硬化非高斯結(jié)構(gòu)響應(yīng)首次穿越的Monte Carlo模擬方法

張龍文 盧朝輝 何軍 趙衍剛

摘 要：在對(duì)比分析已有硬化非高斯模型（Winterstein硬化模型、Ding和Chen模型）的基礎(chǔ)上，提出了一個(gè)基于Zhao和Lu模型的、新的硬化非高斯模型. 新模型預(yù)測(cè)偏度和峰度的誤差比既有硬化模型小，且最大誤差分別為0.311和0.479，表明新模型具有良好精度；同時(shí)新模型擴(kuò)展了Zhao和Lu模型的適用范圍. 最后運(yùn)用新的硬化模型模擬硬化非高斯過程樣本，發(fā)展了硬化非高斯結(jié)構(gòu)響應(yīng)首次穿越的Monte Carlo模擬方法. 數(shù)值算例驗(yàn)證了本文方法用于硬化非高斯結(jié)構(gòu)響應(yīng)首次穿越失效概率計(jì)算有較高的精度；杭州新火車東站大跨屋蓋以及南水北調(diào)工程渡槽結(jié)構(gòu)工程實(shí)例說明了本文方法的使用過程.

關(guān)鍵詞：Winterstein硬化模型；Ding和Chen模型；Zhao和Lu模型；硬化非高斯過程；首穿失效概率

中圖分類號(hào)：TU311 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Monte Carlo Simulation Method for the First Passage Probability of Hardening Structural Responses

ZHANG Longwen1， LU Zhaohui1?， HE Jun2， ZHAO Yangang1

（1.College of Civil Engineering， Central South University， Changsha 410075；

2. School of Naval Architecture， Ocean and Civil Engineering， Shanghai Jiaotong University， Shanghai 200240）

Abstract： A new hardening non-Gaussian model based on Zhao and Lu model was proposed， by comparative analysis of the （Wintersteins hardening model， Ding and Chen model）. Skewness error and kurtosis error of the new hardening non-Gaussian model are smaller than the existing hardening response models. The maximum Skewness error and kurtosis error is 0.311， 0.479 respectively. It is indicated that the new hardening non-Gaussian model has good accuracy. At the same time， the new model extends the application range of Zhao and Lu model. Finally， the new hardening non-Gaussian model was applied to simulate hardeing non-Gaussian processes， and Monte Carlo simulation method for the first passage probability of hardening structural responses was developed. Numercial example show that the proposed method has good precision for extimating the first passage probability of hardening structural responses. The long-span roof of Hanzhou New Train Station and the aqueduct of South to North Water Transfer Project were given for illustrating the use process of the proposed method.

Key words： Wintersteins hardening model； Ding and Chen model； Zhao and Lu model； hardening non-Gaussian processes； first passage probability

在結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠度分析中，首次穿越失效一直是重點(diǎn)研究問題之一. 當(dāng)工程結(jié)構(gòu)受到諸如地震、風(fēng)及海浪等隨機(jī)荷載激勵(lì)時(shí)，研究結(jié)構(gòu)的首次穿越失效更是具有現(xiàn)實(shí)的工程意義與理論價(jià)值. 目前，首次穿越失效概率的主要計(jì)算方法包括：基于超越率的解析方法[1-2]、基于擴(kuò)散過程分析的半解析半數(shù)值方法[3]、數(shù)值積分方法[4]和Monte Carlo模擬方法[5]. 其中Monte Carlo模擬方法為最精確的方法，可以作為“人工試驗(yàn)”來驗(yàn)證其他方法的精度[6-7]. 因此，研究Monte Carlo模擬方法具有十分重要的意義.

Monte Carlo模擬方法的關(guān)鍵是模擬結(jié)構(gòu)的反應(yīng)樣本. 為了節(jié)省計(jì)算時(shí)間，可以從反應(yīng)的概率分布基礎(chǔ)上直接模擬結(jié)構(gòu)反應(yīng). 但是，當(dāng)結(jié)構(gòu)為非線性或荷載為非高斯過程時(shí)，只能在結(jié)構(gòu)反應(yīng)的不完全統(tǒng)計(jì)信息基礎(chǔ)上進(jìn)行結(jié)構(gòu)反應(yīng)過程的模擬. 例如，何軍[6]利用結(jié)構(gòu)反應(yīng)的前四階矩，基于Winterstein多項(xiàng)式，模擬了非高斯荷載作用下結(jié)構(gòu)的反應(yīng)過程，并建立了結(jié)構(gòu)首次失效時(shí)間分析的模擬方法.

