發(fā)展學生幾何直觀能力的舉措與案例分析

王蓉

[摘 要] 本文通過增加學生實驗操作的機會、幾何與代數(shù)融合、培養(yǎng)學生積累分析基本圖形的經(jīng)驗等方面的內(nèi)容，對如何培養(yǎng)初中生幾何直觀能力進行了詳細的思考.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學；幾何直觀能力；途徑

用通俗的語言來解釋幾何直觀這一數(shù)學領(lǐng)域當前的熱門名詞就是：看圖說話與講理. 幾何直觀能夠使學生在復(fù)雜數(shù)學問題的思考中將問題處理得更加簡明和形象，甚至直接預(yù)測出問題的結(jié)果. 著名數(shù)學家徐利治教授曾經(jīng)表達過喜歡直觀的數(shù)學，他認為能把定理的直觀含義與證明方法的直觀思路搞清楚、弄明白，就意味著真正的掌握了. 由此可見，數(shù)學教學中對學生進行幾何直觀能力的培養(yǎng)對于學生來說極為重要. 幾何直觀在初中數(shù)學教學中的應(yīng)用能很好地幫助邏輯思維尚未成熟的初中生更好地理解與學習數(shù)學. 那么，教師在日常教學中應(yīng)該怎樣對學生的幾何直觀能力進行培養(yǎng)呢？具體途徑有哪些呢？

增加實驗操作，培養(yǎng)學生積累活動的經(jīng)驗

數(shù)學學習雖然有諸多方法，但不同的內(nèi)容卻需要適合的方式進行呈現(xiàn)，才會取得令人滿意的效果. 教師在教學中應(yīng)根據(jù)教學內(nèi)容與學生已有經(jīng)驗盡量多地創(chuàng)設(shè)一些科學的實驗操作，讓學生在實驗操作的活動探索、交流、猜測以及論證中獲得更加深刻的學習體驗.

例1 矩形和菱形的教學.

矩形教學是在學生已經(jīng)具備相關(guān)平行四邊形知識的基礎(chǔ)上進行的，教師可以首先要求學生在預(yù)習環(huán)節(jié)利用硬紙板制作一個邊能轉(zhuǎn)動的平行四邊形，然后在課堂教學中引導(dǎo)學生將平行四邊形的一個角轉(zhuǎn)成90°后對手中四邊形的形狀是否發(fā)生變化進行觀察. 在學生操作、觀察的同時適時引導(dǎo)學生思考，并與學生一同小結(jié)矩形的概念和性質(zhì)：矩形的四個角都是直角. 經(jīng)過一定的實驗、操作與觀察，學生很快就可以得出矩形的對角線是相等的. 在這一性質(zhì)的基礎(chǔ)上進行進一步推理可以得到矩形的性質(zhì)定理——矩形是一個擁有兩條對稱軸的軸對稱圖形，對邊中點的連線所在的直線就是其對稱軸.

菱形的學習可以在平行四邊形的制作中使其四條邊的長度相等，然后類似進行教學.

例2 折疊中的無理數(shù).

教學伊始，首先請學生取出課前準備好的A4紙，并根據(jù)教師的要求進行折疊. 第一步，如圖1，沿∠ADC的平分線進行折疊，使點A落在DC邊上并記作F，將折痕線段記作DE，點E在A4紙的長邊上；第二步，如圖2，經(jīng)過點D繼續(xù)翻折紙，使點E在DC邊上.

分析 這是學生親手實踐操作的兩個簡單案例，學生在自己的操作與探究活動中很快展現(xiàn)出濃厚的學習熱情，學生的各種感官都被充分調(diào)動起來了，并開始了愉快而積極的數(shù)學體驗.

幾何與代數(shù)的整合

二元一次方程組與兩直線交點間的聯(lián)系、實數(shù)與數(shù)軸間的對應(yīng)、乘法公式的幾何推導(dǎo)、函數(shù)圖像與方程等代數(shù)與幾何相互整合應(yīng)用的案例比比皆是且耳熟能詳，代數(shù)問題很多時候給學生繁難且抽象的感覺，但幾何圖像的直觀性卻能在很大程度上使其難度與抽象度大大降低.

例3 求滿足1

相當一部分學生解決此類絕對值不等式問題時會表現(xiàn)出思維定式的缺陷，常常會將其轉(zhuǎn)化為不等式組x-1>1，x-1<4 后進行求解，教師在此類問題的解題教學中可以這樣設(shè)計教學過程（如下）.

