淺談遞推數(shù)列求通項(xiàng)的常用方法

李樹逵

如果已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)（或前幾項(xiàng)，且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an-1或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系，可用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式叫做數(shù)列的遞推公式，用遞推公式給出數(shù)列的方法叫做遞推法，遞推數(shù)列的重點(diǎn)，難點(diǎn)問題是求通項(xiàng)，求遞推數(shù)列通項(xiàng)的方法較多，也比較靈活，常用的基本方法有累加法、累乘法、轉(zhuǎn)化為等差等比數(shù)列，待定系數(shù)法等，主要的思路是通過轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列來解決問題。

一、形如an-1=an+f（n）可用累加法求通項(xiàng)。

例1：已知數(shù)列{an}滿足a1=1。an+1=an+2n。求通項(xiàng)an。

解：由遞推公式得：an-an-1=2（n-1），an-1-an-2=2（n-2）…………a3-a2=2×2。a2-a1=2×1

把上面（n-1）個(gè)等式相加。得an-a1=2[（n-1）+（n-2）+……+2n+1}=n（n-1）∵ an=n2-n+1

小結(jié)：一般地，若f（n）可解成常用的可求和的式子時(shí)運(yùn)用此法

二、形如an+1=fnan即an+1an=fn其中fn不是常數(shù)，可用累乘法求通項(xiàng)。

例2. 已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=nn+2an，求通項(xiàng)an。

解：由遞推公式得：ann-1n+1an-1，an-1=n-2nan-2 an-2=n-3n-1an-3……a4=35a3， a3=24a2，a2=13a1，

把上面這（n-1）個(gè)等式相乘得an=2×1（n+1）na1=2n+1n，當(dāng)n=1時(shí)，a1=1，適合a1=1，

∵通項(xiàng)an=2（n+1）n

小結(jié)：一般地，數(shù)列{an}滿足an+1=f（n）an且f（n）是關(guān)于n的分式形式，可運(yùn)用累乘法求通項(xiàng)。

三、形如an+1=pan+f（n）p為常數(shù)且p≠0.p≠1，可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，

（1）f（n）=q（q為常數(shù)）用待定系數(shù)法化為an+1+k=p（an+k）。得{an+k}是以a1+k為首項(xiàng)，p為公比的等比數(shù)列。

例3、已知數(shù)列{an}中a1=1，an+1=3an+2。求通項(xiàng)an。

解：設(shè)an+1+k=3（an+k），k=2+k3得k=1，原遞推式可變?yōu)閍n+1+1=3an+1

∴{an+1}是一個(gè)以a1+1=2為首項(xiàng)，以3為公式的等比數(shù)列。

∴an+1=2·3n-1即an=2·3n-1-1

小結(jié)：一般地，對(duì)遞推關(guān)系式an+1=pan+q（p、q為常數(shù)且p≠0，P≠1）可等價(jià)地寫成{an+qp-1}成等比數(shù)列。

（2）f（n）為等比數(shù)列且p=q時(shí)。如f（n）=pn（P為常數(shù)）兩邊同除以pn+1得an+1pn+1=anpn+A的形式。

例4、已知在數(shù)列{an}中，an+1=2an+3·2n+1，且a1=2，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

解：由an+1=2an+3·2n+1。除以2n+1得an+12n+1=an2n+3即an+12n+1-an2n+3。

即an+12n+1-an2n=3

∴數(shù)列{an2n}是一個(gè)以a12=1為首項(xiàng)，以公差為3的等差數(shù)列。

∴an2n=1+3n-1。即an=（3n-2）·2n

（3）f（n）為等比數(shù)列，且p≠q時(shí)，如f（n）=qn+1時(shí)。利用待定系數(shù)法，轉(zhuǎn)化為an+1+qn+1=p（an-qn）的形式。

例5、已知數(shù)列{an}滿足an+1=2an+3·5n，a1=6，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式

解：由an+1=2an+3·5n兩邊加上5n+1得an+1+x5n+1=2（an+x5n）由待定系數(shù)x=3+5x2得：

x=-1，轉(zhuǎn)化為an+1-5n+1=2（an+5n）

即：an+1-5n+1an-5n=2

∴數(shù)列{an-5n}是一個(gè)以a1-5=1為首項(xiàng)。2為公比的等比數(shù)列。

∴an-5n=1·2n+1即an=5n+2n-1

小結(jié)：（2）（3）兩類型一定要看清an系數(shù)P與f（n）=qn+1中的常數(shù)p是否與q相等，兩種類型是截然不同的方法。

四、形如an+1=panqan+rp，q，r均不為零，利用倒數(shù)法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解

例6、在數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=2anan+1，求通項(xiàng)an

解：由an+1=2anan+1，兩邊取倒數(shù)

得1an+1=12+12·1an即1an+1-1=121an-1

所以數(shù)列

1an-1是首項(xiàng)為1a1-1=-12，公比為12的等比數(shù)列，所以1an-1=12·12n-1故an=11-12n

五、形如an+1=ank（an﹥0，n∈N+，K為非零常數(shù)）用兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)，得lgan+1=klgan，構(gòu)造等比數(shù)列{an}）求解

例7、在數(shù)列{an}中，a1=3且an+1=an2（n是正整數(shù)）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an

解：由題意知an>0，對(duì)等式an+1=an2兩邊取對(duì)數(shù)得

lgan+1=2lgan即lgan+1lgan=2

所以lgan=lga1·2n-1=lg32n-1即an=32n-1

六、形如an+2=pan+1+qan）p，q為常數(shù)，利用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化等比數(shù)列求解