區(qū)間模型下聲子晶體的帶隙優(yōu)化研究

劉 堅(jiān), 陳俊煌, 夏百戰(zhàn), 滿先鋒

(湖南大學(xué) 汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 長沙 410082)

聲子晶體是一種新型功能材料，其組分的材料參數(shù)呈周期性變化。聲子晶體帶隙的形成機(jī)理通常有兩種，分別是Bragg散射機(jī)理[1]及局域共振機(jī)理[2]。Bragg散射形成的彈性波帶隙所對(duì)應(yīng)的波長一般和晶格常數(shù)相當(dāng)，其第一帶隙的中心頻率處所對(duì)應(yīng)的波長一般為晶格常數(shù)的兩倍。Bragg散射的這一特性有礙于低頻減振降噪。Liu等[3]在2000年提出了局域共振聲子晶體概念。他將硅橡膠包裹的鉛球按簡(jiǎn)單立方晶格排列方式，周期性地嵌入環(huán)氧樹脂基體中，形成三維三組元聲子晶體。這種聲子晶體產(chǎn)生的帶隙所對(duì)應(yīng)的波長比晶格常數(shù)大兩個(gè)數(shù)量級(jí)，突破了Bragg散射的波長限制。Goffaux等[4]理論上證實(shí)二維三組元聲子晶體同樣存在局域共振帶隙，并結(jié)合類Fano現(xiàn)象和近似的機(jī)械振動(dòng)模型初步揭示了局域共振帶隙的形成機(jī)理。Ho等[5]在實(shí)驗(yàn)室制得了可用于低頻隔音的局域共振材料。Zhang等[6-7]發(fā)現(xiàn)在局域共振型聲子晶體的高頻段存在較寬的帶隙。Hirsekorn等[8-9]分析了三種不同材料組成的二維聲子晶體的傳播性質(zhì)。

幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)于聲子晶體聲學(xué)特性的影響較大。改變聲子晶體的結(jié)構(gòu)參數(shù)，能改變聲子晶體帶隙寬度及帶隙范圍等。基于這一性質(zhì)，優(yōu)化設(shè)計(jì)逐漸被應(yīng)用于聲子晶體優(yōu)化設(shè)計(jì)。Romero-Garcia等[10]通過對(duì)孔的分布形狀及數(shù)量進(jìn)行優(yōu)化，使得聲子晶體中的聲波聚焦和稀疏性能得到改善。通過對(duì)共振腔形狀尺寸的優(yōu)化，Wang等[11]得到了具有完全帶隙的三維孔狀聲子晶體。這些優(yōu)化都是基于確定性物理模型。在實(shí)際工程應(yīng)用中，由于制造誤差和測(cè)量誤差，以及多變的環(huán)境因素和不可預(yù)測(cè)的外部激勵(lì)，聲子晶體的不確定性是難以避免的。聲子晶體帶隙對(duì)這些不確定參數(shù)比較敏感，XIA等[12]在最近的一篇文章研究發(fā)現(xiàn)，霍姆赫茲共振腔聲子晶體的帶隙及有效體積模量對(duì)水溫的變化比較敏感。如果不考慮這些不確定性因素，會(huì)導(dǎo)致得到的優(yōu)化結(jié)構(gòu)不可靠。因此，在對(duì)聲子晶體進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，需要考慮不確定性參數(shù)的影響。

