000 Hz，固有振動(dòng)角頻率ωn=2πfn，位移常數(shù)y0=5，阻尼系數(shù)ξ=0.1，采樣頻率fs=12 000 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)1 024，如圖1(a)所示。

在仿真故障信號(hào)(即原始純凈信號(hào))上分別加上不同SNR噪聲強(qiáng)度(單位為dB)的Gaussian白噪聲即為待分析的含噪信號(hào)，如圖1(b)(圖中SNR=-10 dB)所示。

比較小波硬閾值去噪、小波軟閾值去噪、Perona-Malik擴(kuò)散濾波模型、改進(jìn)Perona-Malik擴(kuò)散濾波模型的去噪效果，如圖1和表1所示。其中，小波閾值去噪的基本參數(shù)為：小波基為”sym4”，小波分解層數(shù)為2，閾值分別為Stein無偏似然估計(jì)閾值(rigrsure規(guī)則)、通用閾值(sqtwolog規(guī)則)、啟發(fā)式閾值(heursure規(guī)則)、極大極小閾值(minimaxi規(guī)則)；Perona-Malik模型的梯度閾值參數(shù)k=20，迭代次數(shù)如表1所示。

(a)

(f)

(b)

(g)

(c)

(h)

(d)

(i)

(e)

(j)圖1 仿真信號(hào)去噪Fig.1 Simulation signal denoising表1 仿真信號(hào)去噪的SNRTab.1 SNR of simulation signal denoising

SNR小波硬閾值去噪小波軟閾值去噪rshmrshm基本P-M模型改進(jìn)P-M模型迭代次數(shù)1010.945 911.099 910.945 912.879 612.426 97.064 712.426 99.665 09.484 410.765 1156.400 96.546 97.405 08.006 58.000 03.304 37.409 75.791 66.070 76.306 9101.426 91.919 81.371 63.071 83.186 20.297 62.784 32.006 01.994 71.816 72-5-2.500 4-2.806 0-2.692 3-2.410 5-2.114 5-2.741 5-2.726 4-2.272 9-1.543 2-1.513 122-10-6.740 6-5.796 0-5.787 1-6.787 7-5.686 1-5.796 0-5.795 2-5.705 0-3.725 7-3.629 422-15-12.684 8-10.995 8-10.995 8-12.227 6-10.903 7-10.744 5-10.742 1-10.805 5-8.240 3-7.849 422-20-15.787 8-14.380 8-14.380 8-16.162 7-14.440 7-14.380 8-14.380 8-14.445 0-12.108 9-11.689 622

根據(jù)圖1和表1可得結(jié)論：①小波硬閾值去噪、小波軟閾值去噪、Perona-Malik模型、改進(jìn)Perona-Malik模型均可去除信號(hào)噪聲，小波(硬/軟)閾值去噪平滑了部分有用信號(hào)細(xì)節(jié)特征，Perona-Malik模型及其改進(jìn)模型則保留了信號(hào)細(xì)節(jié)特征；②在弱噪聲(即SNR=10、5、0)時(shí)，四種算法的去噪效果差別不大，相比Perona-Malik模型及其改進(jìn)模型，小波(硬、軟)閾值去噪算法效果稍好；③在強(qiáng)噪聲(即SNR=-5、-10、-15、-20)時(shí)，Perona-Malik模型的去噪效果明顯強(qiáng)于小波(硬/軟)閾值去噪算法，改進(jìn)Perona-Malik模型又強(qiáng)于基本Perona-Malik模型，改進(jìn)算法使信噪比平均提高了約3 dB；④相比基本Perona-Malik模型，改進(jìn)Perona-Malik模型利用小波變換模替代梯度模來檢測(cè)邊緣，其抗噪聲干擾能力更強(qiáng)，規(guī)避了基本Perona-Malik模型線性低通濾波導(dǎo)致的邊界模糊等問題。因此，改進(jìn)Perona-Malik模型的去噪效果更好。

綜上所述，相比小波閾值去噪等傳統(tǒng)去噪算法和基本Perona-Malik模型，改進(jìn)Perona-Malik模型更適用于強(qiáng)噪聲信號(hào)去噪。

除了Gaussian白噪聲，改進(jìn)算法用于其他類型噪聲(如脈沖噪聲、高頻窄帶干擾)，其降噪性能也優(yōu)于小波閾值去噪算法和基本Perona-Mailik模型；并且除了加性噪聲，作者還研究了改進(jìn)算法用于乘性噪聲降噪，其降噪效果也較好，如表2所示。

表2 改進(jìn)算法用于其他噪聲的SNR(-10 dB)Tab.2 Modified algorithm SNR for other noises (-10 dB)

3.2 實(shí)測(cè)振動(dòng)信號(hào)降噪

為進(jìn)一步驗(yàn)證改進(jìn)Perona-Malik模型濾波算法的有效性和實(shí)用性，用某熱電廠驅(qū)動(dòng)電機(jī)端軸承振動(dòng)信號(hào)來去除噪聲，軸承參數(shù)如表3所示，軸承檢測(cè)如圖2所示。圖3(a)所示信號(hào)為軸承外圈故障振動(dòng)信號(hào)，其中，采樣頻率為12 kHz，軸轉(zhuǎn)速為1 719 r/min。

表3 軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.3 Bearing structural parameters

圖2 軸承檢測(cè)Fig.2 Bearing detecting

圖3(a)所示為實(shí)測(cè)軸承振動(dòng)信號(hào)及其幅值譜，圖3(b)所示為利用改進(jìn)Perona-Malik模型用于實(shí)測(cè)含噪信號(hào)后得到的去噪信號(hào)及其幅值譜，其中，擴(kuò)散系數(shù)梯度閾值參數(shù)k=20，迭代次數(shù)為1。由圖3可知，只需迭代1次，改進(jìn)Perona-Malik模型就較好去除了含噪信號(hào)中的噪聲，突出了它的特征頻率(外圈故障特征頻率為103 Hz)及其倍頻，從而便于后續(xù)強(qiáng)噪聲背景微弱故障特征提取，因此，改進(jìn)算法是可以應(yīng)用于實(shí)際的機(jī)械振動(dòng)信號(hào)降噪的，并且優(yōu)于傳統(tǒng)的信號(hào)降噪算法。

(a)

(c)

(b)

(d)圖3 實(shí)測(cè)信號(hào)去噪Fig.3 Measured signal denoising

4 結(jié) 論

在基本Perona-Malik模型基礎(chǔ)上，引入小波變換模替代梯度摸構(gòu)建改進(jìn)的擴(kuò)散系數(shù)，提出了基于小波變換模改進(jìn)Perona-Malik模型強(qiáng)噪聲背景信號(hào)濾波算法。數(shù)值仿真分析和實(shí)測(cè)實(shí)驗(yàn)表明，相比小波變換等傳統(tǒng)去噪方法和基本Perona-Malik模型，改進(jìn)Perona-Malik模型濾波算法既能有效地去除噪聲，又能較好地保留信號(hào)的細(xì)節(jié)特征，改進(jìn)算法抗孤立噪聲干擾能力強(qiáng)，去噪之后信號(hào)畸變小。當(dāng)然，改進(jìn)模型還有待進(jìn)一步深入討論和研究，比如改進(jìn)算法中如何選取小波函數(shù)等。