誘導(dǎo)式教學(xué)在優(yōu)化與最優(yōu)控制中的運(yùn)用

李衍杰

摘要：誘導(dǎo)式教學(xué)通過學(xué)生對結(jié)論的猜想、發(fā)現(xiàn)和驗(yàn)證，讓學(xué)生體會到探索的樂趣，從而培養(yǎng)學(xué)生的探索精神。本文主要結(jié)合誘導(dǎo)式教學(xué)方法，探討了該方法在優(yōu)化與最優(yōu)控制中的運(yùn)用。誘導(dǎo)式教學(xué)注重于引導(dǎo)，而非簡單地灌輸。通過循序漸進(jìn)的誘導(dǎo)式教學(xué)，培養(yǎng)建立起學(xué)生的研究意識和創(chuàng)新能力。本文結(jié)合優(yōu)化與最優(yōu)控制課程中的知識點(diǎn)，對誘導(dǎo)式教學(xué)進(jìn)行了初步闡述，以期能夠增強(qiáng)學(xué)生對課程知識點(diǎn)的掌握和提高學(xué)生的探索研究精神。

關(guān)鍵詞：誘導(dǎo)式教學(xué)；優(yōu)化與最優(yōu)控制；研究探索

中圖分類號：G642.41 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）33-0112-03

誘導(dǎo)式教學(xué)強(qiáng)調(diào)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，老師的主要作用在于引導(dǎo)，在課堂上充分調(diào)動學(xué)生的積極性和參與感，讓學(xué)生體會到科研探索和猜想的重要性。在教學(xué)過程中，通過誘導(dǎo)式教學(xué)重現(xiàn)知識的發(fā)現(xiàn)過程，通過老師的誘導(dǎo)，讓學(xué)生利用自己已有的知識去發(fā)現(xiàn)問題的根源，掌握知識點(diǎn)形成的整個(gè)過程。在誘導(dǎo)式教學(xué)過程中，學(xué)生由已知到未知，符合人類的認(rèn)知過程，有助于增加學(xué)生的成就感。誘導(dǎo)式教學(xué)是將老師的教和學(xué)生的思結(jié)合起來，弱化老師教的作用，引導(dǎo)學(xué)生多思考。本文針對最優(yōu)控制課程中的幾個(gè)關(guān)鍵知識點(diǎn)，展開對誘導(dǎo)式教學(xué)方法的運(yùn)用，以期培養(yǎng)學(xué)生的探索精神并深化對知識點(diǎn)的掌握。

一、循序漸進(jìn)，由點(diǎn)到面

在凸優(yōu)化理論的相關(guān)教學(xué)過程中，首先從一般優(yōu)化問題入手，強(qiáng)調(diào)一般優(yōu)化問題的求解難度，然后轉(zhuǎn)而誘導(dǎo)學(xué)生思考是不是所有優(yōu)化問題都是難以求解的，當(dāng)學(xué)生處于一籌莫展時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生能不能找到容易求解的優(yōu)化問題。從而引入線性規(guī)劃和最小二乘問題，然后講解這兩類問題的相關(guān)結(jié)論，重點(diǎn)突出它們是容易求解的，同時(shí)結(jié)合幾個(gè)實(shí)際應(yīng)用的實(shí)例，加深學(xué)生對兩類問題的理解和運(yùn)用。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步的誘導(dǎo)學(xué)生思考，除了這兩類問題之外，能不能找到其他的優(yōu)化問題是易于求解的，能不能找到更廣泛的易求解優(yōu)化問題。為此，首先引導(dǎo)學(xué)生觀察最小二乘問題目標(biāo)函數(shù)的特點(diǎn)，讓學(xué)生注意到最小二乘問題的2-范數(shù)形式min‖Ax-b‖ ，在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生回顧2-范數(shù)滿足三角不等式，即

