體外預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁動力性能的能量法二階分析

方德平

(華僑大學(xué) 土木工程學(xué)院, 廈門 361021)

體外預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)具有優(yōu)良的力學(xué)性能，在國內(nèi)外已得到普遍的應(yīng)用[1]。已有較多的文獻(xiàn)詳盡地研究了體外預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)的靜力性能[2]。不過，對其動力性能的研究，還有待進(jìn)一步深入。Miyamoto等[3]采用正比假設(shè)，即體外筋預(yù)拉力的增量正比于梁跨中的振動位移，分析了體外預(yù)應(yīng)力簡支梁的動力性能，得出只適用于單一體外筋線型的自振頻率計(jì)算公式。熊學(xué)玉等[4]采用正比假設(shè)，推導(dǎo)了適用于多種體外筋線型的簡支梁計(jì)算公式。焦春節(jié)等[5-6]同樣采用正比假設(shè)，在振動位移中，把體外筋對梁的預(yù)壓力(簡稱體外預(yù)壓力)和體外筋變形產(chǎn)生的彎矩，由面積相等的原則，轉(zhuǎn)化為均勻分布的彎矩，得出雙折線型體外筋的兩跨連續(xù)梁振動微分方程，推導(dǎo)出連續(xù)梁正、反對稱振型的自振頻率計(jì)算公式，分析了體外預(yù)壓力對連續(xù)梁自振頻率的影響。在簡支梁的動力性能分析中，方德平等[7]指出了正比假設(shè)中存在的一些問題，并提出新的合理假設(shè)以取代正比假設(shè)。在連續(xù)梁的動力分析性能中，方德平[8]也指出面積相等的原則和正比假設(shè)中存在的問題，也提出新的合理假設(shè)。方德平等認(rèn)為其自振頻率的解析解更接近于數(shù)值解，也更精確。

眾所周知，從體系外對桿件施加的外軸力N會產(chǎn)生壓縮軟化效應(yīng)，這一效應(yīng)體現(xiàn)為外軸力產(chǎn)生的彎矩Ny，y為撓度。桿件的壓縮軟化效應(yīng)減小了梁的自振頻率，普通簡支梁的自振頻率

(1)

1 考慮體外筋第二階變形的能量法

假設(shè)1：圖1體外預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁的振動方程，yi=AiXi(x)sin(ωit),反對稱第i振型為Xi(x)=sin(kix),kil=iπ,i=1,2,3,…；正對稱左跨第i振型為Xi(x)=sin(kix)-fisinh(kix),fi=sin(kil)/sinh(kil),kil=(i+0.25)π,i=1,2,3,…；正、反對稱振型取自普通連續(xù)梁的振型；假設(shè)2：張拉體外筋后，梁為直線；假設(shè)3：忽略梁的軸向變形，不考慮體外筋和轉(zhuǎn)向座的質(zhì)量。

圖1 體外預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁Fig.1 Externally prestressed continuous beam

(2)

(3)

(4)

式中:lt，EtAt分別為體外筋的長度、抗拉剛度。

(5)

在計(jì)算體外筋第1階和第2階的變形之前，先討論圖2中線段OA的變形。線段OA在x，y軸方向上的變形分別為δx，δy，考慮二階微分，線段OA的變形為

(cosθδy)2/2lA-sinθcosθδxδy/lA

(6)

圖2 線段OA的變形Fig.2 Deformation of line OA

圖3 體外筋線段的變形Fig.3 Deformation of external tendon segment

第j線段在x,y軸的變形δxj、δyj

(7)

αj=djsinθj+cjcosθj,βj=bjcosθj+(cjsinθj)2/2lj+(djcosθj)2/2lj-cjdjsinθjcosθ/lj;θj，lj分別為第j線段的夾角、長度，如圖1所示。體外筋的全部變形為

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i=1,2,3,…

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這樣，當(dāng)Cpi=1，體外預(yù)壓力和外軸力的壓縮軟化效應(yīng)相同；當(dāng)Cpi=0，體外預(yù)壓力無壓縮軟化效應(yīng)。

