非線性耦合的非局部擴(kuò)散系統(tǒng)的臨界曲面

楊麗麗，李中平

(西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充 637009)

0 引 言

在這篇文章中，我們研究了以下非局部擴(kuò)散系統(tǒng)的柯西問題，其初值

(1)

u(x,0)=u0(x),v(x,0)=v0(x),w(x,0)=w0(x),x∈RN,

(2)

其中p,q,r>1,J∈Cc(RN)是具有緊支集且單位可積的非負(fù)函數(shù)。*表示RN內(nèi)的卷積，u0,v0,w0都是非負(fù)有界的非平凡函數(shù)。

由文獻(xiàn)[1]可知，柯西問題(1)(2)可以表示三個(gè)相互影響的非局部擴(kuò)散系統(tǒng)，其中u,v,w表示三個(gè)不同生物種群各自的密度,J(x,y)可以表示種群從x到y(tǒng)的遷移密度分布。由文獻(xiàn)[2]可知

(3)

(4)

他們證明了柯西問題(4)與經(jīng)典半熱性熱方程的柯西問題

(5)

關(guān)于Fujita對(duì)臨界指標(biāo)的研究起源于文獻(xiàn)[4]，而Lee和Ni在文獻(xiàn)[5]中得出了區(qū)分柯西問題(5)的全局解與爆破解的臨界初值。也即對(duì)于柯西問題(5)，在p>pc這種情況下，如果令u0(x)～x-a,x→，那么對(duì)于及0

在文獻(xiàn)[6]中，Escobedo和Herrero已經(jīng)研究過耦合熱方程組的柯西問題

(6)

(1)如果1

(2)如果pq>pqc，其全局解和爆破解都有可能存在。

在文獻(xiàn)[8]中，Renclawowicz研究了柯西問題

(7)

其中

u(x,0)=u0(x)，v(x,0)=v0(x)，w(x,0)=w0(x)，x∈RN,

(8)

他得到以下結(jié)論：

(1)當(dāng)1

(2)當(dāng)pqr>(pqr)c時(shí)，柯西問題(7)(8)的全局解與爆破解都有可能存在。

在文獻(xiàn)[9]中，Yang研究了柯西問題

(9)

其中p,q>1，他證明了如下結(jié)論：

(1)當(dāng)1

(2)當(dāng)pq>(pq)c時(shí)，柯西問題(9)的全局解和爆破解都有可能存在。

Ia={φx∈CbRN|φx≥0,liminfx→xaφx>0}，

Ia={φx∈CbRN|φx≥0,limsupx→xaφx<},

受以上研究的啟發(fā)，我們研究了柯西問題(1)(2)并給出如下結(jié)論。

定理1 柯西問題(1)(2)的Fujita臨界曲面是

也就是說，當(dāng)1(pqr)c時(shí)，在合適的初值條件下，柯西問題(1)(2)既存在全局解也存在爆破解。

在柯西問題(1)(2)中，令

設(shè)(a0,b0,c0)T是(A-I)X=2,2,2T的解，則有

其中det(A-I)=pqr-1，也即得到柯西問題(1)(2)的第二臨界曲面。即有下面結(jié)論：

定理2 假設(shè)u0x=λβx,v0x=μφx,w0x=ντx,x∈RN都是非負(fù)非平凡初值。若pqr>pqrc,則(1)當(dāng)a>a0,b>b0,c>c0,β∈Ia,φ∈Ib,τ∈Ic且λ,μ,ν都足夠小時(shí)，柯西問題(1)(2)存在一個(gè)全局解；(2)當(dāng)0

1 Fujita臨界曲面

在這一節(jié)，我們將證明與Fujita臨界曲面有關(guān)的定理1。

然后在Q∶=RN×0,上對(duì)(1)中第一個(gè)式子的兩邊同時(shí)乘以αRβR，再作積分得

(10)

(11)

其中C是R中的非負(fù)常數(shù)，利用分部積分法得

(12)

利用Fubini定理，(10)式右邊的第二個(gè)式子可化為

(13)

再由ex≥1+x,有

又因?yàn)镴是徑向?qū)ΨQ的，所以

(14)

那么(J*αR-αR)≥-AJR-2αRx。因而

(15)

(16)

同理可得

將以上兩式代入(16)的右邊，再結(jié)合Young不等式可得

(17)

化簡后，有

若1

若pqr=1+2max{pq+p+1,qr+q+1,pr+r+1}/N=1+2(pq+p+1)/N,令R→，有

(18)

為了研究這種臨界情況，我們構(gòu)造函數(shù)ψ(x)∈D(B2),且當(dāng)x∈B1時(shí),ψ≡1。 定義

用(1)中的第一個(gè)式子乘以ψR(shí)(x)βR(t)，再在Q上作積分，

(19)

又由(11)知

(20)

結(jié)合泰勒公式，可得

其中0≤θ≤1,再結(jié)合(14)式有

令R→,則

(21)

(22)

同理可得

(23)

及

(24)

又因?yàn)閜qr=1+2pq+p+1/N，則有

結(jié)合(18)，令R→，有

也即v=0，這與假設(shè)矛盾。第二種臨界情況由定理1.2推理而得，在下一小節(jié)會(huì)給出詳細(xì)的說明。

2 第二臨界曲面

第二臨界曲面是在pqr>pqrc這種情況下，用來區(qū)分全局解與爆破解在空間中的初值衰減速率的臨界值。我們?cè)谧C明與第二臨界曲面有關(guān)的定理2前，由文獻(xiàn)[12]，可以給出如下引理。

引理1 假設(shè)a∈(0，N)，γ(x)∈Ia，則

(25)

(26)

其中W在(3)中已經(jīng)被定義過了，C>0僅與N,J有關(guān)，且

L(RN)={φ∈L(RN)|‖φφ‖L<}。

定理2的證明(1)當(dāng)a0a1,c1q-2>b1,a1r-2>c1，顯然有u0∈Ia1,v0∈Ib1,w0∈Ic1.由文獻(xiàn)[12]，我們可以構(gòu)造Banach空間

其中

且(u,v,w)∈X。由文獻(xiàn)[12]可知，‖W‖L1RN=1-e-t，再結(jié)合(25)及b1p-2>a1，得

又因?yàn)?/p>

所以

(27)

其右邊的第一個(gè)式子由引理1得到。因?yàn)閎1p-2>a1，那么結(jié)合X的定義及(26)，有

所以

(28)

由以上類似討論可得

再結(jié)合(27)和(28)，有

(2)不失一般性，設(shè)a∈(0,a0),u0∈Ia，則存在一個(gè)R0，使得對(duì)任意的x≥R0，都有u0≥Cx-a成立。為了構(gòu)造矛盾，設(shè)柯西問題(1),(2)存在一個(gè)非負(fù)非平凡全局解(u,v,w)，結(jié)合(17) 及Young不等式可知

即對(duì)任意的R≥0，都有

成立。那么1≥CRN-a0，令R→得到矛盾。