基于分段Copula函數(shù)和高斯混合模型的多段線性化概率潮流計(jì)算

江雪辰，袁越，吳涵，徐蘊(yùn)岱，黃阮明，王躍峰

(1. 河海大學(xué)能源與電氣學(xué)院，南京市 211100；2.國網(wǎng)上海市電力公司，上海市 200120；3.中國電力科學(xué)研究院有限公司，北京市 100192)

0 引 言

近年來，為緩解能源危機(jī)、治理環(huán)境污染，以風(fēng)電為代表的可再生能源大規(guī)模集群和高滲透率分散并網(wǎng)，電動(dòng)汽車、儲(chǔ)能等多樣化負(fù)荷的使用也持續(xù)增加，源荷的不確定性給電力系統(tǒng)的安全運(yùn)行帶來巨大挑戰(zhàn)[1-2]。概率潮流(probabilistic power flow, PPF)[3]作為電力系統(tǒng)運(yùn)行分析和決策的重要工具，能夠考慮各種不確定因素。因此，尋找一種能夠適應(yīng)電網(wǎng)新環(huán)境的PPF計(jì)算方法具有重要意義。

準(zhǔn)確建立各類輸入變量的數(shù)學(xué)概率模型是PPF計(jì)算的基礎(chǔ)。針對(duì)含有風(fēng)電場的電力系統(tǒng)，文獻(xiàn)[4]假設(shè)風(fēng)速服從雙參數(shù)威布爾分布，可快速模擬生成風(fēng)速樣本，適用于缺乏實(shí)際數(shù)據(jù)的場景，但直接假定相鄰風(fēng)電場的風(fēng)速相關(guān)性易偏離客觀事實(shí)。已有文獻(xiàn)基于風(fēng)速或風(fēng)功率的實(shí)際歷史數(shù)據(jù)，采用單一Copula函數(shù)建立風(fēng)電相關(guān)性模型[5]，方法簡單但精度有限；為提高建模精度，文獻(xiàn)[6]采用混合Copula函數(shù)建立風(fēng)功率相關(guān)性模型，然而同組風(fēng)電場在不同季節(jié)呈現(xiàn)的相關(guān)性程度是不同的，上述文獻(xiàn)采用一整段長期歷史數(shù)據(jù)構(gòu)建的模型掩蓋了風(fēng)電相依結(jié)構(gòu)的季節(jié)性變化?；诖?，本文提出一種風(fēng)功率分段Copula函數(shù)，既能保證模型的準(zhǔn)確性，又能呈現(xiàn)風(fēng)電的季節(jié)特性。對(duì)于負(fù)荷模型，為簡化計(jì)算通常假定負(fù)荷服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布[4,7]，而實(shí)際負(fù)荷的多樣性導(dǎo)致正態(tài)分布擬合存在較大誤差。文獻(xiàn)[8]通過建立負(fù)荷高斯混合模型(Gaussian mixture model，GMM)，有效擬合具有不對(duì)稱、多峰概率分布特性的負(fù)荷，但人工設(shè)置GMM的子成分個(gè)數(shù)限制了模型結(jié)構(gòu)，且須重復(fù)進(jìn)行擬合度檢驗(yàn)，影響建模效率。因此，本文提出一種改進(jìn)的期望最大化(expectation maximization，EM)算法建立GMM，能夠避免多次的EM計(jì)算和檢驗(yàn)，在保證模型精度的同時(shí)有效提高建模效率。

