主動懸架有限頻域H∞時(shí)滯控制參數(shù)影響分析及優(yōu)化

張進(jìn)秋， 王興野， 賈進(jìn)峰， 孫宜權(quán)， 李欣

(陸軍裝甲兵學(xué)院 車輛工程系, 北京 100072)

0 引言

良好的懸架系統(tǒng)對于提高軍用越野車輛的乘坐舒適性和越野機(jī)動性具有重要意義，與傳統(tǒng)被動懸架和半主動懸架相比，主動懸架能夠根據(jù)路面情況對車體振動進(jìn)行主動控制，因此能夠更好地抑制不平路面?zhèn)鬟f到車體的振動，是未來車輛懸架發(fā)展方向[1-4]。由于傳感器信號的采集、控制力的求解計(jì)算和作動器的機(jī)械響應(yīng)等原因，時(shí)滯現(xiàn)象在主動控制過程中是必然存在的，而其中又以作動器機(jī)械響應(yīng)導(dǎo)致的時(shí)滯為主。相關(guān)研究表明[5-6]，時(shí)滯不僅會惡化主動控制的控制效果，而且有可能造成系統(tǒng)失穩(wěn)，因此，在控制算法設(shè)計(jì)過程中考慮控制輸入的時(shí)滯問題對于提高控制的實(shí)際效果是十分必要的。

國內(nèi)外學(xué)者對于時(shí)滯的控制問題進(jìn)行了廣泛而深入的研究，提出了大量控制方法，如Smith預(yù)估控制、自適應(yīng)控制、預(yù)測控制、滑模變結(jié)構(gòu)控制、魯棒控制、模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制以及它們之間通過相互組合形成的各種改進(jìn)控制等[7-15]。其中，魯棒控制雖然具有較為優(yōu)異的控制性能，但由于計(jì)算復(fù)雜，限制了其廣泛應(yīng)用。近年來，隨著有關(guān)線性矩陣不等式(LMI)理論的提出，魯棒H∞控制算法的設(shè)計(jì)與計(jì)算被大大簡化，使之成為一種更為實(shí)用的控制方法。此外，H∞控制算法還是一種有效的頻域控制方法[16-18]，可針對人體敏感的4～8 Hz頻段內(nèi)振動進(jìn)行控制算法的優(yōu)化設(shè)計(jì)，因此成為當(dāng)前研究的一個(gè)熱點(diǎn)。文獻(xiàn)[19]對基于狀態(tài)反饋的有限頻域H∞控制算法進(jìn)行了設(shè)計(jì)與性能研究，文獻(xiàn)[20-21]和文獻(xiàn)[22]則進(jìn)一步分別對基于輸出反饋和時(shí)變時(shí)滯的H∞控制算法進(jìn)行了理論推導(dǎo)與試驗(yàn)驗(yàn)證。但是在實(shí)際應(yīng)用過程中發(fā)現(xiàn)，利用文獻(xiàn)[19-22]中所使用的可調(diào)參數(shù)取值進(jìn)行控制算法求解時(shí)，得到的解并不是最優(yōu)解，有的甚至?xí)霈F(xiàn)沒有可行解的問題。針對這個(gè)問題，本文首先利用文獻(xiàn)[19]中的方法提出考慮控制輸入時(shí)滯的有限頻域H∞控制算法，然后在確定可調(diào)參數(shù)取值范圍的基礎(chǔ)上分析控制參數(shù)變化對最優(yōu)解求解的影響，并利用遺傳算法優(yōu)化得到使控制算法有最優(yōu)解的可調(diào)參數(shù)最優(yōu)取值，最后通過數(shù)值計(jì)算與仿真對控制算法的性能進(jìn)行頻域和時(shí)域分析。

1 時(shí)滯系統(tǒng)模型

考慮如圖1所示的2自由度1/4車輛主動懸架模型，可得到懸架模型的動力學(xué)方程為

(1)

式中：ms為車體質(zhì)量；mt為車輪質(zhì)量；ks和kt分別為懸架剛度和車輪剛度；cs為作動器機(jī)械阻尼系數(shù)；F為主動控制力；xr為路面不平位移；xs和xt分別為車體垂直位移和車輪垂直位移。具體參數(shù)設(shè)置見表1.

