配置直線(xiàn)不等長(zhǎng)預(yù)應(yīng)力筋簡(jiǎn)支梁自振頻率研究

郭凱強(qiáng)， 賈艷敏， 于廣龍， 王佳偉, 張冠華

(1.東北林業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，哈爾濱 150040；2.遼寧省交通規(guī)劃設(shè)計(jì)院有限責(zé)任公司公路養(yǎng)護(hù)技術(shù)研究中心，沈陽(yáng) 110101)

預(yù)應(yīng)力混凝土簡(jiǎn)支梁橋是我國(guó)橋梁工程中應(yīng)用最廣泛的結(jié)構(gòu)形式之一，因此，對(duì)其自振頻率的準(zhǔn)確計(jì)算顯得尤為重要。近年來(lái)國(guó)內(nèi)外對(duì)簡(jiǎn)支梁橋的振動(dòng)特性進(jìn)行了大量研究[1-4]，Saiidi等[5]通過(guò)室內(nèi)和現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)，得出了預(yù)應(yīng)力與混凝土梁自振頻率的關(guān)系，預(yù)應(yīng)力越大自振頻率越大。Miyamoto等[6]采用初等梁理論，推導(dǎo)了預(yù)應(yīng)力鋼混組合梁的自振頻率計(jì)算公式，并分析了體外筋及偏心距對(duì)自振頻率的影響。熊學(xué)玉等[7]對(duì)Miyamoto提出的公式進(jìn)行了修正和擴(kuò)充，分析了體外預(yù)應(yīng)力混凝土梁的振動(dòng)特性，分別推導(dǎo)了體外預(yù)應(yīng)力筋不同布置方式下的自振頻率計(jì)算公式，并對(duì)其影響因素進(jìn)行了探討。肖靜霆等[8]認(rèn)為預(yù)應(yīng)力鋼筋的拉力與梁所受的壓力均屬于結(jié)構(gòu)的內(nèi)力，預(yù)應(yīng)力的大小不影響其動(dòng)力特性。張家瑋等[9]研究了考慮初始荷載影響下梁動(dòng)力特性的有限元分析，通過(guò)建立有限元方程討論了各因素對(duì)梁自振頻率的影響。黃萍[10]通過(guò)室內(nèi)試驗(yàn)研究分析了預(yù)應(yīng)力混凝土簡(jiǎn)支梁頻率的變化及動(dòng)剛度隨荷載增加而退化的規(guī)律。張書(shū)冰等[11]通過(guò)4根簡(jiǎn)支鋼-混組合梁的模態(tài)試驗(yàn)證明了修正剛度折減法在組合梁自振頻率計(jì)算中的使用范圍更廣。譚國(guó)金等[12]研究了無(wú)黏結(jié)偏心直線(xiàn)預(yù)應(yīng)力筋簡(jiǎn)支梁的自振頻率計(jì)算，得出了自振頻率與偏心距和預(yù)加力之間的關(guān)系。楊殊珍等[13]研究了環(huán)境溫度和邊界條件對(duì)混凝土梁式橋自振頻率的影響，得出了在不同結(jié)構(gòu)形式下二者對(duì)梁式橋自振頻率的影響權(quán)重不同。

綜上所述，現(xiàn)有對(duì)橋梁固有頻率的研究有三類(lèi)方法，即理論推導(dǎo)、有限元模擬和室內(nèi)試驗(yàn)，缺乏實(shí)橋驗(yàn)證，并且對(duì)偏心直線(xiàn)不等長(zhǎng)預(yù)應(yīng)力筋簡(jiǎn)支梁自振頻率的研究相對(duì)較少。本文基于既有理論研究成果，提出了不等長(zhǎng)預(yù)應(yīng)力筋簡(jiǎn)支梁自振頻率的計(jì)算公式，并與現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)值以及有限元分析值進(jìn)行對(duì)比分析，驗(yàn)證了公式的合理性和準(zhǔn)確性，實(shí)現(xiàn)了對(duì)實(shí)際工程中此類(lèi)梁自振頻率的求解。

1 自振頻率理論分析

1.1 基本假定

本文在推導(dǎo)不等長(zhǎng)預(yù)應(yīng)力筋簡(jiǎn)支梁自振頻率計(jì)算公式時(shí)做出如下假定：①服從Euler-Bernolli梁理論，即忽略梁的剪切變形；②不考慮預(yù)應(yīng)力筋與混凝土粘結(jié)滑移的影響，二者變形協(xié)調(diào)一致；③不考慮預(yù)應(yīng)力引起的反拱，即初始狀態(tài)下梁軸線(xiàn)保持平直；④不考慮阻尼的影響，即梁的振動(dòng)為自由振動(dòng)。