2 算例分析

本文采用文獻(xiàn)[8]的算例：砼梁長l=5 m，寬0.4 m、高0.15 m，E=32.5 GPa，單位長度質(zhì)量m=0.8 t/m；體外筋Et=200 GPa、有效預(yù)應(yīng)力σpe=1 000 MPa；l1=l2=l3=l4=1.25 m。分析兩種線型(A和B)、兩種偏心距(大偏心L和小偏心S)和兩種體外筋面積，共8根梁AS1～BL2。A和B線型中e1=0，圖1中的e2～e5見表1，轉(zhuǎn)向座均位于拋物線上，體外預(yù)應(yīng)力的等效荷載接近于均布荷載，是工程中常見的合理線型，A和B線型相差一個線性項(xiàng)，即兩者的等效荷載相近。L偏心距是S偏心距的2倍。梁號的數(shù)字表示體外筋的根數(shù)，1，2表示At=137 mm2、274 mm2。

表1 體外筋線型和偏心距Tab.1 The configurations and eccentricities of external tendons

表2為直線型體外筋影響系數(shù)Cpi與接觸點(diǎn)數(shù)量n之間的關(guān)系，表3為拋物線型AL體外筋影響系數(shù)Cpi與接觸點(diǎn)數(shù)量n之間的關(guān)系，其他拋物線型AS、BL和BS的計(jì)算結(jié)果與AL線型的結(jié)果相近，不贅述。表2的直線型體外筋位于梁軸線，接觸點(diǎn)沿梁長度等間距分布。從表2、3可知：體外預(yù)壓力的影響系數(shù)Cpi主要于接觸點(diǎn)數(shù)量n相關(guān)，于體外筋線型的關(guān)系微弱。從表2可以看出：當(dāng)只有3個接觸點(diǎn)，即跨間無轉(zhuǎn)向座時，體外筋存在最大的偏心距損失，影響系數(shù)Cpi=1，體外預(yù)壓力和外軸力的壓縮軟化效應(yīng)相同；當(dāng)接觸點(diǎn)數(shù)量n從最小值3開始增加，體外筋偏心距損失逐漸減小，體外筋逐漸接近于無黏結(jié)筋，影響系數(shù)Cpi從1逐漸降低至接近于0，體外預(yù)壓力的壓縮軟化效應(yīng)減少至接近于0。這與Hamed等的結(jié)論相一致，無黏結(jié)預(yù)壓力無壓縮軟化效應(yīng)。隨著振型階數(shù)的提高，振型中反彎點(diǎn)之間的間距減小，反彎點(diǎn)之間的接觸點(diǎn)數(shù)量減少，相當(dāng)于減少了第1振型中的接觸點(diǎn)數(shù)量，因而增大了影響系數(shù)。

表2直線型體外筋影響系數(shù)Cpi與接觸點(diǎn)數(shù)量n之間的關(guān)系

Tab.2RelationshipbetweeninfluencecoefficientCpiandthenumberofcontactpointsnforstraighttendon

n正對稱反對稱Cp1Cp2Cp3Cp1Cp2Cp3311111150.18910.910.2750.9700.92870.0880.31610.1610.3350.93990.050.1890.3850.0980.2410.372110.0330.1250.2630.0650.1690.296130.0230.0880.1890.0460.1220.225170.0130.0500.1100.0260.0720.137210.0080.0330.0720.0170.0470.091

表3AL線型體外筋影響系數(shù)Cpi與接觸點(diǎn)數(shù)量n之間的關(guān)系

Tab.3RelationshipbetweeninfluencecoefficientCpiandthenumberofcontactpointsnforALtendon

n正對稱反對稱Cp1Cp2Cp3Cp1Cp2Cp350.1970.8980.9670.3040.9010.94470.0360.3350.960.150.3620.92190.0250.1270.4280.0780.2140.412110.0120.0450.2080.0370.1350.271130.0100.0200.1130.0130.0810.195170.0060.0110.0180.010.0190.093210.0030.0060.0100.0050.0100.037

