模型思想在初中數(shù)學(xué)“一次函數(shù)”教學(xué)中的應(yīng)用研究

楊建新

[摘 要] 模型思想是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要思想方法，也是高中數(shù)學(xué)新課程標準中明確提出的“十大核心概念”之一. 文中以一次函數(shù)部分的教學(xué)為例，對模型思想運用的幾個步驟結(jié)合教學(xué)實踐進行了論述.

[關(guān)鍵詞] 模型思想；一次函數(shù)；數(shù)學(xué)教學(xué)

模型思想是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要思想方法，也是數(shù)學(xué)新課程標準中明確提出的“十大核心概念”之一，是數(shù)學(xué)教學(xué)中不可忽視的重要思想方法. 從數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)來看，整個初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是學(xué)生建立模型、處理模型的過程，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的過程，因此，研究模型思想在數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中的使用，對于提高教學(xué)效果具有重要的意義.

模型思想概述

模型思想是人們運用數(shù)學(xué)概念和原理來描述現(xiàn)實世界的過程，是學(xué)生聯(lián)系數(shù)學(xué)書本知識與現(xiàn)實生活的重要途徑. 學(xué)生借助模型思想，能夠運用數(shù)學(xué)知識來分析生活中遇到的問題，進而解決問題，從而提高學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用能力.

一次函數(shù)部分知識概述

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要組成部分，通過函數(shù)的學(xué)習(xí)，學(xué)生掌握了變量之間的描述關(guān)系，是學(xué)生數(shù)學(xué)思維方式的一個重要的轉(zhuǎn)折點，學(xué)生的思維開始由原來數(shù)字描述的數(shù)量關(guān)系向字母表示的數(shù)量關(guān)系進行轉(zhuǎn)化，很多學(xué)生在這個過程中出現(xiàn)不適應(yīng)的情況. 一次函數(shù)部分主要包含了一次函數(shù)的圖像、一次函數(shù)的應(yīng)用等知識，這是學(xué)生首次接觸函數(shù)知識，更是學(xué)生今后學(xué)習(xí)反比例函數(shù)和二次函數(shù)的基礎(chǔ). 學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題的時候，首先要根據(jù)問題情境提取數(shù)量關(guān)系，然后構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，借助已知條件分析模型，進而求解，最后驗證所求結(jié)果的合理性. 從本質(zhì)上來看，這個過程就是一個數(shù)學(xué)模型構(gòu)建的過程.

模型思想在一次函數(shù)部分教學(xué)的應(yīng)用過程

教學(xué)過程是課堂教學(xué)的核心，是實現(xiàn)教學(xué)目標、突破教學(xué)重難點的主要途徑，因此，模型思想的應(yīng)用，重點要體現(xiàn)在課堂教學(xué)過程當中. 借助模型思想來進行一次函數(shù)部分的教學(xué)主要分為以下幾個步驟：引出問題——進行假設(shè)——建立模型——求解模型——驗證模型——應(yīng)用模型，這對于提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效果、提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力具有重要的意義.

1. 創(chuàng)設(shè)情境，引出問題，提出假設(shè)

在數(shù)學(xué)教學(xué)的課堂引入部分，就要圍繞數(shù)學(xué)模型的思想來設(shè)置，借助生活實踐情境，能夠有效提高學(xué)生將生活問題抽象成數(shù)學(xué)問題的意識. 在設(shè)置問題的時候要遵循維果斯基的最近發(fā)展區(qū)理論，要適合這一階段的學(xué)生，讓他們能夠“跳一跳，摸個桃”，這樣才能夠激發(fā)他們探究知識的興趣，才能夠幫助他們建立模型. 例如，在教學(xué)中，首先引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題. 教師在彈簧的一端，豎直懸掛上質(zhì)量不同的小球，學(xué)生觀察懸掛小球的質(zhì)量和彈簧長度之間的關(guān)系.

教師提出問題：同學(xué)們通過觀察發(fā)現(xiàn)什么現(xiàn)象？造成這一現(xiàn)象的因素是什么？

學(xué)生回答：彈簧會變長，彈簧的長度與所掛物體的質(zhì)量有關(guān).

其次，引導(dǎo)進行假設(shè).

教師提出問題：剛才老師手中的彈簧原長度是4厘米，每在一端掛1千克的重物，它的長度就會拉伸0.5厘米，如果我在一端掛上2千克的重物，它的長度能夠達到多長？掛上3千克、4千克、5千克的重物，它的長度又會變成多少呢？

學(xué)生根據(jù)教師的提問進行解答.

教師繼續(xù)提出問題：彈簧長度和所掛重物質(zhì)量之間的關(guān)系是我們這節(jié)課所說的函數(shù)關(guān)系嗎？你能夠?qū)懗鏊鼈兊年P(guān)系式嗎？

學(xué)生利用x，y寫出它們的關(guān)系式：y=0.5x+4.

在這一環(huán)節(jié)的教學(xué)中，由于學(xué)生剛開始接觸函數(shù)，我們就借助生活中最常見的生活實例，通過學(xué)生親身體驗彈簧長度和物質(zhì)質(zhì)量之間的關(guān)系，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性. 需要注意的是，在做出假設(shè)的過程中，要大膽放手，讓學(xué)生圍繞問題進行充分的討論，對于那些不合理的假設(shè)，教師不要急于否定，讓他們通過自身的思考和探究，去尋找正確的答案，這樣才有利于提高學(xué)生的探究能力和創(chuàng)新能力.