Grigoriu提出的轉(zhuǎn)換過程理論[8]利用轉(zhuǎn)換思想首次將非高斯隨機(jī)過程變換為標(biāo)準(zhǔn)高斯過程的形式. 此后，發(fā)展了多種轉(zhuǎn)換模型用以表示非高斯過程，并在軟化反應(yīng)（具有比高斯分布寬的尾部，即峰度系數(shù)>3）取得一定的成果[9]. 對(duì)于硬化反應(yīng)（具有比高斯分布窄的尾部，即峰度系數(shù)<3）在實(shí)際工程中也經(jīng)常出現(xiàn)[10-12]，例如，由于海洋波浪或地震作用引起的結(jié)構(gòu)響應(yīng)、高層建筑圍護(hù)結(jié)構(gòu)的風(fēng)壓以及風(fēng)力發(fā)電機(jī)組的動(dòng)態(tài)響應(yīng)等，但研究較少. 在已有的轉(zhuǎn)換模型研究中，Winterstein多項(xiàng)式[9]在軟化非高斯過程情況運(yùn)用廣泛，但在硬化非高斯過程的運(yùn)用較少，且許多文獻(xiàn)[10-11]發(fā)現(xiàn)它的精度不足. 針對(duì)Winterstein硬化模型轉(zhuǎn)換精度的不足，基于隨機(jī)過程的正交展開，Ding和Chen[13]提出了一個(gè)更為合理的硬化模型. Ding和Chen對(duì)模型的精度進(jìn)行了量化，但該模型的系數(shù)過于復(fù)雜. 另外，上述兩種模型無法得到類似Winterstein[14]軟化非高斯過程模型的形式，不能建立多項(xiàng)式系數(shù)與前四階統(tǒng)計(jì)矩（均值、標(biāo)準(zhǔn)差、偏度、峰度）關(guān)系的完整表達(dá)式. 且當(dāng)用標(biāo)準(zhǔn)高斯過程表示非高斯過程時(shí)，涉及一元三次方程的求根問題. Zhao和Lu[15]提出的四階矩標(biāo)準(zhǔn)化的函數(shù)表達(dá)形式，能夠建立三次多項(xiàng)式系數(shù)與統(tǒng)計(jì)矩之間的關(guān)系. 該模型簡單，避免了上述求根問題，但在硬化非高斯過程的運(yùn)用中還有待進(jìn)一步考查. 因此，已有硬化非高斯過程的轉(zhuǎn)換模型還存在不足，其模型的精度及適用范圍需進(jìn)一步調(diào)查，以便運(yùn)用于硬化非高斯結(jié)構(gòu)響應(yīng)的首穿失效概率計(jì)算.

本文基于Zhao和Lu模型的四階矩標(biāo)準(zhǔn)化函數(shù)，提出了新硬化非高斯模型并運(yùn)用于硬化非高斯過程的首穿失效概率計(jì)算. 首先，對(duì)已有的Winterstein硬化模型、Ding和Chen模型以及Zhao和Lu模型的精度進(jìn)行誤差分析；接著，基于Zhao和Lu模型，提出了新模型，并進(jìn)一步討論了新模型的適用范圍；最后，以非線性Duffing振子數(shù)值算例驗(yàn)證了本文方法在硬化非高斯結(jié)構(gòu)響應(yīng)首穿失效概率計(jì)算中的有效性；以杭州新火車東站大跨屋蓋非高斯脈動(dòng)風(fēng)壓、南水北調(diào)工程渡槽結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)為例，說明了本文方法的使用過程.

1 硬化非高斯過程的轉(zhuǎn)換模型

1.1 Winterstein硬化模型

Winterstein硬化模型[9]可表達(dá)為：

. （1）

式中：U（t）為標(biāo)準(zhǔn)高斯過程；XS（t）=[X（t）-X]/X， h3=3X/6， h4=（4X-3）/24；X， X，3X， 4X 分別為平穩(wěn)非高斯過程X（t）的均值、標(biāo)準(zhǔn)差、偏度和峰度.

為了對(duì)該模型進(jìn)行誤差分析，通過反算硬化非高斯過程的偏度與峰度，并分別與其目標(biāo)值進(jìn)行對(duì)比分析. 對(duì)于非高斯過程X（t）的前四階中心矩可通過式（2）計(jì)算.