‖αx+βy‖ ≤α‖x‖ +β‖y‖ （1）

而同時(shí)，讓學(xué)生注意到線性規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)為線性函數(shù)，滿足

f（αx+βy）=αf（x）+βf（y） （2）

此時(shí)，讓學(xué)生觀察（1）式和（2）的不同，誘導(dǎo)學(xué)生思考能否將兩式結(jié)合起來得到一類更廣泛的函數(shù)類，即結(jié)合三角不等式和線性等式，該函數(shù)應(yīng)該滿足下列不等式

f（αx+βy）≤αf（x）+βf（y）

從而引出凸函數(shù)和凸優(yōu)化的概念。通過這樣循序漸進(jìn)的過程，由最小二乘和線性規(guī)劃兩個(gè)點(diǎn)拓展到凸優(yōu)化問題整個(gè)面。不僅可以讓學(xué)生理解凸優(yōu)化和最小二乘及線性規(guī)劃的關(guān)系，而且這種由特殊到一般的推理思考過程有助于鍛煉學(xué)生的科研探索能力。

二、知其然，知其所以然

對偶性理論是凸優(yōu)化理論的難點(diǎn)，其中不乏有大量的函數(shù)定義，譬如拉格朗日函數(shù)、對偶函數(shù)等，很多教材和專著出于邏輯性的考慮，往往直接給出這些函數(shù)的定義，對于為什么引入這個(gè)概念多不給出解釋。學(xué)生對這些概念和定義可以倒背如流，對知識點(diǎn)往往是不假思索、囫圇吞棗式地接受，學(xué)生多數(shù)處于被動式的接受。為了加深學(xué)生對這些概念的認(rèn)識同時(shí)理解引入這些概念的原因，可以采用誘導(dǎo)的方式，追根溯源，建立起對這些知識點(diǎn)起源的探索與思考?；氐絻?yōu)化問題的這個(gè)基本點(diǎn)上，優(yōu)化問題的核心問題是解決下列帶有約束的優(yōu)化問題

首先，引導(dǎo)學(xué)生思考如何處理約束的影響。一種最簡單的思路是將帶約束的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)變?yōu)闊o約束的優(yōu)化問題，為此，可以考慮構(gòu)造一個(gè)函數(shù)M（x）使得下式成立：

M（x）=f （x） x∈D∞ x？埸D （3）

這里D為原優(yōu)化問題的可行域。從而原約束問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題minimize M（x），然后，誘導(dǎo)學(xué)生思考如何構(gòu)造函數(shù)M（x），學(xué)生可能想出很多種構(gòu)造方法，挑出其中幾種講解其合理性和不合理性。在這些基礎(chǔ)上，老師引導(dǎo)構(gòu)造一種如下最簡單的構(gòu)造方式：

這里I （u）為示性函數(shù)，即當(dāng)u≤0時(shí)，I （u）=0，當(dāng)u>0時(shí)，I （u）=∞；I （u）也為示性函數(shù)，當(dāng)u=0時(shí)，I （u）=0，當(dāng)u為其他值時(shí)，I （u）=∞。對于這個(gè)函數(shù)，明顯滿足條件（3）。誘導(dǎo)學(xué)生思考這個(gè)函數(shù)有什么缺點(diǎn)？然后點(diǎn)明I （u）和I （u）函數(shù)很奇怪，不連續(xù)，有些函數(shù)值是無窮大，這將導(dǎo)致M（x）函數(shù)的最小化非常難求解，為此，可進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考能不能找一些簡單的容易處理的函數(shù)來代替函數(shù)I （u）和I （u）。學(xué)生可能會給出很多不同的答案，此時(shí)，老師引導(dǎo)學(xué)生用線性函數(shù)代替函數(shù)I （u）和I （u）。因此，考慮下列函數(shù)：

這個(gè)函數(shù)是教材中給出的拉格朗日函數(shù)。誘導(dǎo)學(xué)生思考用函數(shù)L（x，λ，ν）替換函數(shù)替函數(shù)I （u）和

I （u）的可行性并產(chǎn)生懷疑，原因是因?yàn)楹瘮?shù)L（x，λ，ν）不滿足條件（3）。讓學(xué)生展開討論，并說出自己的理由。在此基礎(chǔ)上，老師進(jìn)一步解釋為什么不能直接用函數(shù)L（x，λ，ν）?？紤]能不能將函數(shù)L（x，λ，ν）改造成一個(gè)符合條件（3）的函數(shù)。讓學(xué)生展開探討并說明相關(guān)的結(jié)果。如果學(xué)生沒有探討出結(jié)果，可給出下面函數(shù)：

