基于知識(shí)主動(dòng)建構(gòu)的教學(xué)設(shè)計(jì)、演繹和訓(xùn)練
——以“二次函數(shù)的幾何應(yīng)用”為例

■ 鐘 鳴 陳 鋒

一、問題的提出

數(shù)學(xué)教師如何有效訓(xùn)練學(xué)生思維的深度與廣度，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)地建構(gòu)知識(shí)？筆者認(rèn)為，對(duì)于常態(tài)課而言，基于對(duì)知識(shí)的整體設(shè)計(jì)，深入知識(shí)的本質(zhì)和連接點(diǎn)，能訓(xùn)練學(xué)生的思維深度；基于學(xué)生現(xiàn)有水平，依據(jù)學(xué)情預(yù)設(shè)適合學(xué)生的問題串，逐層推進(jìn)、步步深入、系統(tǒng)演繹，能降低思考難度；基于問題的變式拓展，把握本質(zhì)不變規(guī)律，能訓(xùn)練學(xué)生的思維廣度。下面，筆者以“二次函數(shù)的幾何應(yīng)用”一課的教學(xué)過程與反思為例，談一談如何幫助學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)。

二、基于知識(shí)主動(dòng)建構(gòu)的教學(xué)設(shè)計(jì)、演繹和訓(xùn)練

1.課堂引入整體設(shè)計(jì)。

“二次函數(shù)的幾何應(yīng)用”是數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)部運(yùn)用，是函數(shù)應(yīng)用的例子，其關(guān)聯(lián)代數(shù)與幾何，有很強(qiáng)的綜合性，是近幾年各地中考的熱點(diǎn)。本節(jié)課是繼教材中二次函數(shù)內(nèi)容結(jié)束后，對(duì)二次函數(shù)拋物線與幾何圖形之間綜合問題的微專題探究?；诙魏瘮?shù)的整體知識(shí)，圍繞學(xué)生已掌握的內(nèi)容，筆者開展了如下的課堂導(dǎo)入。

師：近段時(shí)間我們一直在研究二次函數(shù)，你能說說處理二次函數(shù)的關(guān)鍵是什么嗎？

生1：二次函數(shù)的表達(dá)式。

師：求出二次函數(shù)表達(dá)式的關(guān)鍵又是什么？

生2：點(diǎn)。

師：由此可見，點(diǎn)是解決二次函數(shù)問題的金鑰匙。有了點(diǎn)的坐標(biāo)就可以求出二次函數(shù)的表達(dá)式，反之有了二次函數(shù)的表達(dá)式就可以用表達(dá)式表示點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而表示與它相關(guān)的量。那么，點(diǎn)的坐標(biāo)可以表示哪些與它相關(guān)的量呢？

生3：利用點(diǎn)的坐標(biāo)可以表示線段長(zhǎng)，由線段可以聯(lián)系角度。

師：線段和角是幾何圖形的元素。圖形問題可以因此轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，從而進(jìn)行數(shù)形雙向聯(lián)系。

板書：

式→點(diǎn)→線（角）→形；

形→線（角）→點(diǎn)→式。

師：對(duì)于這個(gè)思路，我們?cè)谝淮魏瘮?shù)、反比例函數(shù)中反復(fù)經(jīng)歷。二次函數(shù)與幾何圖形問題的基本處理方法也應(yīng)如此。

基于整體的，才是生長(zhǎng)的、深入的。筆者從二次函數(shù)的解析式與點(diǎn)說起，由點(diǎn)到線，再由線到角，又由線和角到形，將二次函數(shù)與相關(guān)的知識(shí)關(guān)聯(lián)起來，橫向溝通，打通函數(shù)與圖形的內(nèi)在聯(lián)系；指出一次函數(shù)與反比例函數(shù)中的相同經(jīng)驗(yàn)，縱向聯(lián)系，抓住知識(shí)方法背后的不變本質(zhì)。抓住本質(zhì)方能正確遷移，打通聯(lián)系才能自然聯(lián)想，引導(dǎo)學(xué)生避免“只見樹木不見森林”的狹隘思維，帶領(lǐng)學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)的自然生長(zhǎng)、方法的逐步深入、思想的漸次升華。

