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    平均框架下Korobov空間的逼近基于標準信息的易處理性

    2018-09-21 09:05:26路婉婷許貴橋
    關(guān)鍵詞:正數(shù)算子誤差

    路婉婷,許貴橋

    (天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,天津 300387)

    1 預(yù)備知識

    多元連續(xù)問題是指定義在多元函數(shù)類上算子的逼近問題.這些問題通常用信息基算法求得近似解.本文所用的信息為標準信息,即函數(shù)值.信息復(fù)雜性n(ε,d)是指對d元函數(shù)求得誤差小于ε的解而需要的信息算子的最小數(shù).多元連續(xù)問題易處理性的概念[1]于1994年引入,其著重研究n(ε,d)當(dāng)維數(shù)d無限變大而ε無限變小時的變化趨勢.若n(ε,d)是ε-1或d的指數(shù)函數(shù),那么問題被稱為不易處理的,否則就稱為易處理的.有關(guān)易處理性問題的基本知識和結(jié)果可參見文獻[2-4].本文在平均框架和歸一化誤差標準下討論問題,相關(guān)定義如下:

    (1) 如果存在正數(shù)C使得n(ε,d)≤Cdqε-p,則稱問題是多項式易處理的;

    (2) 如果存在正數(shù)C使得n(ε,d)≤Cε-p,則稱問題是強多項式易處理的;

    (3) 如果存在正數(shù)C,t使得n(ε,d)≤Cexp(t(1+lnd)(1+lnε-1)),

    (1)

    則稱問題是擬多項式易處理的;

    (2)

    則稱問題是弱易處理的.

    在以上概念中,d∈N,ε∈(0,1),p,q為與d,ε無關(guān)的正數(shù).若問題是強多項式易處理的,則滿足n(ε,d)≤Cε-p的p的下確界,稱為強多項式易處理性的指數(shù),并記作pstr.

    2 Korobov空間逼近問題的易處理性

    (3)

    對任意n,利用Λall的最優(yōu)算法An,d為

    (4)

    且其平均誤差為

    (5)

    在平均框架下對于歸一化誤差標準,由文獻[2]知利用Λall逼近的復(fù)雜性nall(ε,d)(利用nall(ε,d)代替n(ε,d)以區(qū)別于標準信息類)為

    (6)

    基于(6)式,在平均框架下利用Λall逼近的易處理性問題已有大量的研究.[2,4-9]計算函數(shù)在一點的值遠比計算函數(shù)的連續(xù)線性泛函容易,因此比較Λstd和Λall的逼近效果成為近期的研究熱點.[4,8]但至今未出現(xiàn)Λstd和Λall完全一致的易處理性結(jié)果.本文利用文獻[10]構(gòu)造隨機逼近算子的思路來證明對文獻[5]提出的基于一元Korobov核的多元逼近問題,在易處理問題上Λstd和Λall有相同逼近效果.

    以β∈[0,1],r>1/2為參數(shù)的一元Korobov核Rγ,β定義為

    假設(shè){gk}滿足

    1≥g1≥g2≥…>0.

    (7)

    記Dd=[0,1]d.對d∈N,定義d元Korobov核

    (8)

    考慮連續(xù)實函數(shù)空間C(Dd)上具有零均值高斯測度,且其協(xié)方差核為

    的Korobov空間在L2(Dd)上的逼近問題:APP={APPd}d∈N.其中對任一固定d逼近問題為APPd:C(Dd)→L2(Dd),這里APPdf=f,?f∈C(Dd).

    的特征值集合可表示為

    Ad={λd,z|Z=[z1,z2,…zd]∈Nd},

    (9)

    這里λ(k,1)=1,且

    λ(k,2j)=λ(k,2j+1)=gk/j2r,?j∈N.

    (10)

    為使用方便,把Ad中的元素重新排列為{λd,i}i∈N,使其滿足λd,1≥λd,2≥…≥0.由文獻[5]知相應(yīng)的特征向量為三角多項式,記為ηd,i.由(4)式知其對應(yīng)的最優(yōu)算法為

    (11)

    對于歸一化誤差標準,文獻[5,7-8]得到了問題APP關(guān)于Λall具有易處理性的一些結(jié)果:

    引理1設(shè)逼近問題APP={APPd}的gk滿足(7)式.對于Λall,有:

    (1)APP是多項式易處理的,當(dāng)且僅當(dāng)

    (12)

    (2)APP是多項式易處理的,等價于APP是強多項式易處理的,且

    pstr=max(2/(2r-1),2/(ρg-1));

    (3)APP是擬多項式易處理的,當(dāng)且僅當(dāng)

    (13)

    其中l(wèi)n+x∶=max(1,lnx);

    (4)APP是一致弱易處理的,當(dāng)且僅當(dāng)

    (14)

    (15)

    定理1設(shè)逼近問題APP={APPd}的gk滿足(7)式.對于Λstd,有:

    (1)APP是多項式易處理的,當(dāng)且僅當(dāng)

    (16)

    (2)APP是多項式易處理的,等價于APP是強多項式易處理的,且

    pstr=max(2/(2r-1),2/(ρg-1));

    (3)APP是擬多項式易處理的,當(dāng)且僅當(dāng)

    (17)

    (4)APP是一致弱易處理的,當(dāng)且僅當(dāng)

    (18)

    (19)

    證明必要性可由Λstd?Λall及引理1給出,下證充分性.對任意固定的整數(shù)m

    (20)

    (21)

    (22)

    其中

    (23)

    (24)

    (25)

    (26)

    (27)

    (28)

    由(24)及(28)式可得

    (29)

    由(29)式及Fubini定理,

    (30)

    (31)

    由(21),(30)—(31)式可得

    (32)

    (33)

    下面作迭代.令A(yù)d,0=0,

    Ad,kg=Ad,k-1g+Ad,τ(g-Ad,k-1g).

    (34)

    令Δd,kg=g-Ad,kg,則上式化為

    Δd,kg=Δd,k-1g-Ad,τ(Δd,k-1g).

    (35)

    (36)

    由(33)及(36)式可推出

    (37)

    對任意給定的0<ε<1,在(37)式中令m=nall(ε/2,d),n=2nall(ε/2,d)且令k=[2log2ε-1]+1,則由(6)式可得到

    (38)

    由于算法Ad,k僅用到了2([2log2ε-1]+1)nall(ε/2,d)個標準信息且有(38)式成立,因此

    n(ε,d)≤2([2log2ε-1]+1)nall(ε/2,d).

    (39)

    由(39)式和引理1容易檢驗定理的充分性,由于檢驗過程所用方法極其常規(guī),這里略去.

    注1本文算法是非構(gòu)造性的,尋找構(gòu)造性的算法是更有意義的問題.

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