1.2 理論計(jì)算公式

圖1為直線(xiàn)配筋有粘結(jié)預(yù)應(yīng)力混凝土簡(jiǎn)支梁，其中預(yù)應(yīng)力筋有效長(zhǎng)度均不相同。在鋼筋的兩端點(diǎn)作用一對(duì)預(yù)加力，偏心距為e，由于是偏心受壓，那么除了在梁縱向產(chǎn)生一個(gè)合力為p0的軸向壓力外，還會(huì)產(chǎn)生一個(gè)附加力偶，其合力偶值為：M0=p0e。

1234554321

預(yù)應(yīng)力筋有效長(zhǎng)度表

圖1 直線(xiàn)型布筋簡(jiǎn)支梁模型圖

Fig.1 Model of unequal prestressed reinforcement simple supported beam

由于梁在振動(dòng)過(guò)程中，梁兩端的預(yù)應(yīng)力是不斷變化的，因此，可設(shè)：

(1)

Δp是預(yù)應(yīng)力的改變量，隨振動(dòng)位移的變化而變化。設(shè)簡(jiǎn)支梁有λ種不同長(zhǎng)度的預(yù)應(yīng)力筋，預(yù)應(yīng)力筋總截面積為A，任意長(zhǎng)度的預(yù)應(yīng)力筋與梁的力學(xué)模型，如圖2所示。

圖2 任意長(zhǎng)度預(yù)應(yīng)力筋與梁的受力圖

Fig.2 Force diagram of prestressed reinforcement of any length and beam

梁在預(yù)應(yīng)力作用下的彎曲振動(dòng)微分方程可由梁的自由振動(dòng)方程可得出

(2)

式中：E為梁的彈性模量；I為梁截面慣性矩；y為振動(dòng)位移；m為梁?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度質(zhì)量。

將式(1)代入式(2)可得

(3)

考慮y遠(yuǎn)小于e，所以Δpy可忽略不計(jì)，又因?yàn)閜0是初始時(shí)所施加的預(yù)應(yīng)力，為一恒定的常數(shù)，所以有

(4)

整理式(3)得

(5)

(6)

SMi為圖3中Mi圖的面積，而在鋼筋端點(diǎn)作用單位力引起的該端點(diǎn)的水平位移可由下式計(jì)算

(7)

圖3 梁的內(nèi)力

Fig.3 Internal force diagram of beam

(8)

由式(8)可得由F引起所有鋼筋錨固力的變化為

(9)

而在力F作用下梁跨中的位移為

(10)

將式(9)代入式(10)可得

(11)

由位移互等定理可知，Δp在梁跨中產(chǎn)生的向上位移yΔp為

(12)

(13)

(14)

這樣，根據(jù)關(guān)系式y(tǒng)=yF-yΔp與式(11)、(14)，可得

(15)

則

(16)

其中

(17)

即

(18)

將式(18)代入式(5)可得

(19)

式(19)即為不等長(zhǎng)預(yù)應(yīng)力筋簡(jiǎn)支梁的自由振動(dòng)方程，對(duì)于式(19)，根據(jù)振動(dòng)的基本理論，可采用分離變量法求解。可設(shè)

y=Y(x)·(cosωnt+jsinωnt)

(20)

式中：ωn為其固有圓頻率；n為自然數(shù)；j為虛數(shù)單位。

將式(20)代入式(19)，并整理可得

(21)

對(duì)于所分析的簡(jiǎn)支梁，根據(jù)文獻(xiàn)[7]可設(shè)Y(x)的表達(dá)式為

(22)

式中：ψ為常數(shù)。

將式(22)代入式(21)可得

(23)

解式(22)可得

(24)

式(24)即為所求的梁的自振圓頻率，其中

(25)

由梁的自振圓頻率可求得其自振頻率為

(26)

2 方法對(duì)比分析

2.1 試驗(yàn)梁模態(tài)試驗(yàn)

試驗(yàn)梁所屬橋梁位于沈四(沈陽(yáng)至四平)高速鐵嶺地段。上部構(gòu)造為16 m先張法PC空心板梁，采用C40混凝土，預(yù)應(yīng)力筋為Φj15.24(7Φ5)鋼絞線(xiàn)，標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)度1 860 MPa，張拉控制應(yīng)力為1 395 MPa。如圖4為試驗(yàn)梁橫截面圖和鋼筋布置圖，圖5為現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)照片。