記 分別為偏度與峰度的誤差，偏度與峰度計(jì)算公式表達(dá)如下：

， （4a）

. （4b）

根據(jù)式（2a）（2b）（3a）（3c）及（4a）（4b）計(jì)算模型誤差. 圖1、圖2分別給出了Winterstein硬化模型在3X=0.0、0.2、0.4、0.6不同目標(biāo)偏度系數(shù)下，隨著峰度變化的偏度誤差曲線和峰度誤差變化曲線.

1）圖1說明了隨著目標(biāo)偏度的增大，誤差變大，且誤差曲線的離散性較大.

2）圖2說明了在不同目標(biāo)偏度下，峰度的誤差曲線變化趨勢(shì)基本一致，且隨著峰度的增大而減小. 當(dāng)峰度4X=1.5時(shí)，峰度誤差達(dá)到1.

根據(jù)式（1）可知，當(dāng)3X=-0.2， -0.4， -0.6時(shí)，偏度誤差及峰度誤差的絕對(duì)值與3X取正值時(shí)相同.

. （6c）

它的應(yīng)用范圍為：

. （7）

根據(jù)式（2a）（2b）（4a）（4b）及（6a）（6c）計(jì)算模型誤差. 圖3、圖4分別給出了Ding和Chen模型在3X=0.0、0.2、0.4、0.6的不同目標(biāo)偏度系數(shù)下，隨著峰度變化的偏度誤差曲線和峰度誤差曲線.

1）圖3說明了該誤差曲線離散性較大，且偏度誤差的絕對(duì)值變化在0～0.75之間.

2）圖4說明了在不同目標(biāo)偏度下，峰度的誤差曲線基本一致，且峰度誤差的絕對(duì)值在0～1之間. 根據(jù)等式（5a）（5e）可知，當(dāng)3X=-0.2、-0.4、-0.6時(shí)，偏度誤差及峰度誤差的絕對(duì)值與3X取正值時(shí)相同.

1.3 Zhao和Lu模型

Zhao和Lu[15]以一個(gè)三次多項(xiàng)式的形式表達(dá)：

. （8a）

式中多項(xiàng)式系數(shù)l1， k1， k2表達(dá)為：

. （8b）

式中l(wèi)2為：

. （8c）

式（8a）的反函數(shù)可表達(dá)為：

. （9a）

式中：

； （9b）

. （9c）

根據(jù)式（2a）（2b）（4a）（4b）及（8a）（8c）計(jì)算模型誤差. 圖5與圖6分別給出了Zhao和Lu模型在3X=0.0、0.2、0.4、0.6的不同目標(biāo)偏度系數(shù)下，隨著峰度變化的偏度誤差曲線和峰度誤差曲線. 圖5與圖6均表明Zhao和Lu模型在不同目標(biāo)偏度系數(shù)下的誤差趨近于0. 因此，通過對(duì)比Winterstein硬化模型與Ding和Chen模型的誤差曲線，Zhao和Lu模型顯示的誤差最小. 根據(jù)等式（8a）（8c）可知，當(dāng)3X=-0.2、-0.4、-0.6時(shí)，偏度誤差及峰度誤差的絕對(duì)值與3X取正值時(shí)相同. 然而，Zhao和Lu模型的應(yīng)用范圍需滿足以下等式：

. （10）

因此，對(duì)于在4X≤2.3時(shí)的強(qiáng)非高斯硬化過程，該模型將不再適用.

（11b）

式中l(wèi)2修訂為 ，表達(dá)為：

. （11c）

圖7與圖8給出了新模型在3X=0.0、0.2、0.4、0.6的不同目標(biāo)偏度系數(shù)下，隨著峰度變化的誤差曲線. 圖7說明偏度誤差絕對(duì)值的最大值在0.3左右，圖8說明峰度誤差絕對(duì)值小于0.5. 根據(jù)等式（8a）（11a） （11c）及l(fā)1可知，當(dāng)3X=-0.2、-0.4、-0.6時(shí)，偏度誤差及峰度誤差的絕對(duì)值與3X取正值時(shí)相同.

表1與表2分別給出了Winterstein硬化模型、Ding和Chen模型以及新模型在目標(biāo)偏度3X=0.0、0.2、0.4、0.6下的偏度誤差絕對(duì)值最大值、峰度誤差絕對(duì)值的最大值. 表1說明了本文修正模型偏度誤差絕對(duì)值的最大值最小，最大誤差為0.311. 另外，在3X=0.0時(shí)誤差為0. Winterstein硬化模型與Ding和Chen模型均有較大的誤差，最大誤差分別為0.819和0.797.