在準(zhǔn)確構(gòu)建輸入變量的概率模型基礎(chǔ)上采用合適的PPF計(jì)算方法有助于提高計(jì)算精度與效率?，F(xiàn)有PPF求解算法主要包括模擬法[9]、點(diǎn)估計(jì)法[10]及解析法[11-12]，解析法中的半不變量法(cumulant method，CM)在系統(tǒng)基準(zhǔn)運(yùn)行點(diǎn)處對(duì)潮流方程線性化以簡化計(jì)算，提高求解效率，因而被廣泛運(yùn)用，但實(shí)際風(fēng)功率和負(fù)荷波動(dòng)范圍較廣，直接運(yùn)用解析法中線性化模型求解將產(chǎn)生較大的誤差。文獻(xiàn)[11]針對(duì)離散分布的發(fā)電機(jī)注入功率進(jìn)行多點(diǎn)線性化，但其模型缺乏普遍適用性。文獻(xiàn)[12]將風(fēng)電出力分段線性化以減小線性化誤差，但假定風(fēng)速服從相互獨(dú)立的威布爾分布且未計(jì)及實(shí)際負(fù)荷的強(qiáng)波動(dòng)性。因此，現(xiàn)有的PPF算法很難同時(shí)對(duì)變量自身波動(dòng)性和變量間的相關(guān)性進(jìn)行有效處理。

基于上述分析，本文提出一種基于風(fēng)功率的分段Copula函數(shù)和負(fù)荷GMM的多段線性化PPF計(jì)算方法。采用分段Copula函數(shù)對(duì)相鄰風(fēng)電場出力進(jìn)行計(jì)及季節(jié)性變化的相關(guān)性建模；通過改進(jìn)EM算法確定負(fù)荷GMM的子成分個(gè)數(shù)及參數(shù)，快速準(zhǔn)確地建立負(fù)荷GMM?？紤]風(fēng)電與負(fù)荷大范圍波動(dòng)對(duì)PPF計(jì)算精度的影響，在所提模型基礎(chǔ)上，采用計(jì)及相關(guān)性的多段線性化CM進(jìn)行PPF計(jì)算。以蒙特卡羅模擬法(Monte Carlo simulation method，MCSM)計(jì)算結(jié)果為基準(zhǔn)，通過算例仿真證明所提方法計(jì)算準(zhǔn)確且高效。

1 風(fēng)電相關(guān)性模型

Copula理論[13]能夠有效處理非線性、非對(duì)稱等各類相關(guān)性問題，廣泛運(yùn)用于電力系統(tǒng)的新能源出力建模領(lǐng)域。然而，像風(fēng)電、光伏等受氣候影響嚴(yán)重的新能源，其出力具有更加復(fù)雜的時(shí)空相關(guān)性。采用單一Copula函數(shù)難以綜合描述多樣化的相關(guān)性結(jié)構(gòu)，而混合Copula函數(shù)缺乏對(duì)相關(guān)性隨時(shí)間變化的考慮。因此，本文提出采用分段Copula對(duì)相鄰風(fēng)電場出力進(jìn)行計(jì)及季節(jié)性變化的相關(guān)性建模。

假設(shè){Xi,Yi}(i=1,2,…,n)為二維隨機(jī)變量(X,Y)的樣本，分段Copula函數(shù)C(u,v)定義如下：

(1)

式中：u、v分別為隨機(jī)變量X和Y的邊緣分布函數(shù)；Ωk為原始數(shù)據(jù)按四季劃分后的樣本集合；Ik為示性函數(shù)，若{xi,yi|xi∈X,yi∈Y}∈Ωk，Ik=1，否則Ik=0；Ck(u,v,θk,Ωk)為常用的Copula函數(shù)，其類型及參數(shù)θk根據(jù)Ωk計(jì)算選??；k為季節(jié)參數(shù)，k=1、k=2、k=3、k=4分別對(duì)應(yīng)春、夏、秋、冬。

構(gòu)建季節(jié)相關(guān)性模型時(shí)，可采用非參數(shù)核密度估計(jì)法和極大似然估計(jì)分別求解各變量按季節(jié)分段后的邊緣分布uk=F1k(x),vk=F2k(y)和參數(shù)θk，最后采用歐氏距離[14]評(píng)估選取每段的最優(yōu)Copula函數(shù)，組合生成最終的分段Copula函數(shù)。

分段Copula函數(shù)的采樣步驟如下詳述。

(1) 根據(jù)Ck(·)生成N維具有相關(guān)性的隨機(jī)向量Uk=[uk1,uk2,…,ukN]，Vk=[vk1,vk2,…,vkN]；

(2)根據(jù)原始數(shù)據(jù)求得其邊緣分布函數(shù)的逆函數(shù)xki=F1k-1(uki)，yki=F2k-1(vki)，i=1,2,…,N,進(jìn)而獲得4N組滿足季節(jié)相關(guān)性和邊緣分布的隨機(jī)變量樣本{X’,Y’}，其中X’=[x11,…,x1N,x21,…,x2N,…,x41,…,x4N]T，Y’=[y11,…,y1N,y21,…,y2N,…,y41,…,y4N]T。