表4為8根AS1～BL2梁第1～4自振頻率的計(jì)算值，ω1,ω3為第1、2反對稱振型的頻率，ω2,ω4為第1、2正對稱振型的頻率。方法①是本文提出的方法；方法②是文獻(xiàn)[8]的方法，方法③是數(shù)值法。理論值的正確性一般應(yīng)由實(shí)驗(yàn)值來驗(yàn)證，不過這并不適用于預(yù)應(yīng)力砼結(jié)構(gòu)。預(yù)應(yīng)力的施加閉合了砼的微裂縫，增強(qiáng)了梁的剛度，反而增大了梁實(shí)測的自振頻率，無法驗(yàn)證壓縮軟化效應(yīng)。因此本文采用數(shù)值解來驗(yàn)證理論值的正確性。體外筋的拉力沿長度不變，體外筋與轉(zhuǎn)向座之間可以無摩擦滑動，對此，數(shù)值模擬的簡明辦法：在轉(zhuǎn)向座兩側(cè)體外筋的角平分線上增設(shè)接觸單元，接觸單元和體外筋單元均為桁架單元，只承受軸力，如圖4所示。角平分線上增設(shè)的接觸單元即可模擬無摩擦滑動，又可保證兩側(cè)體外筋拉力相等。接觸單元長度為1 cm，EA與體外筋的EtAt相同；轉(zhuǎn)向座單元剛度取10倍梁的剛度，模擬其剛性。用集中質(zhì)量法求解頻率和振型，其方程為

圖4 接觸單元Fig.4 Contact element

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式中:[δ]為梁集中質(zhì)量處的豎向柔度矩陣；[M]為集中質(zhì)量對角矩陣，{yi}為第i振型，ωi為第i自振頻率。用廣義雅克比法求出自振頻率和振型。柔度矩陣[δ]包含了砼梁的EI和長度，體外筋的EtAt和長度，轉(zhuǎn)向座位置、高度，體外筋與轉(zhuǎn)向座之間的無摩擦滑移等因素。在梁單元的剛度矩陣[K]中，考慮了體外預(yù)壓力的影響系數(shù)Cpi

(15)

表4 體外預(yù)應(yīng)力梁第1～4自振頻率的計(jì)算結(jié)果Tab.4 The 1st—4th natural frequency Calculation results of externally prestressed beam

表5 無預(yù)壓力梁的ω2、ω4Tab.5 ω2, ω4 of beams without prestress force

3 結(jié) 論

外軸力壓縮軟化的影響系數(shù)為最大值1，有最大的壓縮軟化效應(yīng)。無黏結(jié)預(yù)壓力的影響系數(shù)為最小值0，沒有壓縮軟化效應(yīng)。體外預(yù)應(yīng)力筋存在偏心距損失，體外預(yù)應(yīng)力梁的剛度小于相同形狀的無黏結(jié)預(yù)應(yīng)力梁的剛度，因而體外預(yù)應(yīng)力梁的自振頻率低于無黏結(jié)預(yù)應(yīng)力梁的頻率。這說明體外預(yù)壓力存在壓縮軟化效應(yīng)，并且已經(jīng)研究了體外預(yù)應(yīng)力簡支梁預(yù)壓力的壓縮軟化效應(yīng)。本文用能量法對體外預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁的自振頻率進(jìn)行了二階分析，闡明了連續(xù)梁體外預(yù)壓力的壓縮軟化效應(yīng)。研究結(jié)論如下：

(1) 體外預(yù)壓力的影響系數(shù)介于0～1，梁的轉(zhuǎn)向座數(shù)量決定了體外預(yù)壓力的影響系數(shù)的大小?？玳g無轉(zhuǎn)向座時，體外筋存在最大的偏心距損失，影響系數(shù)等于1，體外預(yù)壓力與外軸力具有相同的壓縮軟化效應(yīng)；增加轉(zhuǎn)向座數(shù)量，減小了偏心距損失，體外筋逐漸接近于無黏結(jié)筋，影響系數(shù)從1逐漸降低至接近于0。

(2) 體外預(yù)壓力和梁第1階穩(wěn)定臨界荷載比值一般比較小，當(dāng)跨間至少有1個轉(zhuǎn)向座時，影響系數(shù)Cp1明顯小于1，體外預(yù)壓力的第1階壓縮軟化效應(yīng)很小；部分的Cp2、Cp3值雖接近1，但體外預(yù)壓力對第2、3階自振頻率的影響也很小?？傊?，可以忽略體外預(yù)壓力對各階自振頻率的影響。

(3) 由于反對稱振型不產(chǎn)生體外筋的第一階變形，體外筋只產(chǎn)生可忽略的壓縮軟化效應(yīng)，所以可忽略體外筋對其自振頻率的影響。體外筋只明顯地影響梁的ω2(第1階正對稱頻率)，增加體外筋的偏心距和面積，梁的剛度隨之增加，增大了ω2。不過，其他階的正對稱振型產(chǎn)生體外筋的變形很小，可忽略體外筋對其自振頻率的影響。即只考慮體外筋對第1階正對稱頻率的影響，忽略對其他頻率的影響。