表1 懸架模型參數(shù)

懸架系統(tǒng)控制的目標(biāo)是要在滿足懸架動行程不超過最大許用行程xstmax、車輪與地面保持良好接觸和振動控制力小于作動器最大控制力Fmax等條件的約束下，使懸架對外界擾動的抑制能力最好。根據(jù)以上控制目標(biāo)和約束條件，可選取系統(tǒng)的狀態(tài)變量x(t)、系統(tǒng)的目標(biāo)輸出變量z1(t)和約束輸出變量z2(t)分別為

式中：t為車輛行駛時(shí)間；g為重力加速度。

考慮系統(tǒng)的控制時(shí)滯為τ>0，則(1)式所示懸架控制系統(tǒng)可轉(zhuǎn)化為如下狀態(tài)空間：

(2)

式中：

2 考慮時(shí)滯的有限頻域H∞控制算法設(shè)計(jì)及控制參數(shù)影響分析

2.1 考慮時(shí)滯的有限頻域H∞控制算法設(shè)計(jì)

以(2)式所對應(yīng)的時(shí)滯系統(tǒng)為研究對象，系統(tǒng)中一個(gè)考慮控制輸入時(shí)滯的有限頻域H∞控制算法可按照以下方法設(shè)計(jì)。

定理對于給定的正數(shù)γ、α、β1、β2、ρ，如果存在對稱矩陣P>0，P1>0，P2>0，S1>0，S2>0，R1>0，R2>0，Q>0，以及任意矩陣K和Y滿足不等式(3)式～(5)式：

(3)

(4)

(5)

定理的具體證明過程可參考文獻(xiàn)[19]，從其證明過程中可知，控制算法求解時(shí)，參數(shù)ρ的取值決定了控制算法所能適應(yīng)的wmax，而參數(shù)α、β1、β2的主要作用則是通過調(diào)整它們的取值使LMI有可行解。進(jìn)行控制算法設(shè)計(jì)時(shí)，通常應(yīng)首先確定所針對的wmax，即wmax近似為1個(gè)固定值，雖然參數(shù)α、β1、β2在不同取值條件下求得的γ2值是1個(gè)變化量，但是通過不同取值測試發(fā)現(xiàn)，其最小值都在同一數(shù)量級的較小范圍內(nèi)變化，以時(shí)滯τ=5 ms時(shí)的求解為例，γ的最小值基本在3左右變化。為了使針對的wmax值近似為1個(gè)固定值，此時(shí)參數(shù)ρ取固定值0.16，因此需要優(yōu)化的可調(diào)控制參數(shù)主要就是α、β1、β2.

2.2 控制參數(shù)影響分析

要分析控制參數(shù)α、β1、β2取值變化對求解值的影響，需要考慮兩個(gè)方面的問題：一是得到使控制算法有可行解的參數(shù)最大取值范圍；二是分析參數(shù)在取值范圍內(nèi)變化時(shí)，求解的最小值變化是否有一定規(guī)律。經(jīng)過不同取值后的求解計(jì)算，得到使控制算法有可行解的3個(gè)參數(shù)變化范圍分別為α∈[0.1，200]，β1∈[0.01，0.2]，β2∈[0.8，200].

固定α、β1、β2中的1個(gè)參數(shù)，使另外2個(gè)參數(shù)在各自的取值范圍內(nèi)變化，分析參數(shù)變化對γ最小值的影響，參數(shù)的初始取值為α=50，β1=0.1，β2=10，求解的結(jié)果如圖2所示。從圖2(a)中可以看出，當(dāng)β2=10固定不變時(shí)，在α=94.790，β1=0.116情況下，γ最小值為2.673；從圖2(b)中可以看出，當(dāng)α=50固定不變時(shí)，在β1=0.147 4，β2=11.284情況下，γ最小值為2.698；從圖2(c)中可以看出，當(dāng)β1=0.1固定不變時(shí)，在α=157.916，β2=11.284情況下，γ最小值為2.731. 從上述數(shù)據(jù)可以看出，當(dāng)固定3個(gè)參數(shù)中的1個(gè)、變換另外2個(gè)參數(shù)時(shí)，γ最小解對應(yīng)的某1個(gè)參數(shù)值并不都相同，且與該參數(shù)的取值范圍差距可能較大，即并不是在某一較小范圍內(nèi)使γ有最小解，最終求解的γ最小值與3個(gè)參數(shù)的取值組合有很大關(guān)系。

