矩陣在線性代數(shù)中的應(yīng)用案例探討

劉昱岑

摘要：近年來，隨著信息科技的不斷發(fā)展，社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展速度越來越快，線性代數(shù)也開始在各個(gè)學(xué)科中被廣泛應(yīng)用，其中矩陣的應(yīng)用領(lǐng)域也逐漸變得廣泛。線性代數(shù)一直以來都是數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，線性代數(shù)的學(xué)習(xí)還很簡(jiǎn)單。本文主要是對(duì)矩陣在線性代數(shù)中的應(yīng)用案例探討。

關(guān)鍵詞：矩陣；線性代數(shù)；應(yīng)用分析

一、線性代數(shù)的概念

線性代數(shù)（Linear Algebra）是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它的研究對(duì)象是向量、向量空間（或稱線性空間），線性變換和有限維的線性方程組。在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，求解線性方程是重要的知識(shí)點(diǎn)，主要學(xué)習(xí)了線性代數(shù)的向量概念，向量也是線性代數(shù)中一個(gè)最基本的概念。當(dāng)前，線性代數(shù)在數(shù)學(xué)、物理學(xué)和技術(shù)學(xué)科中都發(fā)揮著重要的作用，可見線性代數(shù)對(duì)于強(qiáng)化知識(shí)技能，增益科學(xué)智能方面是非常有利的。矩陣是在線性代數(shù)中比較具有研究?jī)r(jià)值且被研究次數(shù)最多的，矩陣能表現(xiàn)出一種規(guī)律，一種利用代數(shù)理論知識(shí)來表現(xiàn)的一種數(shù)表變化規(guī)律，并且經(jīng)常利用數(shù)表來分析得到結(jié)論[1]。

二、矩陣在線性代數(shù)中的應(yīng)用案例分析

（一）線性方程組與向量

首先，向量是解決線性方程組的一個(gè)有力武器。向量是一個(gè)在解析幾何和物理中都有的概念，但是在解析幾何和物理中的向量概念是不一樣的，而且利用向量處理線性方程組是非常有用的[2]。線性代數(shù)中的向量與物理中學(xué)習(xí)到的向量是不同的。線性代數(shù)中的向量有兩個(gè)要素，一個(gè)是大小另一個(gè)是方向。所以兩個(gè)向量只要大小和方向一致，那么這兩個(gè)向量就是相等的，所以向量中只有重合沒有平行，不存在相反方向但是相等的向量。因此，向量最基本的運(yùn)算就是加法和減法兩種。比如，α-β=α+β這個(gè)向量的加法，就是將它們的各個(gè)分量分別相加。另外，由于向量的加法符合平行四邊形的運(yùn)算法則。所以運(yùn)算的時(shí)候，可以把向量α 和向量β假設(shè)為一個(gè)平行四邊形的兩條邊，這樣向量α+β的計(jì)算就是那個(gè)平行四邊形的對(duì)角線，平行四邊形的對(duì)角線向量就是α+β所對(duì)應(yīng)的向量。雖然平行四邊形很好進(jìn)行計(jì)算，但是更多的時(shí)候更習(xí)慣于利用三角形來進(jìn)行計(jì)算。利用三角形的計(jì)算更加簡(jiǎn)單直觀，而且更加適合于用于多個(gè)向量的計(jì)算。利用三角形計(jì)算的時(shí)候，只需要將各個(gè)向量之間首尾連接，最后第一個(gè)向量的開始和最后一個(gè)向量的結(jié)尾進(jìn)行連接就是結(jié)果，它所對(duì)應(yīng)的向量就是這些向量的和所對(duì)應(yīng)的向量。

（二）矩陣在解線性方程組中的應(yīng)用

可以利用矩陣的特點(diǎn)來進(jìn)行高中線性方程組求解計(jì)算，而且還可以將這個(gè)特點(diǎn)進(jìn)一步應(yīng)用到方程組中。假設(shè)線性方程組生成矩陣形式Ax=b，并根據(jù)系數(shù)矩陣和增廣矩陣來判斷方程組是否有解[3]。首先，需要借助矩陣對(duì)方程組進(jìn)行相應(yīng)的簡(jiǎn)化，這樣能夠降低整個(gè)方程組求解的難度。比如，Ax=b的矩陣方程求解時(shí)，就需要先判斷系數(shù)矩陣和常數(shù)矩陣是否有相同的秩，如果相同則可以進(jìn)一步求解。這個(gè)時(shí)候也分為兩種情況：當(dāng)系數(shù)矩陣的秩為 n，線性方程組會(huì)有唯一的解；但是當(dāng)秩小于 n 時(shí)，那么這個(gè)方程組就會(huì)有無窮多的解；如果不相同那么這組方程組就沒有方程解，無法進(jìn)行解答。

例如，下面這組線性方程組的求解中，方程組的形式為：

X1 -X2 - 3X3 + X4 = 1

X1 - X2 + 2X3 - X4 = 3

4X1 - 4X2 + 3X3 - 2X4 = 6

2X1 - 2X2 - 11X3 + 4X4 = 0

因此，我們可以通過對(duì)方程組進(jìn)行分析利用矩陣做一個(gè)簡(jiǎn)單的等量變換處理，進(jìn)而得到方程組相應(yīng)的解。但是需要注意的是，有一個(gè)特殊情況，就是如果系數(shù)矩陣和增廣矩陣兩者的秩是不相等的，那么這個(gè)方程組無解。所以要先弄清楚矩陣行列式，然后將矩陣和線性方程組直接對(duì)應(yīng)起來。再進(jìn)行推算工作，而且要在推算的時(shí)候保證這個(gè)推算是正確的，這樣才能得出一個(gè)正確的對(duì)應(yīng)關(guān)系，才能將復(fù)雜的線性方程簡(jiǎn)化為一個(gè)矩陣向量，然后降低整個(gè)方程組的解決，順利解決方程組的問題。

綜上所述，通過分析矩陣在線性代數(shù)中的應(yīng)用案例分析，可以得出一個(gè)結(jié)論，矩陣的作用是非常大的，它能夠在很多方面發(fā)揮潛能。伴隨著信息技術(shù)水平的提高，網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的進(jìn)步，矩陣的應(yīng)用也會(huì)更加深入。隨著時(shí)代的不斷發(fā)展，各個(gè)學(xué)科之間的界限也越來越模糊，線性代數(shù)在很多學(xué)科中都發(fā)揮著它巨大的作用，數(shù)學(xué)是一門極其重視基礎(chǔ)性知識(shí)的學(xué)科，所以有必要更加重視數(shù)學(xué)線性代數(shù)的研究和學(xué)習(xí)，它不僅能夠簡(jiǎn)潔化研究，使研究更加合理，而且還有助于擴(kuò)大思維，增強(qiáng)科學(xué)智能，促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

參考文獻(xiàn)

[1]方慶霞，何穎子.線性代數(shù)中矩陣的應(yīng)用研究[J].科技資訊，2014，12（23）：203，205.DOI：10.3969/j.issn.1672-3791.2014.23.155.

[2]王翠麗.談?wù)劸€性方程組與向量[J].考試周刊，2017，（42）：118.

[3]李羿如.矩陣在解線性方程組中的應(yīng)用研究[J].文理導(dǎo)航（中旬），2017，（1）：15.