概率模型是常用的不確定數(shù)值分析模型。然而在樣本數(shù)據(jù)有限的情況下，通常難以獲得不確定參數(shù)精確概率密度函數(shù)。針對(duì)這種情況，Moore[13]提出了區(qū)間模型的方法。Monte-Carlo法[14]是種最簡(jiǎn)單最穩(wěn)健的區(qū)間分析方法。夏日戰(zhàn)等[15]將區(qū)間不確定模型引入聲學(xué)超材料，采用Monte-Carlo 法分析區(qū)間不確定性對(duì)聲學(xué)超材料性能的影響；接著在此基礎(chǔ)上，構(gòu)造區(qū)間模型下聲學(xué)超材料的可靠性優(yōu)化模型，采用優(yōu)化算法對(duì)優(yōu)化模型進(jìn)行求解。根據(jù)Monte-Carlo 法的概率收斂性，其計(jì)算精度隨著樣本數(shù)據(jù)的增加逐漸提高。但是巨額的計(jì)算負(fù)擔(dān)使Monte-Carlo 法難以適用于復(fù)雜的工程實(shí)際問題[16]。Liu等[17]利用Chebyshev展開法分析不確定非線性系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分析。Xia等[18]采用Chebyshev展開法分析時(shí)變區(qū)間模型下結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。Wu等[19-20]將Chebyshev展開法應(yīng)用于區(qū)間模型下汽車動(dòng)力學(xué)分析和多體機(jī)械系統(tǒng)的不確定分析。

目前，國內(nèi)外對(duì)于聲子晶體的研究基本都是在確定幾何尺寸、材料屬性、環(huán)境因素的情況下進(jìn)行，而鮮有關(guān)于聲子晶體的不確定性研究。針對(duì)這一情況，本文將區(qū)間分析方法引入聲子晶體，對(duì)其進(jìn)行不確定分析。本文將兩個(gè)不確定性變量與兩個(gè)設(shè)計(jì)變量作為Chebyshev多項(xiàng)式的四個(gè)變量，構(gòu)建每條能帶的Chebyshev代理模型，并基于該代理模型用Monte-Carlo 法求解能帶的變化區(qū)間。以聲子晶體帶隙最大化為目標(biāo)函數(shù)，以期望帶隙為約束條件，構(gòu)建基于Chebyshev代理模型的區(qū)間聲子晶體可靠性優(yōu)化模型。最后，采用遺傳算法對(duì)該區(qū)間優(yōu)化模型進(jìn)行求解。該方法的優(yōu)點(diǎn)是只需一組初始的有限元計(jì)算數(shù)據(jù)構(gòu)建Chebyshev代理模型，后續(xù)優(yōu)化皆基于計(jì)算效率較高Chebyshev代理模型，避免了傳統(tǒng)優(yōu)化方法中有限元模型的重復(fù)計(jì)算，極大地減小了計(jì)算負(fù)擔(dān)。

1 能帶結(jié)構(gòu)的有限元計(jì)算方法

對(duì)于各向同性的線彈性體材料，角頻率為ω的彈性波傳播方程為

(1)

(2)

(3)

圖1(a)為聲子晶體單胞。根據(jù)Bloch定理[21]，位移向量u(r)可以用如下公式表示

u(r)=ei(k·r)uk(r)

(4)

其中，uk(r)表示周期性矢量函數(shù)，k=(kx,ky)表示第一布里淵區(qū)的波矢量，如圖1(b)所示。

用有限元方法數(shù)值求解方程(4)，得到離散化的廣義特征值方程如下

Ku=ω2Mu

(5)

式中:K和M分別表示整體的剛度矩陣及質(zhì)量矩陣;u表示節(jié)點(diǎn)位移。

剛度矩陣和質(zhì)量矩陣的計(jì)算公式為

(6)

(7)

式中:B表示應(yīng)變矩陣;N表示形函數(shù)矩陣;Ve表示整個(gè)單胞區(qū)域。

假設(shè)波入射方向上有N個(gè)聲子晶體單胞，邊界則滿足Born-von Karman條件[22]

f(r)=f(r+Na)

(8)

式中:a表示晶格基矢;N表示整數(shù);f(r)表示在波矢方向的周期函數(shù)，其周期性為a。

(a) 聲子晶體單胞(b) 不可約布里淵區(qū)域

圖1 聲子晶體單胞有限元模型及其不可約布里淵區(qū)域

Fig.1 Finite element model of the phononic crystal unit cell and the corresponding irreducible Brillouin zone