表2說明了本文修正模型在3X=0.0、0.2、0.4時(shí)相比Winterstein硬化模型與Ding和Chen模型的峰度誤差絕對(duì)值的最大值最小，最大誤差為0.479，最小誤差為0.428. 而Winterstein硬化模型與Ding和Chen模型的誤差絕對(duì)值的最大值均有等于1的情況. 因此，根據(jù)表1與表2的誤差對(duì)比分析，說明新模型能提供更高的精度.

2.2 新模型的適用范圍

根據(jù)式（11c）可知，偏度系數(shù)3X與峰度系數(shù)a4X的關(guān)系應(yīng)該滿足以下等式：

. （12）

一般地，對(duì)于常見分布的范圍，偏度系數(shù)與峰度系數(shù)的關(guān)系為[16]：

圖9顯示了新模型、Ding和Chen模型以及式（13）的適用范圍. 說明了式（12）涵蓋了大部分的硬化非高斯分布的范圍，且比較于Ding和Chen模型的適用范圍更大.

3 硬化非高斯過程的首穿失效概率

3.1 U-X變換模擬硬化非高斯過程樣本

對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)高斯過程U（t），一般情況下可根據(jù)兩種

模型生成[17-18]. 基于硬化非高斯過程前四階統(tǒng)計(jì)矩（均值X、標(biāo)準(zhǔn)差X、偏度3X和峰度4X）以及標(biāo)準(zhǔn)高斯過程U（t）、硬化非高斯過程X（t）可以通過式（8a）表達(dá)為含有標(biāo)準(zhǔn)高斯過程U（t）的形式. 當(dāng)采用新模型生成樣本時(shí)，k1和k2分別為m1和m2. 若采用Winterstein模型以及Ding和Chen模型生成樣本，則可分別根據(jù)等式（3a）～（3c）以及（6a）～（6c）進(jìn)行計(jì)算. 圖10說明了三次多項(xiàng)式生成硬化非高斯過程X（t）樣本的過程.

3.2 首穿失效概率

首穿失效概率定義為在[0，T]的時(shí)間范圍內(nèi)，隨機(jī)過程超越界限x至少一次的概率pf（T），表示為[5]：

. （14）

根據(jù)U（t）-X（t）變換，可以通過圖10方法生成樣本X（t），再根據(jù)式（15）的分段函數(shù)判定樣本是否失效. 式（15）表示為：

（15）

首穿失效概率可通過式（16）進(jìn)行計(jì)算：

. （16）

式中：n為Ij的總和；Nsim為結(jié)構(gòu)硬化非高斯過程X（t）的樣本數(shù). 圖11說明了首穿失效概率的計(jì)算過程.

4 算例

4.1 非線性單自由度Duffing振子

考慮一個(gè)單邊功率譜為1/，受高斯白噪聲激勵(lì)的非線性單自由度的Duffing振子. 它的運(yùn)動(dòng)方程表示為：

. （17）

式中：c為阻尼系數(shù)；0為自振頻率；為控制非線性的參數(shù). 對(duì)于該系統(tǒng)的位移反應(yīng)概率密度函數(shù)f（X）有解析解[19]，表達(dá)為：

. （18a）

式中：

（18b）

式（18a）說明結(jié)構(gòu)響應(yīng)X（t）是非高斯的. 根據(jù)結(jié)構(gòu)的參數(shù)及其位移概率密度函數(shù)求解前四階矩如表3所示（硬化非高斯過程，4X<3）.

根據(jù)U-X變換，對(duì)應(yīng)表3的前四階矩，模擬得到結(jié)構(gòu)的一次反應(yīng)樣本，如圖12所示. 考慮結(jié)構(gòu)的界限水平x=2X，利用表3的前四階矩，并結(jié)合上節(jié)說明的模擬方法，計(jì)算了10 000個(gè)樣本函數(shù)的首穿失效概率. 圖13給出了結(jié)構(gòu)在0～50 s的首穿失效概率. 圖13同時(shí)給出了根據(jù)穿越理論計(jì)算的解析解[19]結(jié)果，以及Ding和Chen模型、Winterstein模型計(jì)算結(jié)果. 從圖13可看出本文方法計(jì)算的首穿失效概率能夠與解析解計(jì)算結(jié)果很好地?cái)M合，而運(yùn)用Ding和Chen模型、Winterstein模型計(jì)算結(jié)果與解析結(jié)果均有較大差異. 圖13說明了本文方法計(jì)算首超概率的有效性與準(zhǔn)確性，并進(jìn)一步驗(yàn)證了新模型的準(zhǔn)確性.

