三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)高考考點(diǎn)題型歸類解析

杜紅全

(甘肅省康縣教育局教研室 746500)

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要知識，也是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，而三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是高考的熱點(diǎn)，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，多數(shù)是中低檔題. 縱觀近幾年的高考題，發(fā)現(xiàn)其考點(diǎn)題型有以下幾個方面，供參考.

一、最值或值域

點(diǎn)評本題考查了三角函數(shù)的基本關(guān)系、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題、三角函數(shù)的性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.解本題的關(guān)鍵是把原解析式化為關(guān)于cosx的二次函數(shù)的形式，然后用配方法求解.有些題需把原解析式變形為y=Asin(ωx+φ)的形式后求最值或值域.多數(shù)情況下需要用配方法或三角函數(shù)的有界性來求最值或值域.

二、三角函數(shù)的奇偶性

點(diǎn)評本題考查了三角函數(shù)圖象的平移、三角函數(shù)的奇偶性.解答本題的關(guān)鍵是圖象平移時函數(shù)解析式的變化以及根據(jù)奇偶性列出關(guān)于π的方程.

三、三角函數(shù)的周期性

四、三角函數(shù)的單調(diào)性

圖1

例4 (2015全國，文8理8) 函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)的部分圖象如圖1所示，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為

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點(diǎn)評本題考查了三角函數(shù)的圖象、三角函數(shù)的單調(diào)性. 解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的圖象求出函數(shù)的最小正周期，難點(diǎn)是求φ的值，代入點(diǎn)求φ的值時，最好取三角函數(shù)圖象的最低點(diǎn)或最高點(diǎn).

五、三角函數(shù)的對稱性

點(diǎn)評本題考查了定積分的幾何意義、三角函數(shù)圖象的對稱性.解答本題的關(guān)鍵是利用定積分的幾何意義及三角函數(shù)的圖象，根據(jù)面積為0，得到x軸上方和下方的面積相等，從而找到三角函數(shù)的零點(diǎn).若利用定積分的計算公式去求參數(shù)φ的值，運(yùn)算量會相當(dāng)大.

六、依圖寫式

圖2

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點(diǎn)評本題考查了三角函數(shù)的圖象應(yīng)用.已知三角函數(shù)的圖象確定其解析式f(x)=Asin(ωx+φ)，常用方法就是待定系數(shù)法，先由圖象中的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)坐標(biāo)確定A；再根據(jù)圖象中所透露的函數(shù)的周期確定ω的值，最后根據(jù)圖象中點(diǎn)的坐標(biāo)求解φ的值.

七、依式選圖

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點(diǎn)評本題考查了三角函數(shù)圖象性質(zhì).識別函數(shù)圖象除利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷外，簡單易行的辦法就是用排除法，利用函數(shù)的定義域及圖象上的坐標(biāo)進(jìn)行排除，特別是函數(shù)值的符號.

八、圖象變換

點(diǎn)評本題考查了三角函數(shù)圖象變換.對于三角函數(shù)圖象變換問題，首先要利用誘導(dǎo)公式將不同名函數(shù)轉(zhuǎn)換成同名函數(shù);在進(jìn)行圖象變換時，一般先平移后伸縮，而先伸縮后平移在考試中經(jīng)常出現(xiàn)，無論哪種變換，都是針對自變量x而言.

九、綜合應(yīng)用

(1)若a∥b，求x的值；

(2)記f(x)=a·b，求f(x)的最大值和最小值以及對應(yīng)的x的值．

分析(1)利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算法則求解.(2) 利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、輔助角公式，結(jié)合三角函數(shù)圖象求解.

點(diǎn)評本題主要考查了平面向量共線的坐標(biāo)表示、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角和(差)的三角函數(shù)、三角函數(shù)圖象與性質(zhì). 解答本題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用：若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b?x1y2-x2y1=0,a⊥b?x1x2+y1y2=0.