數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)讓數(shù)學(xué)定理的驗(yàn)證創(chuàng)新無(wú)限

龐小訪

[摘 要] 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣以及思維的提升，培養(yǎng)了學(xué)生的觀察與分析能力. 本文以“勾股定理的驗(yàn)證”為例設(shè)計(jì)了幾種數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；創(chuàng)造性思維；勾股定理

《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出“數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)特別是課堂教學(xué)應(yīng)激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維；老師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生積極思考、自主探索、合作交流，學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過(guò)程. ”可看出2011年版的課程標(biāo)準(zhǔn)非常重視培養(yǎng)學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方面有關(guān)合作與交流的學(xué)習(xí)意識(shí)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)就是開(kāi)展學(xué)生合作交流學(xué)習(xí)的有效方法. 一個(gè)好的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)問(wèn)題設(shè)計(jì)在學(xué)生展開(kāi)合作學(xué)習(xí)中起著決定性的作用，它可以引起學(xué)生的興趣，激活學(xué)生的思維，能使學(xué)生在“做當(dāng)中學(xué)數(shù)學(xué)”，體驗(yàn)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣.

本文以北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)“探索勾股定理”為例構(gòu)建數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)“觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證”等活動(dòng)過(guò)程的探索，以動(dòng)手操作的活動(dòng)來(lái)代替枯燥無(wú)味的理論論證，還提供了多種實(shí)驗(yàn)的方法來(lái)提高學(xué)生的思維水平，讓學(xué)生把握勾股定理的各種證明方法. 通過(guò)一系列的數(shù)學(xué)活動(dòng)使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的妙趣，思維的火花也得到點(diǎn)燃. 下面為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)設(shè)計(jì).

實(shí)驗(yàn)探究一：割補(bǔ)法驗(yàn)證勾股定理

在上一節(jié)課中，我們通過(guò)數(shù)格子的方法發(fā)現(xiàn)了勾股定理. 在圖1中，分別以直角三角形的三邊為邊長(zhǎng)向外作正方形，你能利用這個(gè)圖說(shuō)明勾股定理的正確性嗎？有了上節(jié)課的經(jīng)驗(yàn)，大部分學(xué)生都會(huì)通過(guò)對(duì)這個(gè)大正方形進(jìn)行適當(dāng)割補(bǔ)后得到圖2、圖3. （表1）

1. 將所有三角形和正方形的面積用a，b，c的關(guān)系式表示出來(lái)；

2. 圖2、圖3中正方形ABCD的面積分別是多少？你們有哪些表示方式？與同伴交流.

3. 你能分別利用圖2、圖3驗(yàn)證勾股定理嗎？

實(shí)驗(yàn)探究二：通過(guò)拼圖來(lái)驗(yàn)證勾股定理

問(wèn)題1：利用四個(gè)全等的直角三角形通過(guò)拼圖的方式來(lái)驗(yàn)證勾股定理. 如圖4，在一張紙上復(fù)制四個(gè)全等的直角三角形，通過(guò)拼圖的方式來(lái)驗(yàn)證勾股定理. 有哪些方法？并說(shuō)說(shuō)你的方法與上面實(shí)驗(yàn)一的方法之間有什么聯(lián)系與差別.

問(wèn)題2：如圖5，利用兩個(gè)直角邊為a，b的全等直角三角形和一個(gè)直角邊為c的等腰直角三角形來(lái)驗(yàn)證勾股定理.

實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)流程：

1. 首先讓學(xué)生拿出課前準(zhǔn)備好的直角邊長(zhǎng)為a，b的四個(gè)全等直角三角形，讓學(xué)生獨(dú)立思考之后，動(dòng)手拼一拼，設(shè)法得到一個(gè)邊長(zhǎng)為c或者為（a+b）的正方形. 然后再小組交流、討論，形成共識(shí)并對(duì)拼圖結(jié)果進(jìn)行展示，學(xué)生的做法可能大都是如圖6（趙爽弦圖）或圖7所示.

3. 通過(guò)以上拼圖發(fā)現(xiàn)歸納出實(shí)驗(yàn)結(jié)論：通過(guò)構(gòu)造一個(gè)圖形，利用兩種方法計(jì)算該圖形面積，即用等面積法得出直角三角形三條邊的長(zhǎng)a，b，c之間的一個(gè)等式. 同時(shí)也讓學(xué)生明確其實(shí)圖8恰為圖7的一半.

實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)這個(gè)實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)問(wèn)題的理解，通過(guò)拼圖活動(dòng)讓學(xué)生能關(guān)注知識(shí)、方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，建立自主反思意識(shí)，滲透一定的學(xué)法指導(dǎo).