將式(5)和(8)聯(lián)立，即可求解給定波矢k下的特征頻率。將求得的特征頻率代到控制方程(1)中，即可得到該頻率下的本證模態(tài)u(r)。將波矢k對(duì)單胞結(jié)構(gòu)的不可約Brillouin區(qū)進(jìn)行掃掠，即可得到該聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)。

2 區(qū)間模型的構(gòu)造及可靠性優(yōu)化理論

減振降噪是聲子晶體的一個(gè)重要性能。局域共振聲子晶體能夠用小尺寸產(chǎn)生低頻帶隙，突破Bragg散射的波長限制，從而為聲子晶體在低頻減振降噪方面的應(yīng)用提供了可能。本文將不確定區(qū)間模型引入局域共振聲子晶體，以帶隙最大化為目標(biāo)函數(shù)，以期望頻帶為約束，構(gòu)建區(qū)間模型下聲子晶體的可靠性優(yōu)化模型，并采用Chebyshev展開法對(duì)局域共振帶隙進(jìn)行優(yōu)化。

2.1 Chebyshev展開法

Monte-Carlo法可用于區(qū)間模型下聲子晶體帶隙分析。但其高昂的計(jì)算成本嚴(yán)重限制其工程應(yīng)用價(jià)值。本節(jié)討論將Chebyshev多項(xiàng)式展開引入到區(qū)間聲子晶體不確定性分析，構(gòu)建區(qū)間聲子晶體的Chebyshev代理模型。

對(duì)于，第n階Chebyshev多項(xiàng)式定義如下[23]

Cn(x)=cos (nθ)

(9)

其中n表示非負(fù)整數(shù)。在區(qū)間上，Chebyshev多項(xiàng)式的遞推關(guān)系可表示如下

(10)

L個(gè)變量的Chebyshev多項(xiàng)式定義為

Cn1,n2,…,nx(x1,x2,…,xL)=

cos (n1θ1)cos (n2θ2)…cos(nLθL)

(11)

其中，θi=arccos(xi), (i=1, 2, …,L)

聲子晶體的能帶曲線的Chebyshev多項(xiàng)式表示如下[24]

fs(x,[WTHX〗k)=

(12)

其中,p表示下標(biāo)i1,i2,…,iL等于零的數(shù)量。下標(biāo)s(s=1,2,3…,10)表示第s條能帶。fi1,…,iL(k)表示多項(xiàng)式系數(shù)。向量x包含L個(gè)變量。系數(shù)fi1,…,iL(k)為波矢k的函數(shù)。

系數(shù)fi1,…,iL(k)可由下式推得

fi1,i2,…,iL(k)=

cosi1θ1…cosiLθL)dθ1…dθL

(13)

其中,L表示變量數(shù)，下標(biāo)i1,…,iL=0,1,2,…,n。

用梅勒積分公式[25]進(jìn)行轉(zhuǎn)換后可得到

Ci1,…,iL(xj1,…,xjL) ≈

cosi1θj1…cosiLθjL

(14)

直接基于有限元模型，采用Monte-Carlo法分析聲子晶體帶隙的變化范圍，其計(jì)算精度隨著樣本量的增加而趨于精確解。但是有限元模型的反復(fù)計(jì)算會(huì)帶來巨額的計(jì)算負(fù)擔(dān)。通過Chebyshev代理模型替換有限元模型，僅需采用有限的樣本數(shù)據(jù)構(gòu)造Chebyshev多項(xiàng)式，極大地提高了聲子晶體帶隙的分析效率。

2.2 區(qū)間可靠性優(yōu)化模型

聲子晶體的帶隙特性是聲子晶體的重要特性之一。帶隙的最大化可以使得聲子晶體的禁帶變寬，在工程實(shí)際中降噪效果更為明顯。因此，本文的目標(biāo)函數(shù)是聲子晶體帶隙的最大化。可以表達(dá)為

max{Fmax-Fmin}

(15)