2.課堂例題系統(tǒng)演繹。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）指出，數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，特別是課堂教學(xué)，應(yīng)激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。創(chuàng)造性的思維一定是有深度的。由于九年級(jí)學(xué)生已具備一定的分析問題的能力，有獨(dú)特的解決函數(shù)問題的方法（課堂導(dǎo)入部分會(huì)給學(xué)生充分表達(dá)自己方法的機(jī)會(huì)和時(shí)間），基于學(xué)生實(shí)際水平，筆者讓學(xué)生圍繞二次函數(shù)與幾何應(yīng)用的核心問題展開學(xué)習(xí)，鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。在例題教學(xué)部分，筆者進(jìn)行了如下設(shè)計(jì)。

例 如圖，拋物線y=ax2-2ax+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），拋物線經(jīng)過點(diǎn)（2，-3），與y軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為點(diǎn)D。

師：（示范讀題）根據(jù)這些條件，你能得到什么？

生4：求出函數(shù)解析式為y=x2-2x-3，用兩點(diǎn)的坐標(biāo)（-1，0）、（2，-3）代入，就能求出它的解析式。

師：還可以求什么？

生5：利用解析式求出對(duì)稱軸為直線x=1；求出點(diǎn)坐標(biāo)B（3，0）、C（0，-3）；利用對(duì)稱及解析式可以求得D坐標(biāo)（1，-4）。

師：除了剛才的方法，求拋物線的解析式還有哪些方法？

師：不計(jì)算能說明此函數(shù)必經(jīng)過（0，-3）嗎？為什么？

生7：利用對(duì)稱軸直線x=1及點(diǎn)（2，-3），由對(duì)稱性直接求出C（0，-3）。

師：還可以獲得些什么？

生8：可以求線段所在直線的解析式，如直線BC的解析式為y=x-3。

生9：可以求線段的長(zhǎng)度，如AB=4。

生10：可以求一些直線與x軸、y軸的特殊夾角，如BC與y軸夾角為45°。

師：除了考慮到了求點(diǎn)坐標(biāo)、線段（或直線）解析式、長(zhǎng)度及一些特殊角度外，你還會(huì)聯(lián)想到什么？

生11：把得出的線段長(zhǎng)、角度放入幾何圖形中去。

師：對(duì)，例如放到三角形中去……

基于學(xué)生的，才是適切的、深刻的。教師基于學(xué)生的已有基礎(chǔ)設(shè)計(jì)問題，引發(fā)學(xué)生自然聯(lián)想，這樣設(shè)計(jì)問題才是適切的；在學(xué)情預(yù)設(shè)和學(xué)生現(xiàn)場(chǎng)回答的情況下，適時(shí)追問，不斷促使學(xué)生思維走向深刻。問題與追問，共同構(gòu)成了深度思維的系統(tǒng)演繹過程，有利于學(xué)生深度思維的培養(yǎng)。筆者基于學(xué)生的學(xué)情，設(shè)計(jì)這樣的問題與問題串，起步低、落腳高，引導(dǎo)學(xué)生從二次函數(shù)的解析式特征獲知有用信息，自主探究，在追問質(zhì)疑中生成有深度、高質(zhì)量的思維活動(dòng)。

3.課堂探究變式訓(xùn)練。

把握事物的本質(zhì)不是直接告訴學(xué)生本質(zhì)是什么，而是要讓學(xué)生通過主動(dòng)探究和體驗(yàn)，在變化中抓住不變的本質(zhì)；要通過一個(gè)背景展開教學(xué)過程，進(jìn)行變式探究，在變式中剝離非本質(zhì)屬性，呈現(xiàn)知識(shí)、方法的本質(zhì)特征，讓學(xué)生站得高，想得深遠(yuǎn)。筆者基于一個(gè)簡(jiǎn)單背景進(jìn)行變式訓(xùn)練，將涉及三角形的問題一一呈現(xiàn)，如定面積問題、面積最大問題、直角三角形問題、相似三角形問題等，將學(xué)生的思維引向深入，讓學(xué)生在變化中感悟不變的思想方法。這無疑是復(fù)習(xí)課激發(fā)學(xué)生深度參與的一種方式。

探究問題：例題的條件不變，在此拋物線上找一點(diǎn)P，使△ACP為直角三角形，這樣的P點(diǎn)有幾個(gè)？并求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

變式1：將“點(diǎn)P在拋物線上”改成“點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上”。（讓學(xué)生略微分析方法思路）

