以課本為本 顯探究為真
——2018年南通市數(shù)學中考一道壓軸題的探究過程

楊衛(wèi)東

(江蘇省海門市悅來初級中學 226100)

本文就2018年南通市數(shù)學中考第28題(壓軸題)的由來及思維寬度、長度、高度、深度的探究過程奉獻與大家，以求資源共享、期待思維碰撞.

【課源再現(xiàn)】人教版數(shù)學教材八年級P85問題1：如圖1，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地，牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？

【策略分析】1．“兩點之間，線段最短”和“垂線段最短”是我們分析、解決最短路徑問題的理論依據和轉化手段.眾所周知：當A′地和B地位于直線l的兩側時(如圖2)，只要連接A′B，根據“兩點之間，線段最短”，可知A′B與l的交點P就是直線l上能使PA′+PB最小的位置.

2．如何把圖1轉化為圖2的情況呢？顯然，只要在圖1中作出點A關于直線l的對稱點A′，利用軸對稱的性質，可以得到PA=PA′，此時PA+PB=PA′+PB≥A′B，即點P為線段A′B與直線l的交點時，PA+PB最小(如圖3).

【經驗積累1】在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱、平移、旋轉等圖形變換把已知問題轉化為容易解決的問題，從而作出最短路徑的選擇.

【潛心識圖】如圖4，因為PA=PA′，所以∠APM=∠A′PM.因為∠A′PM=∠BPN，故∠APM=∠BPN.過點P再作直線MN的垂線，利用等角的余角相等，即可輕松得出物理學科中“反射角等于入射角”的熟悉結論，讓人倍感親切又添無限遐想——能否把這個圖形放在平面直角坐標系中作進一步探究呢？

【探究方向1】如圖5，在平面直角坐標系xOy中，A，B為直線MN同側的兩點，點P為直線上位于M，N間的任意一點，若銳角∠APM=∠BPN，則稱點P為點A，B關于直線MN的“反射點”．

已知點A(1，2)，B(-1，-2)．

(1)求點A、B關于直線x=m(m>1)的反射點P所在圖象的函數(shù)解析式．

【靈感一現(xiàn)】雖然直線x=m(m>1)是一條隨m的變化而作平移的直線，由于點A，B關于原點中心對稱，而且直線x=m∥y軸，那么其反射點P運動所形成的圖象是否存在某種特殊性呢？

3．面積法：如圖7，延長A′A交y軸于點E，直線x=m交A′A于點G，交x軸于點F，連接OG、OA′、OP．

∵AG=GA′，AO=OB,

∴OG∥BA′，S△OAG=S△O A′G,

∴S△OPG=S△O A′G,

∴S△OAG=S△OPG.

∵矩形OEGF中△OEG≌△GFO,

∴S△OEG=S△GFO,

∴S△OEG-S△OAG=S△GFO-S△OPG,

即S△OEA=S△OFP.

∵A(1，2),∴S△OEA=1，∴S△OFP=1.

【探究方向2】已知點A(1，2)，B(-1，-2)．

(2)設點P是點A、B關于直線y=2x+n的反射點，當45°≤∠APB≤60°時，直接寫出點P的橫坐標xp的取值范圍．

【靈感二現(xiàn)】雖然直線y=2x+n是一條隨n的變化而作平移的直線，但點A，B關于原點中心對稱，且直線MN∥AB，那么點A、B關于直線MN的反射點P所在圖象又有著怎樣特殊的結論呢？

【二證靈感】還得從點P為點A，B關于直線MN的反射點定義出發(fā)，同時結合點A，B關于原點中心對稱，再利用直線MN∥AB切入較為自然和踏實.

如圖8，連接OP，分別過點A，P作AC⊥y軸，PD⊥y軸，垂足分別為C，D，過點A作AE⊥BP，垂足為E，則∠ACO=∠ODP=90°．先從n<0開始研究吧，此時點P在AB的右下方．

∵直線AB的函數(shù)解析式為y=2x，而直線MN：y=2x+n，∴AB∥MN,

∴∠APM=∠BAP，∠BPN=∠ABP.

∵點P是A，B關于直線MN的反射點,

∴∠APM=∠BPN,

∴∠BAP=∠ABP∴PA=PB.

∵OA=OB, ∴OP⊥AB,

∴∠AOP=90° ，∠APO=∠BPO.

①當∠APB=45°時，∠OPA=22.5°，∠PAB=∠B=67.5°．

∵∠BEA=∠AOP=90°，∴ △BEA∽△AOP．

∵∠AOP=90°,

∴∠AOC+∠DOP=∠AOC+∠CAO=90°,

∴∠DOP=∠CAO.∵∠ACO=∠ODP=90°,

②當∠APB=60°時(如圖9)，∠OPA=30°．

∵45°≤∠APB≤60°,

【經驗積累3】若點A(a，b)，B(-a，-b)，且a·b≠0，設∠APB=α．

【探究方向3】已知點A(1，2)，B(-1，-2)．

(3)設點P是點A，B關于一次函數(shù)y=kx+t(k≠0)的圖象的反射點，且點P位于直線AB的右下方，當∠APB=60°時，請直接寫出t的取值范圍．

【靈感三現(xiàn)】雖然直線MN：y=kx+t(k≠0)的位置千變萬化，但有條件∠APB=60°，點A、B關于直線MN的反射點P所在圖象又有著怎樣的令人驚喜呢？

∵k≠2，∴直線MN與AB不平行，只能相交．設直線MN與這個圓交于點T′．

∵∠APM=∠BPM，∠APB=60°，∴∠APM=∠BPM=60°．

根據同弧所對的圓周角相等，得∠BAT′=∠BPN=60°，∠AT′B=∠APB=60°．

∴△ABT′是等邊三角形，∴點T′與點T重合．

【經驗積累4】若點A(a，b)，B(-a，-b)，且a>0，b>0，∠APB=60°．△ABT為正三角形，點T在第三象限.

設點P是點A，B關于一次函數(shù)y=kx+t(k≠0)的圖象的反射點，且點P位于直線AB的右下方，則點P一定落在△ABT外接圓的優(yōu)弧ATB上.當然點P既不能與點A、點B重合，也不能和過點T作坐標軸的平行線與優(yōu)弧ATB的交點重合.至此容易理解：滿足題意的一次函數(shù)y=kx+t(k≠0)的圖象是一條過定點T且可以作適當旋轉的直線.

【形成試題】(2018年南通市中考數(shù)學第28題)

定義：如圖12-1，A，B為直線l同側的兩點，過點A作直線l的對稱點A′，連接A′B交直線l于點P，連接AP，則稱點P為點A，B關于直線l的“等角點”．

(2)若直線l垂直于x軸，點P(m，n)是點A，B關于直線l的等角點，其中m>2，∠APB=α，

(3)若點P是點A，B關于直線y=ax+b(a≠0)的等角點，且點P位于直線AB的右下方，當∠APB=60°時，求b的取值范圍(直接寫出結果)．

【意猶未盡】圖5中，如果我們換一個角度去思考：PA+PB的最小值是否同樣存在著探究的方向和靈感所在呢？譬如在已知點A(1，2)和B(-1，-2)的條件下，(1)當直線MN∥AB時，PA+PB的值與∠APB的大小有著怎樣的關系？(2)當∠APB=60°時，PA+PB的取值范圍是多少？

只要“課本與探究”無縫對接——那是因為我們時常用好教材的同時，需要把數(shù)學核心思想滲透到學生自主學習的各個領域，讓以學為中心作為支撐點，讓逐步養(yǎng)成探究的習慣作為平衡點，那么“減負與增效”必定同步奔跑、同時給力！