分段Copula模型能夠準(zhǔn)確描繪風(fēng)電相關(guān)性的季節(jié)變化特征，并且當(dāng)已知分段Copula函數(shù)和某一風(fēng)電場出力數(shù)據(jù)時(shí)，在條件概率下進(jìn)行分層抽樣可獲取相鄰風(fēng)電場的季度、年度出力。該模型可推廣至其他受氣候影響顯著的可再生能源領(lǐng)域。

2 負(fù)荷GMM

2.1 GMM

負(fù)荷的多樣性導(dǎo)致其分布難以用簡單的正態(tài)分布準(zhǔn)確擬合，因此本文選用不受分布類型約束的GMM擬合[15]。一維隨機(jī)變量x的GMM表達(dá)式fG(x)為

(2)

2.2 基于改進(jìn)K-means聚類的EM優(yōu)化算法

通常須循環(huán)采用EM算法[8]求解不同n值下的GMM參數(shù)，并通過比較擬合度來選取最佳GMM，過程繁瑣。因此，為了提高建模效率，本文引進(jìn)聚類有效性指標(biāo)DB(-)[16]，提出一種基于改進(jìn)K-means聚類的EM優(yōu)化算法，主要步驟如下詳述。

(1)初始優(yōu)化?？紤]后續(xù)建模速度，設(shè)置高斯子成分個(gè)數(shù)n的取值范圍為2～10。在該范圍內(nèi)采用K-means算法循環(huán)計(jì)算不同n值下的聚類結(jié)果及其DB(-)指標(biāo)，選擇DB(-)最小值對(duì)應(yīng)的n值作為最終GMM的子成分個(gè)數(shù)。各子成分的權(quán)重、期望和標(biāo)準(zhǔn)差初值則由該n值下的聚類結(jié)果決定。

(2)E-步。計(jì)算樣本容量為NL的原始數(shù)據(jù)xi(i=1,2,…,NL)由第k個(gè)子成分生成的概率p(i,k)：

(3)

(3)M-步。更新GMM各子成分的權(quán)重、期望和標(biāo)準(zhǔn)差：

(4)

(5)

(6)

(4)收斂性判斷。計(jì)算GMM的最大對(duì)數(shù)似然函數(shù)式L：

(7)

若式(7)收斂，計(jì)算結(jié)束；否則，重復(fù)迭代E-步和M-步。文獻(xiàn)[17]已證明DB(-)指標(biāo)適合作為電力負(fù)荷曲線聚類的有效性指標(biāo)。因此，上述改進(jìn)的EM算法適用于負(fù)荷GMM的建立。

3 基于分段Copula函數(shù)和GMM的概率潮流計(jì)算方法

3.1 半不變量法概率潮流

傳統(tǒng)CM在輸入變量相互獨(dú)立的前提下，借助線性交流模型獲得輸出變量的概率分布特性。在確定性潮流所求基準(zhǔn)點(diǎn)處對(duì)其進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開，忽略2次及以上的高階項(xiàng)，得到線性化潮流方程：

(8)

式中：X、Z分別為節(jié)點(diǎn)狀態(tài)變量和支路狀態(tài)變量；X0、Z0分別為基準(zhǔn)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)狀態(tài)變量和支路狀態(tài)變量；ΔW為節(jié)點(diǎn)注入功率變化量；J0為基準(zhǔn)運(yùn)行點(diǎn)的雅克比矩陣；G0為支路潮流對(duì)節(jié)點(diǎn)電壓的偏導(dǎo)；S0、T0為靈敏度矩陣。

為方便求得狀態(tài)變量的概率分布，在式(8)的基礎(chǔ)上將變量間復(fù)雜的卷積運(yùn)算轉(zhuǎn)換為半不變量的計(jì)算：

(9)