式中帶隙的下邊界頻率Fmin和上邊界頻率Fmax可以表示為

Fmin=inf{Δf}

Fmax=sup{Δf}

(16)

其中，Δf表示帶隙。由于不確定參數(shù)的存在，F(xiàn)min和Fmax均不是一個(gè)確定的數(shù)值，而是一個(gè)變化的區(qū)間。圖2為聲子晶體能帶的局部放大圖，圖中Fmin,1和Fmin,2分別表示帶隙下邊界頻率Fmin變化區(qū)間的下限及上限。Fmax,1和Fmax,2分別表示帶隙上邊界頻率Fmax變化區(qū)間的下限及上限。以區(qū)間[Fmin,2,Fmax,1]的最大化為優(yōu)化目標(biāo)，優(yōu)化后的帶隙是保守的。若以區(qū)間[Fmin,1,Fmax,1]、[Fmin,2,Fmax,2]或[Fmin,1,Fmax,2]中的任意一個(gè)為優(yōu)化的帶隙時(shí)，由于不確定參數(shù)導(dǎo)致的帶隙區(qū)間波動(dòng)，實(shí)際帶隙不一定完全處于目標(biāo)區(qū)間中，優(yōu)化結(jié)果存在一定的風(fēng)險(xiǎn)。

圖2 聲子晶體能帶局部放大圖Fig.2 Local enlarged drawing of phononic crystal energy band

因此，本文以區(qū)間[Fmin,2,Fmax,1]變化范圍的最大化為目標(biāo)函數(shù)，式(15)的更為具體的表達(dá)形式應(yīng)為

max{Fmax,1-Fmin,2}

(17)

其中，F(xiàn)max,1和Fmin,2可用如下形式表示

?

?

(18)

在實(shí)際工程應(yīng)用中，某個(gè)頻率段的噪聲或振動(dòng)對(duì)于生產(chǎn)是有害的，因此往往需要屏蔽特定頻率段的振動(dòng)或噪聲。本文將期望的頻帶作為約束條件，若[f1,f2]為所期望的頻帶，則目標(biāo)函數(shù)中的帶隙[Fmin,2,Fmax,1]的上邊界頻率Fmax,1要不小于f2，下邊界頻率Fmin,2要不大于f1。該約束條件可表示為

Fmin,2≤f1≤f2≤Fmax,1

(19)

綜上可知，聲子晶體的區(qū)間可靠性優(yōu)化模型為

max {Fmax,1-Fmin,2}

(20a)

s.t.Fmin2≤f1≤f2≤Fmax 1

?

?

(20b)

2.3 區(qū)間可靠性優(yōu)化模型的優(yōu)化流程

遺傳算法模擬達(dá)爾文的進(jìn)化論機(jī)理來尋找最優(yōu)解，其過程簡(jiǎn)單，又具有很好的收斂性與魯棒性。因此，本文選用遺傳算法作為優(yōu)化算法。以Chebyshev代理模型為基礎(chǔ)，聲子晶體區(qū)間優(yōu)化模型的求解流程如下：

步驟1將設(shè)計(jì)變量R1…Rn作為個(gè)體進(jìn)行編碼，并生成一組初始群體；

步驟2基于Chebyshev代理模型，用Monte-Carlo 法求解能帶的變化范圍，計(jì)算個(gè)體適應(yīng)度值；

步驟3計(jì)算約束條件的值；

步驟4判斷可靠性約束條件是否成立？若成立，則進(jìn)行下一步；若不成立，則更新上一個(gè)群體，并回到第二步；

步驟5判斷是否達(dá)到演化循環(huán)次數(shù)(給定的演化循環(huán)次數(shù)為10 000次)，若達(dá)到則結(jié)束并輸出結(jié)果；若未達(dá)到則對(duì)群體P(t)進(jìn)行一輪選擇、交叉、變異運(yùn)算之后可得到新一代的群體P(t+1)，并回到第二步。