然后詳細(xì)地講解上述函數(shù)是如何滿足條件（3），強(qiáng)調(diào)不等書約束f （x）≤0需要λ ≥0而等式h （x）=0則要求v 無約束。因而原優(yōu)化問題可等價(jià)為 L（x，λ，ν）的最小最大問題。至此可再次設(shè)疑，讓學(xué)生思考這種變形能否有助于原優(yōu)化問題的求解，引導(dǎo)學(xué)生思考最小最大是否可以交換順序，得到 L（x，λ，ν），其中函數(shù) L（x，λ，ν）即為教材中的拉格朗日對偶函數(shù)。針對最小最大是否可以交換順序的問題，可誘導(dǎo)學(xué)生引出強(qiáng)對偶和弱對偶的概念?；谏鲜鲇懻?，把整個(gè)對偶性理論串聯(lián)起來，學(xué)生易于接受和理解，知其然，更知其所以然。

三、理論聯(lián)系實(shí)際，以研究心態(tài)探索知識

在教學(xué)過程中結(jié)合實(shí)例講解，往往取得事半功倍的效果。在優(yōu)化與最優(yōu)控制教學(xué)過程中，為了展示最小二乘、線性規(guī)劃和凸優(yōu)化的應(yīng)用，可從教材中的一個(gè)實(shí)例入手，探索最小二乘、權(quán)重最小二乘、線性規(guī)劃和凸優(yōu)化等建模描述的過程，并且以研究的心態(tài)完成整個(gè)實(shí)例的講解。例如，以求解合適的燈泡功率使得路面的光照強(qiáng)度達(dá)到預(yù)期的要求為例，引導(dǎo)學(xué)生去研究這樣的實(shí)際問題。首先對問題進(jìn)行建模，通過物理實(shí)驗(yàn)采集光照強(qiáng)度與燈泡功率的數(shù)據(jù)。在此基礎(chǔ)上，通過合理性假設(shè)，得到光照強(qiáng)度與燈泡功率間的線性擬合關(guān)系，然后探索解決達(dá)到預(yù)期照明強(qiáng)度的方法，該過程可以通過由易到難、由特殊到一般的過程。首先假設(shè)所有燈泡的功率是一樣的，將問題簡化為單變量的優(yōu)化問題，這樣學(xué)生也容易接受，然后探索最小二乘在該問題中的應(yīng)用。為了避免最小二乘問題最優(yōu)解超出可行范圍的缺陷，可引導(dǎo)學(xué)生引入帶有權(quán)重的最小二乘問題。此外，可引導(dǎo)學(xué)生將最小二乘問題的2-范數(shù)改為1范數(shù)，探索線性規(guī)劃在該問題中的應(yīng)用。最后，通過引入對數(shù)函數(shù)，將問題最終建模為凸優(yōu)化問題。通過一步步的改進(jìn)，模擬在實(shí)際研究工作中不斷改進(jìn)和完善的過程，最終讓學(xué)生體驗(yàn)到研究是如何完成的。

四、前后貫通，觸類旁通

最優(yōu)控制問題在多數(shù)的教材中基本上是與最優(yōu)化問題隔離開的，特別是在講解如何處理控制量受約束時(shí)，主要采用的最大值原理和動態(tài)規(guī)劃離散化求解。為了增加最優(yōu)化問題與最優(yōu)控制問題的聯(lián)系，在課程中，可引導(dǎo)學(xué)生采用將帶有約束的最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為一般的無約束的最優(yōu)控制問題的思路。譬如考慮如下最優(yōu)控制問題：

通常情況下，可采用最大值原理來求解上述帶有控制約束的最優(yōu)控制問題。在授課過程中，讓學(xué)生回顧凸優(yōu)化中將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束問題的思路，引導(dǎo)學(xué)生思考如何將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題。為此，借鑒凸優(yōu)化中內(nèi)點(diǎn)法的障礙函數(shù)的構(gòu)造思路引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造一個(gè)障礙函數(shù)來約束控制u（t） 在可行的范圍內(nèi)，從而引導(dǎo)學(xué)生在一般優(yōu)化問題與最優(yōu)控制問題之間建立起更多的聯(lián)系，做到前后貫通，觸類旁通。

五、結(jié)論

本文結(jié)合最優(yōu)控制中的知識點(diǎn)，通過誘導(dǎo)式教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容展開思考，這樣不僅增強(qiáng)了學(xué)生對課程內(nèi)容的理解和掌握，也極大增加了學(xué)生對所學(xué)知識的研究興趣，從而有助于樹立研究生的研究探索意識。

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