變式2：將“△ACP為直角三角形”改為“△ACP為等腰三角形”。

（由學(xué)生總結(jié)構(gòu)造直角三角形與等腰三角形的基本技能：判斷是否有兩定點(diǎn)；在兩定點(diǎn)前提下由“兩線一圓”構(gòu)造直角三角形、由“兩圓一線”構(gòu)造等腰三角形。）

變式3：在對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使以C、D、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？（也讓學(xué)生思考一下找全等三角形的方法。）

變式4：請(qǐng)?jiān)趻佄锞€上找一點(diǎn)P，使△BCD的面積與△CDP的面積相等，并求點(diǎn)P坐標(biāo)。

變式5：此拋物線上是否存在使△CDP的面積最大的點(diǎn)P？

基于變式的，才是本質(zhì)的、深遠(yuǎn)的。這組變式由例題背景出發(fā)，層層遞進(jìn)，或構(gòu)建特殊三角形并變換形狀，或引入相似，或求面積，或找最值。通過豐富的變式，既減少學(xué)生熟悉題目的時(shí)間，又減少機(jī)械低效的計(jì)算。學(xué)生在不斷的變式中，抓住分析問題的通法，抓住幾何圖形的性質(zhì)，學(xué)會(huì)了轉(zhuǎn)化問題的思想方法，提升了解題能力。

三、教學(xué)反思

1.整體設(shè)計(jì)要系統(tǒng)整合。

本節(jié)課的主題是“二次函數(shù)的幾何應(yīng)用”，筆者在教材的整合上體現(xiàn)了整體性。在九年級(jí)上學(xué)期二次函數(shù)的應(yīng)用中盡管包羅萬象，但是拋物線與直線形圖形的綜合無非就是特殊圖形的存在性問題、面積的最值問題、圖形之間特殊的關(guān)系問題等。站在九年級(jí)教學(xué)的系統(tǒng)角度來看，對(duì)于本節(jié)課，要先整體感知、宏觀把握，然后到九年級(jí)下學(xué)期專題復(fù)習(xí)之時(shí)再劃分類別、各個(gè)擊破。這是一種有層次、有節(jié)奏的系統(tǒng)規(guī)劃。

2.系統(tǒng)整合要瞻前顧后。

本節(jié)課從拋物線的點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算開始，由點(diǎn)的坐標(biāo)得到線段的長(zhǎng)、直線的表達(dá)式，再由線的計(jì)算進(jìn)入基本圖形——三角形的形狀研究和大小計(jì)算，帶領(lǐng)學(xué)生研究了特殊的三角形——直角三角形的存在問題、面積的計(jì)算問題和面積的最值問題，復(fù)習(xí)運(yùn)用了二次函數(shù)、一次函數(shù)、勾股定理等基礎(chǔ)知識(shí)，總結(jié)提煉了直角三角形存在問題的“兩線一圓”找點(diǎn)法和等腰三角形存在問題的“兩圓一線”找點(diǎn)法，滲透了將面積求解轉(zhuǎn)化為“軸上形”的轉(zhuǎn)化思想。由此再進(jìn)一步帶領(lǐng)學(xué)生往后眺望。學(xué)生掌握了拋物線與三角形之間的相關(guān)知識(shí)處理方法后，必將可以類比這些方法解決與其他圖形（如四邊形、五邊形、多邊形，甚至圓）間的關(guān)聯(lián)問題，解答與圖形的形狀確定、圖形的面積大小、圖形之間的聯(lián)系問題，讓學(xué)生多角度體驗(yàn)，思維真正地由淺到深得以鍛煉。

3.系統(tǒng)演繹要環(huán)環(huán)相扣。

教師站位要比較高，對(duì)知識(shí)點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)、題與題之間的銜接要自然巧妙。學(xué)生在筆者的啟發(fā)引導(dǎo)下不僅能深入課堂，而且在思維的廣度和深度上都得到了有效訓(xùn)練，自然地獲得深刻體驗(yàn)。筆者從一開始的開放式問答就抓住了學(xué)生的注意力，由點(diǎn)到線，再到形，引出了本節(jié)課的重點(diǎn)，在給出題目后設(shè)置了一連串追問：“看到這些信息，你想到了什么？”“c是多少，怎么求的？”“不用計(jì)算，你能說說拋物線肯定經(jīng)過（0，-3）的理由嗎？”“除了剛才的方法，求這個(gè)拋物線的解析式還有哪些方法？”以此促使學(xué)生不斷深入思考，培養(yǎng)了學(xué)生的讀題、審題、篩選信息的技能。