3 數(shù)值算例

3.1 含梳狀?yuàn)A層二維局域共振聲子晶體模型

本文所采用的聲子晶體為含梳狀?yuàn)A層的聲子晶體[26]，如圖3所示。它的內(nèi)核為金屬，基體為聚合物，中間的夾層呈梳狀，由橡膠和空氣交替組成。聲子晶體的晶格常數(shù)為a，中間梳狀橡膠夾層由16個(gè)均勻分布的扇形單元組成，每個(gè)扇形單元的中心角為π/8，夾層的內(nèi)外半徑分別是r1和r2。聚合物基體的材料參數(shù)分別是ρ=1 200 kg/m3，E=3.5×107Pa，γ=0.49。金屬內(nèi)核的材料參數(shù)分別是ρ=8 950 kg/m3，E=2.1×1011Pa，γ=0.29。幾何參數(shù)初始值分別為a=20 mm，r1=5.4 mm，r2=8.0 mm。

圖3 含梳狀?yuàn)A層的聲子晶體單胞Fig.3 Phononic crystal unit with a comb like coating

3.1.1 幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)帶隙的影響

幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)是影響聲子晶體帶隙的一個(gè)重要因素。本節(jié)將探討夾層內(nèi)半徑r1和外半徑r2對(duì)聲子晶體帶隙的影響。表1為幾何參數(shù)r1和r2的變化情況。其中，Case1表示外半徑r2和晶格常數(shù)a保持不變，而內(nèi)徑r1從5 mm逐漸變化到7 mm；Case2表示內(nèi)徑r1和晶格常數(shù)a保持不變，而外徑r2從7.5 mm逐漸變化到9.5 mm。Case1和Case2所對(duì)應(yīng)的帶隙變化如圖4所示。

表1 聲子晶體幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Geometrical structure parameter of phononic crystal

由圖4(a)可知，當(dāng)聲子晶體內(nèi)徑r1從5 mm逐漸變化到7 mm時(shí)，帶隙的上下界逐漸向高頻帶移動(dòng)，且?guī)兜慕^對(duì)寬度逐漸變大。由圖4(b)可知，當(dāng)聲子晶體外徑r2從7.5 mm逐漸變化到9.5 mm時(shí)，帶隙上下界逐漸向低頻帶移動(dòng)。由此可知，幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)聲子晶體的局域共振帶隙有顯著影響。通過對(duì)幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)的合理調(diào)整，可有效優(yōu)化聲子晶體局域共振帶隙。因此，本文將幾何參數(shù)r1和r2作為設(shè)計(jì)變量對(duì)聲子晶體進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化。

(a) r1

(b) r2圖4 結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)聲子晶體帶隙的影響Fig.4 Effects of structural parameters on the band gap of phononic crystals

3.1.2 聲子晶體帶隙的區(qū)間不確定分析

在工程實(shí)踐中，不確定性廣泛而必然地存在著。如果在忽略這些不確定因素的情況下對(duì)聲子晶體進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，那么得到的結(jié)果往往不可靠。

在區(qū)間模型中，不確定參數(shù)被定義為變化范圍已知的區(qū)間變量。梳狀?yuàn)A層聲子晶體的橡膠夾層在工程實(shí)踐中受溫度等影響，其材料屬性易發(fā)生變化。故本文以橡膠夾層的密度ρ和楊氏模量E取為區(qū)間變量，如表2所示。

表2 區(qū)間變量的變化范圍及不確定度Tab.2 The range and uncertainty of interval variables

在區(qū)間變量E和ρ的變化范圍內(nèi)等間距地各取10個(gè)樣本點(diǎn)，共獲得10×10=100組樣本數(shù)據(jù)。由圖5可知，第三條能帶與第四條能帶之間形成帶隙，帶隙下邊界頻率Fmin和上邊界頻率Fmax都不是確定的值而是變化的區(qū)間。用Fmin2和Fmin1分別表示帶隙下邊界頻率Fmin變化區(qū)間的上下限。用Fmax2和Fmax1分別表示帶隙上邊界頻率Fmax變化區(qū)間的上下限。表3為Fmin、Fmax和帶隙Δf的區(qū)間變化范圍及不確定度。由表3可以看出，F(xiàn)min、Fmax和帶隙Δf的不確定度分別為2.6%、2.7%和7.6%。而不確定性參數(shù)的不確定度為5%，聲子晶體帶隙的不確定度比不確定參數(shù)的不確定度略大。