3 基于遺傳算法的控制算法優(yōu)化設(shè)計(jì)

由于控制參數(shù)不同的取值組合會導(dǎo)致求解結(jié)果有較大變化，如果單純依靠經(jīng)驗(yàn)來調(diào)試和確定各個(gè)參數(shù)的取值，不僅要耗費(fèi)大量時(shí)間，而且也很難找到真正的最優(yōu)解。因此，考慮引入擁有較強(qiáng)全局優(yōu)化能力和并行搜索能力的遺傳算法來改進(jìn)控制算法的設(shè)計(jì)，以找到一組性能最佳的控制參數(shù)，具體過程如下。

1)染色體編碼與種群生成。染色體編碼采用實(shí)數(shù)編碼方式，以控制參數(shù)作為染色體的3個(gè)可調(diào)變量，則可將其表示為Ch=(α,β1,β2). 初始種群的創(chuàng)建采用可行種群，種群規(guī)模設(shè)置為N=100.

2)適應(yīng)度函數(shù)與適應(yīng)值縮放。適應(yīng)度函數(shù)可直接取為Fitness=γ(Ch)，適應(yīng)值縮放采用排序方法。

3)選擇、交叉與變異。選擇算子采用競爭方法，每次選擇時(shí)隨機(jī)地從種群中選出nc個(gè)染色體(nc

交叉算子采用單點(diǎn)交叉方法。

變異算子采用均勻策略，使搜索點(diǎn)在整個(gè)搜索空間中隨機(jī)自由移動，從而增加種群的多樣性。

4)遷移。遷移算子支持在多個(gè)子種群中交換個(gè)體，某一子種群中的最優(yōu)個(gè)體間隔一定的代數(shù)代替另一子種群中的最差個(gè)體。與單種群遺傳算法相比，支持多子種群中個(gè)體遷移的遺傳算法能夠在大多數(shù)情況下改善算法的優(yōu)化性能。遷移算子的3個(gè)控制參數(shù)分別設(shè)置如下：遷移方向選擇向前遷移，即只能從n代子種群向n+1代子種群遷移；遷移率設(shè)置為0.1，如果第n代發(fā)生遷移，則遷移的個(gè)體數(shù)nm=0.1×Nn，Nn為第n代子種群的個(gè)體數(shù)量；遷移間隔設(shè)置為5，即每5代發(fā)生一次遷移。

遺傳算法的終止準(zhǔn)則采用迭代次數(shù)，本文設(shè)置終止遺傳算法的迭代次數(shù)為20代。綜上所述，可得到遺傳算法的流程如圖3所示。

根據(jù)以上確定的遺傳算法流程和參數(shù)取值，運(yùn)用MATLAB軟件中的GA工具箱進(jìn)行求解計(jì)算，求解過程中歷代種群的最優(yōu)適應(yīng)度和平均適應(yīng)度如圖4所示。從圖4中可以看出，初始種群的最小適應(yīng)值為3，平均適應(yīng)值為4.5，由此可知，遺傳算法可在較大范圍內(nèi)進(jìn)行最優(yōu)值的搜索，具有較好的全局優(yōu)化能力。在迭代到第16代時(shí)，種群的最大、最小和平均適應(yīng)度基本穩(wěn)定在2.669，表明了算法具有較快的收斂速度。最終運(yùn)行得到的遺傳算法優(yōu)化值方法的參數(shù)取值、最優(yōu)解與經(jīng)驗(yàn)值方法的參數(shù)取值、最優(yōu)解對比如表2所示。