實(shí)驗(yàn)探究三：折紙勾股圖

你能利用一張正方形紙片通過(guò)折紙的方法來(lái)證明勾股定理嗎？

實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)流程：

1. 如圖9所示的正方形紙片，使用鉛筆在正方形紙片ABCD的邊CD上任取一點(diǎn)E，使CE=a，DE=b.

2. 使用直尺和鉛筆連接AC和BD得正方形的中心O，如圖10所示.

3. 作射線EO，交AB于點(diǎn)F，再將E，F(xiàn)兩點(diǎn)重合對(duì)折，折痕為GH，使用直尺和鉛筆加深折痕（其中點(diǎn)G在BC上，點(diǎn)H在AD上），如圖11、圖12所示.

4. 使用直尺和鉛筆連接EH，HF，F(xiàn)G，GE，如圖13所示.

5. 分別過(guò)EH（圖14）、HF（圖15）、FG（圖16）、GE（圖17）折疊即可得到“趙爽弦圖”（圖17）.

6. 在圖18的背面，過(guò)點(diǎn)H作HI⊥BC，垂足為I，過(guò)點(diǎn)F作FJ⊥CD，垂足為J，且FJ交HI于點(diǎn)K.

實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)意圖 這個(gè)實(shí)驗(yàn)難度比較高，在這個(gè)實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中教師要適度地引導(dǎo)、激發(fā)學(xué)生的思維火花，設(shè)計(jì)這個(gè)實(shí)驗(yàn)訓(xùn)練學(xué)生如何應(yīng)用現(xiàn)有的知識(shí)通過(guò)轉(zhuǎn)化思想來(lái)解決新的問(wèn)題，讓學(xué)生通過(guò)自身的參與，提高對(duì)問(wèn)題的理解. 取點(diǎn)的變換、折紙，是希望學(xué)生靈活地把陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題. 第6步實(shí)際上是整節(jié)實(shí)驗(yàn)課的升華，與畢達(dá)哥拉斯的證法相聯(lián)系. 通過(guò)這個(gè)實(shí)驗(yàn)使學(xué)生建立對(duì)知識(shí)、方法的應(yīng)用，提高了學(xué)生思維水平.

課外探索——一般三角形三邊長(zhǎng)是否滿足勾股定理

1. 計(jì)算發(fā)現(xiàn)

在圖20與圖21中，方格紙上每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)均為1，各圖中陰影部分所示的三角形的較短兩邊長(zhǎng)分別記為a，b，最大邊長(zhǎng)記為c，分別計(jì)算圖中a2，b2及c2的值，并填寫(xiě)在表格中.

2. 上機(jī)實(shí)驗(yàn)

請(qǐng)你根據(jù)以上實(shí)驗(yàn)操作提示，任意畫(huà)一個(gè)三角形（要求，頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上），上述發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是否仍然成立？寫(xiě)出你認(rèn)為正確的結(jié)論. （表7）

實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)流程 （1）給學(xué)生演示如何利用Geogebra軟件的功能快速計(jì)算. （2）指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行上機(jī)實(shí)驗(yàn)，并完成實(shí)驗(yàn)報(bào)告.

實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生熟悉Geogebra軟件的操作以及銳角三角形、鈍角三角形三邊長(zhǎng)關(guān)系的結(jié)論.

本實(shí)驗(yàn)是為北師大版《義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)“1.1.2 驗(yàn)證勾股定理”設(shè)計(jì)的. 本實(shí)驗(yàn)首先利用實(shí)驗(yàn)一的割補(bǔ)法思想來(lái)計(jì)算正方形面積，由于采用的算法不同使得正方形面積的代數(shù)表示結(jié)果不同，通過(guò)面積相等這一等量關(guān)系，得到一個(gè)等式，化簡(jiǎn)即可得到勾股定理，感受數(shù)形結(jié)合的思想. 其次，通過(guò)不同的拼圖活動(dòng)，探索畢達(dá)哥拉斯證法和趙爽弦圖法得到勾股定理的古典證法，讓同學(xué)們體會(huì)其中蘊(yùn)涵的數(shù)形結(jié)合思想. 最后通過(guò)利用正方形紙片進(jìn)行折紙活動(dòng)，探究圖形的構(gòu)成，將畢達(dá)哥拉斯證法、趙爽弦圖法和總統(tǒng)證法聯(lián)系起來(lái)，讓同學(xué)們?cè)俅斡H歷驗(yàn)證勾股定理的過(guò)程，進(jìn)一步豐富同學(xué)們的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，使其體驗(yàn)到數(shù)學(xué)活動(dòng)的快樂(lè)、發(fā)展動(dòng)手能力、推理能力，以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，同時(shí)感受勾股定理的文化價(jià)值，掌握勾股定理的古典證法.