4.2 杭州新火車東站大跨屋蓋脈動(dòng)風(fēng)壓

大跨屋蓋結(jié)構(gòu)往往呈現(xiàn)出較強(qiáng)的非高斯特性. Huang等[20]對(duì)杭州新火車東站進(jìn)行了風(fēng)洞試驗(yàn)研究，并對(duì)其大跨屋蓋結(jié)構(gòu)的非高斯風(fēng)壓進(jìn)行數(shù)值模擬. 基于杭州新火車東站實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，林巍等[21]也研究了大跨度屋蓋結(jié)構(gòu)表面風(fēng)壓的非高斯分布特性. 該風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)在90°風(fēng)向角的風(fēng)壓時(shí)程的前四階矩列于表4.

根據(jù)U（t）-X（t）變換，對(duì)應(yīng)表4中B44和B46測(cè)點(diǎn)的前四階矩，分別模擬得到風(fēng)壓時(shí)程的典型樣本如圖14（a）（b）所示.

在90°風(fēng)向角的風(fēng)壓下，測(cè)點(diǎn)B44考慮屋蓋結(jié)構(gòu)能夠承受的界限水平x=-0.75、-0.80兩種情況，計(jì)算了10 000個(gè)樣本函數(shù)計(jì)算的首穿失效概率，圖15給出了結(jié)構(gòu)在0～50 s的首穿失效概率. 測(cè)點(diǎn)B46考慮屋蓋結(jié)構(gòu)能夠承受的界限水平x=-0.85、-0.90兩種情況，計(jì)算了10 000個(gè)樣本函數(shù)的首穿失效概率，圖16給出了結(jié)構(gòu)在0～50 s的首穿失效概率.

4.3 渡槽結(jié)構(gòu)的抗震可靠度

南水北調(diào)中線工程某渡槽全長114 m，共3跨，每跨38 m. 該渡槽工程位于地震多發(fā)帶，地震基本烈度為8度. 文獻(xiàn)[22]對(duì)該實(shí)際工程結(jié)構(gòu)進(jìn)行了結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析，并根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)得到了在5 000條人工地震波下（地震波時(shí)長為10 s）的絕對(duì)加速度反應(yīng)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)值.

當(dāng)自振頻率0=20 rad/s時(shí)，該結(jié)構(gòu)的絕對(duì)加速度反應(yīng)的前四階矩分別為：X=1.618 661 m/s2，X= 0.064 916 m/s2，X=-0.108 613，X=2.448 231. 結(jié)構(gòu)反應(yīng)的前四階矩說明該結(jié)構(gòu)為硬化非高斯過程. 考慮該渡槽的加速度限值為x=、、三種情況，計(jì)算得到10 000個(gè)反應(yīng)樣本下結(jié)構(gòu)t=5 s的首次穿越概率分別為：0.219、0.109、0.0169. 它們對(duì)應(yīng)的可靠度分別為：0.775 6、1.231 9、2.122 5. 計(jì)算結(jié)果表明，隨著界限值的增大，渡槽結(jié)構(gòu)的可靠度增大顯著.

5 結(jié)論

1） 基于Zhao和Lu模型，對(duì)模型系數(shù)進(jìn)行了修正. 通過對(duì)比已有的硬化模型（Winterstein硬化模型、Ding和Chen模型），說明了新模型的偏度、峰度誤差最小：最大誤差分別為0.311和0.479.

2） 通過數(shù)值算例驗(yàn)證了本文新模型運(yùn)用于硬化非高斯過程樣本的模擬以及首穿失效概率計(jì)算的有效性與準(zhǔn)確性；通過杭州新火車東站大跨屋蓋及渡槽結(jié)構(gòu)的實(shí)例分析，說明了本文方法在實(shí)際工程中 的應(yīng)用.

3） 本文新模型可應(yīng)用于實(shí)際工程的首穿失效概率計(jì)算及工程結(jié)構(gòu)的動(dòng)力可靠度評(píng)估. 另外，由于結(jié)構(gòu)在動(dòng)力作用下的破壞指標(biāo)是建立在首次穿越和塑性累積損傷聯(lián)合效應(yīng)的基礎(chǔ)上的，因此，考慮累積效應(yīng)的結(jié)構(gòu)動(dòng)力問題以及首次穿越和累計(jì)效應(yīng)的作用規(guī)律需要進(jìn)一步深入研究.

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