表2 控制參數(shù)與最優(yōu)解對比

4 性能分析

為了對比分析控制器對于時(shí)滯的控制效果，參考文獻(xiàn)[16]中的設(shè)計(jì)，求解未考慮輸入時(shí)滯的有限頻域H∞控制算法(以下稱控制1)的狀態(tài)反饋增益Kf1. 根據(jù)表1中懸架參數(shù)的取值和表2中控制參數(shù)的取值，分別對依據(jù)經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)的考慮控制時(shí)滯的有限頻域H∞控制算法(以下稱控制2)和基于遺傳算法優(yōu)化設(shè)計(jì)的考慮控制時(shí)滯的有限頻域H∞控制算法(以下稱控制3)的狀態(tài)反饋增益Kf2、Kf3進(jìn)行設(shè)計(jì)求解。分別對3種控制條件下的振動特性進(jìn)行頻域和時(shí)域的仿真分析，

Kf1=[14 352.1 -1 591.76 -2 091.80 -915.95]，
Kf2=[18 178.4 67.21 4 039.22 -963.62]，
Kf3=[17 481.5 76.97 9 500.99 -1 005.51].

4.1 頻域分析

從頻域角度對不同控制條件下懸掛系統(tǒng)的車體加速度、懸架動行程和車輪動載荷傳遞率進(jìn)行對比，如圖5所示。

由圖5(a)可以看出：與被動無控制狀態(tài)相比，使用有限頻域H∞控制算法的懸架振動控制效果在除車輪共振點(diǎn)的整個(gè)頻域范圍內(nèi)都優(yōu)于無控制狀態(tài)；與控制1相比，控制2和控制3在除低頻區(qū)之外的車體共振區(qū)和中高頻區(qū)域，特別是對乘坐舒適性影響較大的4～8 Hz頻段都有更好的控制效果；與控制2相比，控制3在除低頻區(qū)和車體共振區(qū)之外的中高頻區(qū)域，特別是對乘坐舒適性影響較大的4～8 Hz頻段都有更好的控制效果。綜合考慮車體加速度在整個(gè)頻域范圍內(nèi)的控制效果可以得出：基于遺傳算法優(yōu)化設(shè)計(jì)的有限頻域H∞控制算法對乘坐舒適性的改善效果最優(yōu)。

由圖5(b)可以看出：與被動無控制狀態(tài)相比，采用有限頻域H∞控制算法會導(dǎo)致低頻區(qū)和車輪共振區(qū)懸架動行程的顯著惡化，而在車體共振區(qū)則略優(yōu)于無控制狀態(tài)，高頻區(qū)與無控制狀態(tài)基本相當(dāng)；3種控制算法在整個(gè)頻域上相比，控制3優(yōu)于控制2，控制2優(yōu)于控制1，但差距都很小。綜合考慮懸架動行程在整個(gè)頻域范圍內(nèi)的振動控制效果可以得出：主動控制會造成懸架動行程的增大，且其中基于遺傳算法優(yōu)化設(shè)計(jì)的有限頻域H∞控制算法對車輪動載荷的惡化程度稍大。

由圖5(c)可以看出：與被動無控制狀態(tài)相比，采用有限頻域H∞控制算法可顯著降低中低頻區(qū)域的車輪動載荷，同時(shí)又顯著增加了車輪共振區(qū)的車輪動載荷，而在高頻區(qū)與被動無控制基本相同；與控制1相比，控制2在全頻域內(nèi)優(yōu)于控制1，控制3除在車體共振區(qū)優(yōu)于控制1外，其他頻段均劣于控制1；與控制2相比，控制3除在車體共振區(qū)略優(yōu)于控制2外，其他頻段均劣于控制2. 綜合考慮車輪動載荷在整個(gè)頻域范圍內(nèi)的控制效果可以得出：基于遺傳算法優(yōu)化設(shè)計(jì)的有限頻域H∞控制算法對車輪動載荷的惡化稍大，從而會在一定程度上惡化車輛的操縱穩(wěn)定性。

控制算法設(shè)計(jì)的主要目標(biāo)是改善車輛的乘坐舒適性，但懸架動行程與車輪動載荷均需小于其許用值，即滿足約束條件。而不同控制算法在不同頻段上的控制性能各有優(yōu)劣，因此總體性能是否滿足約束條件以及性能的優(yōu)劣對比，還需對控制算法進(jìn)行時(shí)域分析。