傳統(tǒng)CM未計(jì)及輸入變量的相關(guān)性，并且當(dāng)輸入變量波動(dòng)范圍較大時(shí)，單點(diǎn)線性化的傳統(tǒng)CM會(huì)產(chǎn)生較大的誤差，而本文通過分段Copula函數(shù)和GMM分別獲得了具有相關(guān)性的風(fēng)功率樣本和大范圍波動(dòng)的負(fù)荷樣本，傳統(tǒng)CM不再適用，因此引入一種計(jì)及相關(guān)性的多段線性化處理方法。

3.2 潮流方程的多段線性化處理

根據(jù)輸入變量的波動(dòng)范圍進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆侄?，選取合適的基準(zhǔn)點(diǎn)并在各段基準(zhǔn)點(diǎn)處對(duì)潮流方程線性化。此處以實(shí)際負(fù)荷GMM為例進(jìn)行說明，具體處理步驟如下詳述。

(1)假設(shè)k為某一實(shí)際負(fù)荷節(jié)點(diǎn)，依據(jù)其功率波動(dòng)范圍合理均分為m段：Wk0～Wk1、Wk1～Wk2、…、Wk(m-1)～Wkm，其中Wki為功率波動(dòng)區(qū)間的起止值，設(shè)各段功率期望值為Ek1，Ek2，…，Ekm；標(biāo)準(zhǔn)算例其他n-1個(gè)節(jié)點(diǎn)注入功率的期望分別為E1，E2，…，Ek-1，Ek+1，…，En。

(2)求系統(tǒng)m段的運(yùn)行點(diǎn)At(t=1,2,…,m)。

At=(E1,…,Ek-1,Ekt,Ek+1,…,En)

(10)

式中Ekt為實(shí)際負(fù)荷節(jié)點(diǎn)的m段期望值。

此處除實(shí)際負(fù)荷節(jié)點(diǎn)外其他節(jié)點(diǎn)期望值不變。

(3)將潮流方程在At處線性化，得到：

ΔX=StΔW

(11)

式中St為確定性潮流在At處所得靈敏度矩陣。

當(dāng)實(shí)際負(fù)荷注入功率在第t段期望值附近波動(dòng)，其變化量ΔWk對(duì)狀態(tài)量變化量ΔXi具有一定的影響，影響系數(shù)S0ik根據(jù)St求得，潮流方程展開如下：

ΔXi=S0i1ΔW1+…+S0i(k-1)ΔWk-1+StikΔWk+

S0i(k+1)ΔWk+1+…+S0inΔWn

(12)

以上是以節(jié)點(diǎn)電壓為例分析，支路潮流與節(jié)點(diǎn)注入量的線性關(guān)系類似。對(duì)于功率波動(dòng)范圍較大的實(shí)際負(fù)荷節(jié)點(diǎn)或者風(fēng)電場，一次只考慮單個(gè)變量的注入功率變化，其余變量按期望值進(jìn)行計(jì)算。

多段線性化處理破壞了狀態(tài)變量與輸入變量的各階半不變量的齊次性，不能簡單地根據(jù)式(9)計(jì)算，須進(jìn)行修正[11-12]，修正方法如下詳述。

假設(shè)隨機(jī)變量Q與R之間存在如下的分段線性關(guān)系，本文即指狀態(tài)變量與輸入變量的分段線性化潮流方程：

Q=aR+b

(13)

R∈[r0,rm]。a、b取值：

(14)

(15)

(16)

根據(jù)式(16)，即可遞推依次得到系統(tǒng)多段線性化后隨機(jī)變量Q的k階半不變量κk：

(17)

3.3 隨機(jī)變量的相關(guān)性處理

由于本文風(fēng)功率具有相關(guān)性，不滿足半不變量可加性的前提，因此在多段線性化CM計(jì)算前必須進(jìn)行相關(guān)性處理,將具有相關(guān)性的輸入變量轉(zhuǎn)化為互不相關(guān)的變量。在式(8)的基礎(chǔ)上得到某一分段t下的表達(dá)式：

(18)