師：看到這種絕對值不等式問題，大家會聯(lián)想到哪些知識呢？絕對值的概念大家還記得嗎？我們首先將數(shù)軸畫一下，請大家結(jié)合數(shù)軸來思考x-1具有怎樣的幾何意義（如圖3）.

生1：x-1表示的應(yīng)該是x和點1在數(shù)軸上的距離.

師：那1

生2：1

師：大家結(jié)合原不等式組的幾何意義，在數(shù)軸上找一找符合條件的整數(shù)吧.

生3：符合條件的整數(shù)x有-1，-2，3，4.

分析 教師關(guān)注學生幾何直觀的培養(yǎng)，應(yīng)注重數(shù)學核心內(nèi)容的理解這一基礎(chǔ). 本案例中絕對值概念的復(fù)習使學生自然能夠聯(lián)想、思考絕對值概念所具備的幾何意義，數(shù)學問題的解決因此變得直觀而簡便，一些不必要的分類討論與復(fù)雜計算也因此得到了有效避免，代數(shù)問題因此得到了圖形化的直觀展示，學生頓覺難度降低的同時也能掌握數(shù)學問題解決的又一種方法.

培養(yǎng)學生積累分析基本圖形的經(jīng)驗

任何一個幾何圖形一般來說都會包含幾個基本圖形，學生在接觸幾何數(shù)學問題時，如果能夠在自己的觀察、發(fā)現(xiàn)以及分析中快速在復(fù)雜圖形中找出其中的子圖形，那這一幾何問題的解決也就相對容易了許多. 因此，教師在日常教學中應(yīng)注重學生觀察、分析幾何圖形能力的培養(yǎng)，使學生能夠在復(fù)雜幾何圖形中很快剝離出其中所包含的子圖形以解決問題. 比如，教師在相似三角形的教學之后就應(yīng)有意識地引導(dǎo)學生發(fā)現(xiàn)、歸納“一線三等角”型常見基本圖形（如圖4），這種引導(dǎo)訓練能使學生在以后的幾何解題中很快尋得突破.

例4 如圖5，E為四邊形ABCD中AB邊上不與A，B重合的任意一點，分別連接ED，EC，則可將四邊形ABCD分成三個三角形. 當其中兩個三角形相似時，E就可以稱作四邊形ABCD中AB邊上的“相似點”；當這三個三角形都相似時，E就可以稱作四邊形ABCD中AB邊上的“強相似點”.

（1）如圖5，若∠A=∠B=∠DEC=45°，那么點E是四邊形ABCD中AB邊上的相似點嗎？為什么？

（2）在如圖6所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，A，B，C，D四個點都在格點上，你能在圖中畫出矩形ABCD中AB邊上的強相似點嗎？

（3）將圖7中的矩形ABCD沿CM折疊，并使點D落在AB邊上的點E處，如果點E正好是四邊形ABCD中AB邊上的一個強相似點，你覺得AB和BC間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？

這一問題考查的主要知識點為相似三角形中“一線三等角”的應(yīng)用. 如果學生對圖4中幾個基本圖形的掌握和應(yīng)用都比較有心得，那他們在審題、觀察圖形并略作思考之后便能“一眼定乾坤”了，問題的解決自然也會更加簡便與明了. 由此可見，基本圖形的學習與經(jīng)驗積累對于學生幾何直觀能力的培養(yǎng)來說是一個極為有效的途徑. 因此，教師在平常的教學中應(yīng)該為學生基本圖形的學習與經(jīng)驗積累創(chuàng)造更多的機會. 教師可以引導(dǎo)學生在課堂上、作業(yè)中以及課外閱讀時養(yǎng)成對圖形觀察、思考與總結(jié)的意識與習慣，長期的積累往往能在學生頭腦中形成一套待用的基本圖形庫. 學生面對問題時，在圖形庫中進行積極的信息調(diào)動，也正是對自身幾何直觀能力的鍛煉. 長期的積累，催生學生解題能力的提升，也實現(xiàn)了由量變到質(zhì)變的學習遷移.

不過，培養(yǎng)學生幾何直觀能力也不是一件一蹴而就的事，教師在日常教學中應(yīng)經(jīng)常進行有意義的設(shè)計與反思，使學生能夠在教師的精心設(shè)計、引導(dǎo)與啟發(fā)中不斷觀察、操作與歸納，逐步提升自己在復(fù)雜圖形中的分析能力.