4.2 時(shí)域分析

某型軍用輪式車輛在鄉(xiāng)村土路(C級路面)上的平均行駛速度約為36 km/h，最大行駛速度約為85 km/h. 為進(jìn)一步驗(yàn)證控制算法對于不同等級路面的振動控制效果，下面對車輛分別以36 km/h、85 km/h速度行駛于C級路面40 s時(shí)間后懸架的減振性能進(jìn)行仿真分析。根據(jù)國家標(biāo)準(zhǔn)GB/T 7031—2005，利用諧波疊加法生成相應(yīng)的路面隨機(jī)激勵信號作為擾動輸入，對4種不同控制條件下得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得到車體加權(quán)加速度均方根值的統(tǒng)計(jì)計(jì)算結(jié)果如表3所示，對懸架相對動行程、車輪相對動載荷、相對控制力峰值的統(tǒng)計(jì)計(jì)算結(jié)果如表4所示。

表3 車體加權(quán)加速度均方根值

表4 控制算法約束性能峰值統(tǒng)計(jì)

分析表3中的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)：與被動無控制狀態(tài)相比，3種控制算法都能夠有效地降低不同等級路面激勵條件下的車體加權(quán)加速度均方根值，改善車輛的乘坐舒適性，且改善率均大于30%，控制算法具有較好的魯棒性；由3種控制算法相比可以看出，考慮了控制輸入時(shí)滯的控制2、控制3對車體加速度的控制效果優(yōu)于沒有考慮控制輸入時(shí)滯的控制1，且使用遺傳算法對控制參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化的控制3比依靠經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)的控制2的控制效果提升了1.83%～7.18%，比未考慮控制輸入時(shí)滯的控制1的控制效果提升了11.82%～12.25%.

通過表4中約束性能的峰值統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以看出：在C級路面行駛速度36 km/h條件下，控制的約束條件均能得到滿足；而在C級路面行駛速度85 km/h條件下，除懸架相對動行程能夠滿足約束條件外，車輪相對動載荷與相對控制力均不能滿足控制約束條件，通過分析計(jì)算發(fā)現(xiàn)，這是因?yàn)榇藭r(shí)的激勵信號超過了控制算法設(shè)計(jì)所允許的最大擾動能量。

根據(jù)L2范數(shù)的定義可知，外界擾動信號能量w的計(jì)算方法為

(6)

式中：fs0為參考空間頻率，取值為0.1 m-1；Gxr(n0)為路面不平度系數(shù)，對于C級路面，取值為256×10-6m2/m-1；v為車速；fu、fl分別代表上限、下限時(shí)間頻率，可按照(7)式進(jìn)行計(jì)算：

f=fsv,

(7)

fs為路面空間頻率，上限空間頻率fsu、下限空間頻率fsl通常取值分別為2.83 m-1、0.011 m-1.

綜合以上頻域與時(shí)域的分析可以看出，使用遺傳算法優(yōu)化設(shè)計(jì)的考慮控制輸入時(shí)滯的有限頻域H∞控制算法，能夠在外界擾動為能量有界信號的情況下，有效降低在4～8 Hz頻域范圍內(nèi)的車體加速度，提高車輛的乘坐舒適性，同時(shí)滿足懸架相對動行程、車輪相對動載荷和相對控制力的約束條件。當(dāng)外界擾動能量超過設(shè)計(jì)所允許的最大值時(shí)，雖然約束條件不能得到充分保證，但對于車輛的乘坐舒適性仍有較好地改善作用。

5 結(jié)論

1)考慮控制輸入時(shí)滯的有限頻域H∞控制算法的最優(yōu)解主要由可調(diào)參數(shù)α，β1，β2的取值決定，但各參數(shù)與最優(yōu)解之間沒有確定關(guān)系，難以單純依靠經(jīng)驗(yàn)獲得控制算法的最優(yōu)解，因此可以采用遺傳算法對控制參數(shù)取值進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

2)對于能量有界的路面擾動輸入，基于遺傳算法優(yōu)化設(shè)計(jì)的控制算法，能夠在滿足控制約束條件下更好地降低時(shí)滯對控制效果的影響，降低車體在4～8 Hz頻域范圍內(nèi)的振動，提高車輛的乘坐舒適性。當(dāng)外界擾動能量超過設(shè)計(jì)所允許的最大值時(shí)，約束條件不能得到充分保證，但控制算法對于車輛的乘坐舒適性仍有較好地改善作用。