式中：ΔX(t)、ΔZ(t)分別為第t段的節(jié)點(diǎn)狀態(tài)變量變化量和支路狀態(tài)變量變化量；S0(t)、T0(t)分別為第t段的節(jié)點(diǎn)靈敏度矩陣；ΔW(t)為第t段的風(fēng)電注入功率變化量；σ(t)為ΔW(t)的標(biāo)準(zhǔn)差；ΔW*(t)為ΔW(t)標(biāo)準(zhǔn)化后得到的風(fēng)功率變化量。

(19)

(20)

根據(jù)式(18)—(20)，對(duì)某一分段t下靈敏度矩陣S0(t)進(jìn)行修正：

(21)

式中S1(t)、T1(t)為第t段的靈敏度矩陣修正值。

對(duì)于多個(gè)風(fēng)電和負(fù)荷波動(dòng)因素，相關(guān)性處理后利用半不變量的可加性，將單個(gè)波動(dòng)因素影響下的結(jié)果疊加即可求解最終狀態(tài)變量的各階半不變量[12]。本文引入C型Gram-Charlier級(jí)數(shù)展開擬合狀態(tài)變量的概率分布，有效避免概率密度函數(shù)(probability density function，PDF)出現(xiàn)負(fù)值，加快級(jí)數(shù)收斂。

3.4 算法流程

本文基于風(fēng)功率的季節(jié)相關(guān)性模型和負(fù)荷GMM，采用多段線化求解PPF，具體流程如圖1所示。

圖1 基于分段Copula函數(shù)和GMM的PPF計(jì)算流程Fig.1 Flow chart of PPF calculation based on piecewise Copula and Gaussian mixture model

4 算例分析

4.1 算例說明

采用改進(jìn)的IEEE 14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)驗(yàn)證本文所提風(fēng)電和負(fù)荷模型的準(zhǔn)確性并說明不確定性對(duì)系統(tǒng)運(yùn)行的影響。針對(duì)IEEE 14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)作如下改動(dòng)：將某地區(qū)額定容量為20 MV·A的2個(gè)相鄰風(fēng)電場A和B分別接入原系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)13、14；以實(shí)際負(fù)荷節(jié)點(diǎn)K、M替代原系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)7、13。系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖如附錄圖A1所示，根據(jù)2013年的實(shí)際風(fēng)功率和負(fù)荷數(shù)據(jù)進(jìn)行算例分析。

4.2 模型驗(yàn)證

4.2.1風(fēng)功率相關(guān)性模型

對(duì)風(fēng)電場A和B的風(fēng)功率進(jìn)行季節(jié)性分段，按照1.2節(jié)所述最終選取的各段Copula函數(shù)及其參數(shù)見表1，其中各段具體參數(shù)見附錄表A1。

表1 各季節(jié)最佳Copula函數(shù)及其參數(shù)Table 1 The best Copula and its parameters for each season

注：季節(jié)1～4依次為春、夏、秋、冬。

單一Copula函數(shù)及其參數(shù)見附錄表A2。由附錄表A2可知，采用單一Copula函數(shù)建模時(shí)，t-Copula函數(shù)的擬合效果最好，對(duì)應(yīng)的歐氏距離為2.051 7，秩相關(guān)系數(shù)為0.686 8，而分段Copula函數(shù)的歐氏距離之和僅為1.843 7；進(jìn)一步，將風(fēng)電場A的模擬數(shù)據(jù)和實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖2所示。由圖2可知，分段Copula函數(shù)擬合原始數(shù)據(jù)的效果優(yōu)于單一t-Copula函數(shù)。

圖2 風(fēng)電場A出力概率密度曲線Fig.2 PDF of wind power output

由分段Copula函數(shù)的選取種類可知，僅秋季風(fēng)功率的相關(guān)性符合對(duì)稱厚尾的t-Copula函數(shù)結(jié)構(gòu)，其余季節(jié)風(fēng)電出力存在著上尾獨(dú)立性，僅憑單一t-Copula函數(shù)無法描述。此外，由秩相關(guān)系數(shù)結(jié)果可知，春、秋、冬三季風(fēng)電呈顯著相關(guān)，夏季風(fēng)電呈低度相關(guān)，而單一t-Copula函數(shù)強(qiáng)化了夏季風(fēng)電相關(guān)性，高估了2個(gè)風(fēng)電場間的相互影響。

