活用數(shù)形結(jié)合思想求解含參問題

段福彪

【摘要】數(shù)形結(jié)合思想是高中常用的數(shù)學(xué)思想方法之一，它能使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)之美妙及數(shù)形結(jié)合的直觀形象，激發(fā)起學(xué)生探索的意識和創(chuàng)新欲望，突破思維的常規(guī)，使思路更簡捷、明快.采用數(shù)形結(jié)合的思想來解決二次方程根的分布、求值域等問題更是如此，能培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，拓寬學(xué)生的知識面.

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合思想；根的分布；值域；不等式

一些數(shù)學(xué)問題，所給的是方程的根或者是函數(shù)的極值點(diǎn)等，若按常規(guī)思維來解，有難度，且運(yùn)算過程繁雜，這時巧用數(shù)形結(jié)合，就能起到事半功倍之功效.下面就數(shù)形結(jié)合在二次方程根的分布、求值域、證明不等式中的應(yīng)用舉例如下.

一、在二次方程根的分布中的應(yīng)用

例1設(shè)一元二次方程ax2-（3a+1）x+3=0的兩根為x1，x2，且1

分析本題如果按常規(guī)解法，利用一元二次方程根的分布來解，需要考慮判別式、兩根之和、兩根之積的范圍等問題，運(yùn)算繁雜，而且要分類討論.巧用數(shù)形結(jié)合，將方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，觀察函數(shù)圖形問題便可輕松解得.

或

解設(shè)f（x）=ax2-（3a+1）x+3，因?yàn)?0，af（2）<0-a2+a>0，-2a2+a<0， 解得：a12

因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍a12

解后反思：對于一元二次方程根的分布問題，當(dāng)兩根分布在兩個區(qū)間上時只考慮區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值與零的關(guān)系，而不考慮判別式和對稱軸；當(dāng)兩根分布在一個區(qū)間上時應(yīng)該從三方面考慮（1）考慮區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值與零的關(guān)系；（2）考慮判別式；（3）考慮對稱軸：可根據(jù)對稱軸所在區(qū)間的位置寫出等價式.另外當(dāng)二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)時，改為二次項(xiàng)系數(shù)乘根所在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值與零的關(guān)系問題，觀察圖像便可得出結(jié)論.

二、在求函數(shù)最值中的應(yīng)用

例2已知函數(shù)f（x）=-x2+2x-3，對于任意實(shí)數(shù)t，探究f（x）在閉區(qū)間[t，t+1]上的最大（?。┲?

分析本題屬于二次函數(shù)中“軸定區(qū)間動”的問題.根據(jù)t的不同取值范圍，數(shù)形結(jié)合，使區(qū)間[t，t+1]“處”在f（x）的不同區(qū)間上問題即可解決.

解法略.

三、在證明不等式中的應(yīng)用

例3（2009年全國高考數(shù)學(xué)試卷理（Ⅰ）第22題）設(shè)函數(shù)f（x）=x3+3bx2+3cx有兩個極值點(diǎn)x1，x2，且x1∈[-1，0]，x2∈[1，2].

（Ⅰ）求b，c滿足的約束條件，并在下面的坐標(biāo)平面內(nèi)，畫出滿足這些條件的點(diǎn)（b，c）的區(qū)域；

（Ⅱ）證明：-10≤f（x2）≤-12.

分析對于問題（Ⅰ），仍發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢，便可知道導(dǎo)函數(shù)的兩個根在區(qū)間上分布時滿足的條件，b，c滿足的線性約束條件輕松可得，問題便迎刃而解.

對于問題（Ⅱ），我們似乎無從下手.但仔細(xì)分析題目的條件就可知道，x2是原函數(shù)的極值點(diǎn)，就是導(dǎo)函數(shù)等于零的一個根，利用這個根滿足的條件x2∈[1，2]，結(jié)合問題（Ⅰ）中數(shù)形結(jié)合得到c的范圍就有柳暗花明的感覺，證明的問題也一蹴而就了.

解（Ⅰ）略.

（Ⅱ）由題設(shè)知f′（x2）=3x22+6bx2+3c=0，

故bx2=-12x22-12c，

于是f（x2）=x32+3bx22+3cx2=-12x32-3c2x2.

由于x2∈[1，2]，而由（Ⅰ）知c≤0，

故-4+3c≤f（x2）≤-12+32c.

又由（Ⅰ）知-2≤c≤0，

所以-10≤f（x2）≤-12，問題得證.

總之在解決函數(shù)中的問題時，采用數(shù)形結(jié)合的思想來思考會給我們帶來意想不到的效果.尤其是可轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布問題，用數(shù)形結(jié)合更有居高臨下“一覽眾山小”的感覺.

【參考文獻(xiàn)】

[1]甘肅省教育科學(xué)研究所.學(xué)業(yè)質(zhì)量模塊測評·數(shù)學(xué)（必修1）[M].蘭州：甘肅教育出版社，2011.

[2]薛金星.2009年全國及各省市高考試題全解[M].西安：陜西人民教育出版社，2009.