預(yù)應(yīng)力筋有效長(zhǎng)度表

編號(hào)123456長(zhǎng)度1 5961 4601 1901 060930690

(a) 橫截面布置圖

(b) 鋼筋布置圖圖4 試驗(yàn)梁的橫截面及預(yù)應(yīng)力束布置示意(cm)Fig.4 Test beam cross section and prestressed tendon layout(cm)

圖5 現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)照片F(xiàn)ig.5 Field experiment photo

本次動(dòng)測(cè)試驗(yàn)采用江蘇東華測(cè)試技術(shù)有限公司研發(fā)的東華橋梁模態(tài)測(cè)試系統(tǒng)，主要試驗(yàn)儀器包括傳感器、路由器、筆記本電腦以及DHDAS信號(hào)測(cè)試分析軟件等，測(cè)點(diǎn)布置分別在支點(diǎn)、1/4跨、跨中及3/4跨位置處，采用自然脈動(dòng)激勵(lì)的方法對(duì)該試驗(yàn)梁進(jìn)行激振，采樣頻率為100 Hz，分析頻率為39.06 Hz，采用連續(xù)采樣的采樣方式，試驗(yàn)過(guò)程中采用GPS同步衛(wèi)星測(cè)試模式，增強(qiáng)各傳感器之間的同步性，圖6為試驗(yàn)梁測(cè)點(diǎn)布置圖。

圖6 試驗(yàn)梁測(cè)點(diǎn)布置圖Fig.6 Test beam measuring point layout

2.2 有限元模型的建立

采用有限元分析軟件ANSYS建立預(yù)應(yīng)力混凝土簡(jiǎn)支梁有限元模型。根據(jù)試驗(yàn)梁的特點(diǎn)，混凝土用實(shí)體單元Solid-65模擬，預(yù)應(yīng)力筋與普通鋼筋都以桿單元 Link-8來(lái)模擬[12]。按照原設(shè)計(jì)資料，分別建立預(yù)應(yīng)力筋與普通鋼筋模型，見(jiàn)圖7。建模過(guò)程中采用約束方程法模擬混凝土與鋼筋之間的作用，即鋼筋單元的一個(gè)節(jié)點(diǎn)與混凝土單元的多個(gè)節(jié)點(diǎn)建立約束方程，通過(guò)多組約束方程，將鋼筋與混凝土的單元連接成一個(gè)整體；預(yù)應(yīng)力施加采取常用的降溫法，并依照規(guī)范求解預(yù)應(yīng)力損失。圖8為有限元分析得到的前兩階豎向振型。

(a) 鋼筋單元圖

(b) 混凝土單元圖圖7 預(yù)應(yīng)力混凝土空心板梁有限元模型Fig.7 Finite element model of prestressed concrete hollow slab beam

2.3 數(shù)據(jù)對(duì)比分析

應(yīng)用式(26)對(duì)試驗(yàn)梁進(jìn)行一階和二階頻率計(jì)算，并對(duì)試驗(yàn)梁有限元模型進(jìn)行模態(tài)分析。前兩階頻率理論計(jì)算結(jié)果、現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)結(jié)果和有限元計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1。

由表1可以看出，試驗(yàn)梁一階和二階自振頻率的理論計(jì)算結(jié)果、有限元分析計(jì)算結(jié)果以及實(shí)測(cè)結(jié)果均非常接近，誤差基本在5%以?xún)?nèi)，說(shuō)明本文推導(dǎo)的理論計(jì)算公式和建立的有限元模型在計(jì)算前兩階頻率上是較為準(zhǔn)確的。

表1頻率試驗(yàn)值、理論值和有限元值

Tab.1Frequenciesresultofmodelexperiment,theoryandfiniteelement

頻率理論值/Hz實(shí)測(cè)值/Hz有限元值/Hz誤差a/%誤差b/%誤差c/%一階5.81 5.86 5.96 0.91 2.60 1.73 二階23.60 23.03 22.35 2.44 5.58 2.97 注:誤差a為(f理論值-f實(shí)測(cè)值)/f實(shí)測(cè)值×100%;誤差b為(f理論值-f有限元值)/f有限元值×100%;誤差c為(f有限元值-f實(shí)測(cè)值)/f實(shí)測(cè)值×100%

(a) 一階豎向振型

(b) 二階豎向振型圖8 試驗(yàn)梁前兩階豎向振型圖Fig.8 The first two vertical modes vibration modes of the test beam