4.2.2負(fù)荷GMM

通過2.2節(jié)所述方法建立節(jié)點(diǎn)7、13的負(fù)荷有功GMM，其高斯子成分個(gè)數(shù)按照附表A3所示的聚類結(jié)果設(shè)為3和5，各子成分參數(shù)見表2。

表2 有功負(fù)荷的GMM參數(shù)Table 2 GMM parameters of the active power load

負(fù)荷有功功率模擬樣本和實(shí)際數(shù)據(jù)的PDF曲線如圖3所示。由圖3可知，2組數(shù)據(jù)總體擬合良好；經(jīng)計(jì)算，模擬樣本與實(shí)際數(shù)據(jù)的期望值誤差小于0.03%，標(biāo)準(zhǔn)差誤差不超過1.2%；此外，基于改進(jìn)K-means聚類的EM算法平均耗時(shí)為6.232 2 s，而傳統(tǒng)EM算法平均耗時(shí)29.941 9 s。因此，本文所建負(fù)荷GMM具有較高精度，且建模過程只需進(jìn)行1次聚類檢驗(yàn)和1次EM計(jì)算，提升了建模效率。

圖3 有功負(fù)荷概率密度曲線Fig.3 PDF of active load

4.3 算法性能測試

在上述模型的基礎(chǔ)上，采用本文所提算法對(duì)改進(jìn)后的IEEE 14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析。假設(shè)除負(fù)荷節(jié)點(diǎn)7、13外，其余節(jié)點(diǎn)負(fù)荷均服從正態(tài)分布，以原系統(tǒng)數(shù)據(jù)作為期望值，標(biāo)準(zhǔn)差為期望值的10%，本文暫不考慮節(jié)點(diǎn)負(fù)荷之間的相關(guān)性。

利用風(fēng)功率分段Copula模型和負(fù)荷GMM分別生成樣本容量為30 000的風(fēng)功率樣本和負(fù)荷樣本，并將風(fēng)功率樣本分為2段，負(fù)荷樣本分為6段。

以30 000次MCSM所得的PPF結(jié)果作為基準(zhǔn)，常規(guī)CM計(jì)算的PPF結(jié)果作為對(duì)比，采用狀態(tài)變量期望值和標(biāo)準(zhǔn)差的相對(duì)誤差指標(biāo)[5]來衡量本文所提方法和常規(guī)CM方法的準(zhǔn)確程度，結(jié)果見表3、4。

由表3、4可知，采用常規(guī)CM所得狀態(tài)變量數(shù)字特征的相對(duì)誤差指標(biāo)的平均值最大為 22.010 5%，最大值最大為38.488 9%，而采用本文算法的相應(yīng)結(jié)果分別為2.564 0%和8.498 4%，誤差明顯縮小。采用本文所提算法進(jìn)行PPF計(jì)算平均耗時(shí)為15.18 s，而采用MCSM平均耗時(shí)1 687.36 s。由此說明在相同輸入條件下，采用本文所提算法計(jì)算PPF更加準(zhǔn)確、快速。

表3 本文方法與MCSM的狀態(tài)變量數(shù)字特征的相對(duì)誤差Table 3 The relative error of the digital characteristic of the state variables between proposed method and MCSM

表4 常規(guī)CM與MCSM的狀態(tài)變量數(shù)字特征的相對(duì)誤差Table 4 The relative error of the digital characteristic of the state variables between normal CM and MCSM

為進(jìn)一步說明風(fēng)功率相關(guān)性模型、負(fù)荷GMM模型以及本文算法的適用性和準(zhǔn)確性，設(shè)置5種運(yùn)行場景進(jìn)行分析比較，如下詳述。