由此可知，在受到不確定性參數(shù)影響時(shí)，聲子晶體的帶隙不是確定的值，而是變化的區(qū)間。而且，聲子晶體的帶隙的不確定度比不確定性參數(shù)中的最大不確定度還大。

圖5 不確定參數(shù)對(duì)帶隙的影響Fig.5 The influence of uncertain parameters on band gap表3 Fmin、Fmax和Δf的變化范圍及不確定度Tab.3 The range and uncertainty of Fmin、Fmax and Δf

區(qū)間變量變化范圍中間值不確定度Fmin /Hz[136.28, 143.41]139.852.6%Fmax /Hz 3[969, 1 071]286.952.7%Δf/Hz[135.92, 158.28]147.107.6%

3.1.3 Chebyshev代理模型精度驗(yàn)證

考慮到聲子晶體橡膠夾層易受周圍環(huán)境因素的影響，橡膠夾層的密度ρ和楊氏模量E均為區(qū)間變量，其變化范圍分別為[969, 1 071]kg/m3、[0.95×105,1.05×105]Pa。橡膠夾層的剪切模量為γ=0.47。選定內(nèi)徑r1和外徑r2為設(shè)計(jì)變量，其初始為r1=5.4 mm，r2=8.0 mm，其設(shè)計(jì)范圍為[5, 7]mm、[7.5, 9.5]mm。因此，Chebyshev多項(xiàng)式的變量向量x包含設(shè)計(jì)變量r1和r2以及區(qū)間變量ρ和E。采用三階Chebyshev多項(xiàng)式擬合能帶曲線。按照Chebyshev多項(xiàng)式抽樣法則，每個(gè)變量抽取4個(gè)樣本點(diǎn)，故在每個(gè)波矢k下共抽取44=256個(gè)樣本點(diǎn)。即采用有限元模型計(jì)算256組樣本數(shù)據(jù)，并基于這些樣本數(shù)據(jù)構(gòu)建每條能帶的Chebyshev代理模型。

共求解聲子晶體的十條能帶。由于只有第三條能帶與第四條能帶之間產(chǎn)生帶隙，故只分析第三條、第四條能帶的精度以及其產(chǎn)生的帶隙精度。圖6(a)和圖6(b)分別表示r1=6.5 mm和r2=8.5 mm時(shí)，基于有限元模型和Chebyshev代理模型的能帶圖。由圖6可以看出，基于Chebyshev代理模型得到的能帶與基于有限元模型得到的能帶匹配的非常好，Chebyshev代理模型得到的能帶上下界與有限元模型得到的能帶上下界的誤差非常小。

(a)

(b)圖6 r1=6.5 mm，r2=8.5 mm時(shí)有限元方法的能帶圖及 Chebyshev方法的能帶圖

Fig.6 The energy band structure based on the finite element method，and the Chebyshev method (r1=6.5 mm，r2=8.5 mm)

有限元模型每分析一次的時(shí)間為10 h。若Monte-Carlo法的樣本數(shù)據(jù)為100時(shí)，采用有限元模型直接分析聲子晶體帶隙的變化范圍時(shí)，其計(jì)算成本將達(dá)到1 000 h。采用三階Chebyshev代理模型分析聲子晶體帶隙的變化范圍時(shí)，構(gòu)建Chebyshev代理模型的時(shí)間為72.6 h，基于100組樣本點(diǎn)分析帶隙變化范圍的時(shí)間為4.3 h。由此可見，若直接采用有限元模型來進(jìn)行優(yōu)化，由于極其昂貴的計(jì)算成本而將導(dǎo)致優(yōu)化過程難以實(shí)現(xiàn)。本文通過引入Chebyshev代理模型，在保證精度的前提下，極大減少優(yōu)化時(shí)間，提高優(yōu)化效率。