3 自振頻率影響因素分析

為了探討預(yù)應(yīng)力值和偏心距對(duì)不等長(zhǎng)預(yù)應(yīng)力筋簡(jiǎn)支梁自振頻率的影響，采用本文計(jì)算公式和有限元法分別計(jì)算了同一偏心距情況下多組預(yù)應(yīng)力值對(duì)應(yīng)的簡(jiǎn)支梁第一階自振頻率，以及同一預(yù)應(yīng)力值情況下多組偏心距對(duì)應(yīng)的簡(jiǎn)支梁第一階頻率。

3.1 預(yù)應(yīng)力的影響

偏心距取0.325 m，施加不同預(yù)應(yīng)力的簡(jiǎn)支梁第一階頻率有限元計(jì)算和理論計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2。

由表2可知，偏心直線(xiàn)不等長(zhǎng)預(yù)應(yīng)力筋簡(jiǎn)支梁一階頻率隨著鋼筋預(yù)應(yīng)力的增大而略有降低，而有限元計(jì)算結(jié)果變化很小。總體而言，鋼筋預(yù)應(yīng)力的大小對(duì)簡(jiǎn)支梁的一階頻率影響很小。故實(shí)際橋梁隨著運(yùn)營(yíng)時(shí)間的增長(zhǎng)，預(yù)應(yīng)力損失情況對(duì)橋梁一階頻率影響很小。

3.2 偏心距的影響

鋼筋預(yù)應(yīng)力取1 100 MPa，不同偏心距情況下試驗(yàn)梁一階頻率的理論計(jì)算和有限元計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表3。

表2預(yù)應(yīng)力對(duì)簡(jiǎn)支梁第一階頻率的影響

Tab.2Theinfluenceofprestressvalueonnaturalfrequencyofsimplysupportedbeam

鋼筋預(yù)應(yīng)力/MPa1 0001 0501 1001 1501 2001 250理論值/Hz5.847 5.829 5.811 5.793 5.775 5.757 有限元值/Hz5.950 5.956 5.962 5.967 5.973 5.978 誤差/%1.73 2.13 2.52 2.91 3.31 3.70

表3偏心距對(duì)簡(jiǎn)支梁第一階頻率的影響

Tab.3Theinfluenceofeccentricityonnaturalfrequencyofsimplysupportedbeam

偏心距/m0.2950.3050.3150.3250.335理論值/Hz5.757 5.772 5.789 5.805 5.823 有限元值/Hz5.940 5.947 5.954 5.962 5.969 誤差/%3.09 2.94 2.78 2.62 2.45

表3中只列出了偏心距在0.295～0.335 m之間的一階自振頻率計(jì)算結(jié)果，同理可計(jì)算出其它偏心距下的預(yù)應(yīng)力簡(jiǎn)支梁自振頻率，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖9。由表3和圖9可知，一階自振頻率隨偏心距的增大而增大，二者呈非線(xiàn)性關(guān)系。實(shí)際工程中由于要考慮鋼筋保護(hù)層厚度、截面形狀及整體受力等因素，偏心距改變范圍比較小，而在這一范圍內(nèi)一階頻率與偏心距的關(guān)系則是呈線(xiàn)性變化的。

圖9 不同偏心距對(duì)自振頻率的影響Fig.9 The influence of different eccentricity on natural frequency

4 結(jié) 論

(1)采用本文提出的公式計(jì)算偏心直線(xiàn)不等長(zhǎng)預(yù)應(yīng)力筋簡(jiǎn)支梁的頻率是合理、準(zhǔn)確的，一階和二階頻率計(jì)算值與試驗(yàn)值和有限元分析值吻合良好，對(duì)實(shí)際工程應(yīng)用性強(qiáng)。

(2)當(dāng)偏心距一定時(shí)，偏心直線(xiàn)不等長(zhǎng)預(yù)應(yīng)力筋簡(jiǎn)支梁自振頻率隨著鋼筋預(yù)應(yīng)力的增大而略有降低，鋼筋預(yù)應(yīng)力的大小對(duì)簡(jiǎn)支梁的自振頻率影響較小。故實(shí)際工程中橋梁的預(yù)應(yīng)力損失情況對(duì)其一階頻率影響很小。

(3)當(dāng)預(yù)應(yīng)力值一定時(shí)，自振頻率隨著偏心距的增加而增加，二者呈非線(xiàn)性關(guān)系；而實(shí)際工程中偏心距變化范圍較小，二者呈線(xiàn)性關(guān)系。