場景一：考慮風(fēng)功率分段Copula相關(guān)性模型和負(fù)荷GMM，采用MCSM進(jìn)行PPF計(jì)算。

場景二：考慮風(fēng)功率分段Copula相關(guān)性模型和負(fù)荷GMM，采用常規(guī)CM進(jìn)行PPF計(jì)算。

場景三：考慮風(fēng)功率分段Copula相關(guān)性模型和負(fù)荷GMM，采用本文所提算法進(jìn)行PPF計(jì)算。

場景四：考慮風(fēng)功率實(shí)際歷史數(shù)據(jù)和實(shí)際負(fù)荷數(shù)據(jù)，采用本文所提算法進(jìn)行PPF計(jì)算。

場景五：考慮風(fēng)功率單一t-Copula相關(guān)性模型和負(fù)荷正態(tài)分布的簡化模型，采用本文所提算法進(jìn)行PPF計(jì)算。

以節(jié)點(diǎn)14電壓幅值和支路6—12有功功率的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比說明，結(jié)果如圖4、5所示。

根據(jù)圖4、5，對(duì)比場景一、場景二和場景三，采用相同風(fēng)功率分段Copula相關(guān)性模型和負(fù)荷GMM，本文所提算法與MCSM所得曲線相似性較高，而常規(guī)CM與MCSM所得曲線偏差較大，說明在風(fēng)功率和負(fù)荷波動(dòng)范圍較大時(shí)，采用本文算法計(jì)算PPF結(jié)果更加準(zhǔn)確；對(duì)比場景三、場景四和場景五，同樣采用本文所提算法，基于本文所述風(fēng)功率及負(fù)荷模型的PPF結(jié)果，與實(shí)際數(shù)據(jù)計(jì)算所得PDF曲線幾乎重合，而場景五采用簡化模型計(jì)算的PDF曲線與場景三、場景四的偏差較大，再次驗(yàn)證采用本文所述模型刻畫風(fēng)功率相關(guān)性和負(fù)荷波動(dòng)更加準(zhǔn)確。

圖4 節(jié)點(diǎn)14電壓幅值概率密度曲線Fig.4 PDF of voltage magnitude at node 14

圖5 支路6—12有功功率概率密度曲線Fig.5 PDF of active power on branch 6-12

此外，采用常規(guī)CM的場景二和采用簡化模型的場景五中，節(jié)點(diǎn)電壓高低壓段和支路有功功率高值段的越界概率被低估，而支路有功功率低值段的越界概率被高估。模型和算法的誤差都會(huì)影響最終PPF計(jì)算的準(zhǔn)確性，造成系統(tǒng)運(yùn)行風(fēng)險(xiǎn)的誤判，從而導(dǎo)致運(yùn)行和規(guī)劃人員決策失誤。

5 結(jié) 論

本文提出一種基于風(fēng)功率分段Copula模型和負(fù)荷GMM的多段線性化PPF計(jì)算方法。理論和算例表明：

(1)分段Copula模型能夠清晰地描述風(fēng)電出力在不同季節(jié)的相關(guān)結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確模擬相鄰風(fēng)電場的季度、年度出力；

(2)采用改進(jìn)K-means聚類的EM優(yōu)化算法能夠快速準(zhǔn)確地求解GMM的子成分個(gè)數(shù)及其參數(shù)，在保證模型精度的同時(shí)提高了建模效率；

(3)在獲得準(zhǔn)確的風(fēng)電和負(fù)荷數(shù)據(jù)后，采用Cholesky分解解決CM中的風(fēng)功率相關(guān)性問題并對(duì)潮流方程進(jìn)行多段線性化處理，有效降低了風(fēng)功率與負(fù)荷的大范圍波動(dòng)造成的PPF計(jì)算誤差，快速求解的同時(shí)，明顯提高了計(jì)算精度；

(4) 本文算法綜合考慮了輸入隨機(jī)變量的相關(guān)性和波動(dòng)性，能夠快速準(zhǔn)確地揭示系統(tǒng)運(yùn)行中的薄弱環(huán)節(jié)和潛在風(fēng)險(xiǎn)，為電網(wǎng)運(yùn)行和規(guī)劃提供有效的參考指標(biāo)，在大規(guī)模風(fēng)電等新能源并網(wǎng)的電力系統(tǒng)中具有良好的工程應(yīng)用價(jià)值。