3.1.4 區(qū)間可靠性優(yōu)化

該聲子晶體的區(qū)間可靠性優(yōu)化模型為

max {Fmax,1-Fmin,2}

(21a)

s.t.Fmin2≤200 Hz≤450 Hz≤Fmax 1

E∈[0.95×105, 1.05×105] Pa

ρ∈[969, 1 071] kg/m3

5 mm≤r1≤7 mm

7.5 mm≤r2≤9.5 mm

(21b)

采用遺傳算法求解基于Chebyshev代理模型的區(qū)間聲子晶體的可靠性優(yōu)化模型，得到了聲子晶體最大帶隙及其對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)變量。種群規(guī)模為N=20，交叉概率為Pc=0.7，變異概率為Pm=0.3，最大迭代代數(shù)為Gene=60。圖7給出了聲子晶體最大帶隙的收斂過程，圖中為最優(yōu)的個(gè)體對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度值(即最大帶隙)隨進(jìn)化次數(shù)變化的趨勢(shì)。由圖7可知，聲子晶體最優(yōu)帶隙在進(jìn)化代數(shù)達(dá)到10代時(shí)實(shí)現(xiàn)收斂。收斂后得到的最優(yōu)帶隙為290.69 Hz。

圖7 聲子晶體的帶隙優(yōu)化收斂圖Fig.7 Optimal convergence graph of phononic crystal bandgap

圖8為優(yōu)化前的能帶圖，設(shè)計(jì)變量為初始設(shè)計(jì)變量r1=5.4 mm，r2=8.0 mm。帶隙頻帶為[143.69, 280.26] Hz，帶隙寬度為136.57 Hz，且僅頻帶[200, 280.26] Hz落在期望帶隙[200, 450] Hz內(nèi)。圖9為優(yōu)化后的能帶圖，優(yōu)化后的設(shè)計(jì)變量為r1=6.99 mm，r2=8.13 mm。優(yōu)化后的帶隙頻帶為[199.85, 490.54] Hz，帶隙寬度為290.69 Hz，完全包含期望頻帶[200, 450] Hz。相對(duì)于優(yōu)化前的帶隙，優(yōu)化后的帶隙完全滿足約束條件，且?guī)秾挾葟?36.57 Hz拓寬到290.69 Hz。

圖8 優(yōu)化前能帶圖Fig.8 The energy band structure before optimization

圖9 優(yōu)化后能帶圖Fig.9 The energy band structure after optimization

4 結(jié) 論

本文針對(duì)不確定性廣泛存在于聲子晶體，并嚴(yán)重影響其物理性質(zhì)這一現(xiàn)狀，將區(qū)間模型引入聲子晶體，描述其模型參數(shù)的不確定性。數(shù)值分析結(jié)果表明，Chebyshev代理模型能高效且較精確地預(yù)測(cè)區(qū)間模型下聲子晶體的帶隙變化范圍。在考慮區(qū)間不確定性的條件下，本文以Chebyshev 代理模型為基礎(chǔ)構(gòu)建聲子晶體優(yōu)化模型。優(yōu)化結(jié)果表明，優(yōu)化后的帶隙相對(duì)于優(yōu)化前有大幅度拓寬，且滿足期望頻帶這一約束條件，聲子晶體的聲音屏蔽性能得到極大地改善。本文所提出的方法在聲子晶體的工程實(shí)際應(yīng)用中有廣泛的應(yīng)用前景，不僅極大地提高了不確定條件下聲子晶體帶隙特性的可靠性，而且通過構(gòu)建代理模型的方式避免了聲子晶體優(yōu)化設(shè)計(jì)的巨額計(jì)算成本。