2. 合作探究，強化思維，建立模型

在做出假設(shè)的基礎(chǔ)上，建立模型，概括出變量之間的抽象關(guān)系，運用數(shù)學(xué)符號將它們加以概括，這個建立數(shù)學(xué)模型的過程就是滲透模型思想的關(guān)鍵所在. 初中階段的函數(shù)主要涉及數(shù)量之間的動態(tài)變化，揭示事物的動態(tài)變化規(guī)律，學(xué)生學(xué)習(xí)起來存在一定的難度，借助函數(shù)模型，能夠輔助學(xué)生的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生認識到函數(shù)知識與現(xiàn)實生活之間的關(guān)系. 一些造價問題、利潤問題、投資問題都可以通過函數(shù)模型的方式得到順利的解決.

通過第一環(huán)節(jié)的問題引入，學(xué)生對一次函數(shù)有了一定的了解，在這一環(huán)節(jié)中，讓學(xué)生獨立完成分析，培養(yǎng)其獨立解決問題的能力.

例1 有一輛等待行駛的汽車，油箱中裝有60 L的汽油，該汽車的油耗為12 L/100 km，請完成下表的填寫.

請寫出油耗與汽車行駛路程之間的關(guān)系，你還能寫出剩余油量與汽車行駛路程之間的關(guān)系嗎？請大家根據(jù)自己寫出的函數(shù)關(guān)系式，考慮一下自變量的取值問題.

例2 請大家觀察下列關(guān)系式，看看它們都有什么共同點？

y=1.8x+7；z=80-0.75x.

學(xué)生回答：都含有一個未知數(shù)，并且x的指數(shù)為1，每個等式中都含有兩個變量.

教師總結(jié)：如果兩個變量x，y之間的關(guān)系，可以用y=kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0）的形式表示，就可以說y是x的一次函數(shù).

3. 求解模型，鞏固知識，驗證模型

模型確定以后就需要對它進行求解，這個過程中，對于方程模型就需要借助等式的相關(guān)知識進行求解；對于不等式模型就借助不等式的部分知識進行求解；對于幾何模型就借助三角形與圖形的相關(guān)知識進行求解；對于函數(shù)模型則需要利用方程的相關(guān)知識來求解. 有些涉及現(xiàn)實生活問題的函數(shù)問題，在求解完模型以后，還需要代入生活實踐進行驗證. 如果驗證的結(jié)果合理，那么所求的結(jié)果就是正確的，如果驗證的結(jié)果不合理，那么所求出的結(jié)果就是錯誤的，學(xué)生需要返回問題的原點，重新進行分析、建模、求解.

對于該部分的教學(xué)過程，教師要給予關(guān)心和耐心，引導(dǎo)學(xué)生正視自己的錯誤，這樣才有助于學(xué)生良好數(shù)學(xué)思維方式的培養(yǎng)，有助于學(xué)生的長足發(fā)展. 例如，在例1的思考中，涉及汽車行駛的實際問題時，需要注意的是汽車油箱總共還有60 L油，最多就能跑500 km，再遠就跑不動了，同學(xué)們就可以借助這一點對模型進行驗證，檢查自己的思路是否正確.

4. 應(yīng)用模型

在借助模型思想進行一次函數(shù)的教學(xué)時，不要以為驗證完模型就可以了，還要組織學(xué)生做好反思，將模型的思想內(nèi)化到自己的解題思維當中. 中考對于數(shù)學(xué)知識的考查更加偏向于綜合性，教師僅抓住某個知識點對學(xué)生進行講授已經(jīng)不能滿足要求. 借助一定的數(shù)學(xué)問題，給學(xué)生滲透數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，才是新課改背景下數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的要求. 在鞏固新知環(huán)節(jié)的教學(xué)中，教師就可以引入相關(guān)的練習(xí)題，幫助學(xué)生內(nèi)化模型思想.

例3 根據(jù)下列問題寫出相對應(yīng)的關(guān)系式.

（1）一艘輪船以80 km/h的速度行駛，請寫出它的行駛時間x與行駛路程y之間的關(guān)系式.

（2）請寫出圓的面積y與它的半徑x之間的關(guān)系式.

（3）泳池中有25立方米的水，因需要換水打開出水管，出水管的水流速度為7立方米每小時，那么x小時后，水池中還剩余y立方米水. 請寫出它們之間的關(guān)系式.

小結(jié)

模型思想是初中數(shù)學(xué)解題的重要思想，它能夠幫助學(xué)生分析復(fù)雜問題，理清解題思路，完成求解. 尤其是在一次函數(shù)的教學(xué)中，學(xué)生的思維開始由原來數(shù)字描述的數(shù)量關(guān)系向字母表示的數(shù)量關(guān)系進行轉(zhuǎn)化，很多學(xué)生在這個過程中出現(xiàn)不適應(yīng)的情況. 借助模型思想，就能夠幫助學(xué)生建立科學(xué)的分析問題和解決問題的方法，養(yǎng)成科學(xué)的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生在一次函數(shù)部分學(xué)習(xí)的效率.