基于Tukey法改進(jìn)時(shí)間序列平穩(wěn)性檢驗(yàn)的分段檢驗(yàn)法

蔡林芝，呂王勇

（四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院，成都 610068）

0 引言

常用的時(shí)間序列平穩(wěn)性檢驗(yàn)方法可分為時(shí)序圖判斷法[1,2]、自相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)法[3-5]、分段檢驗(yàn)法[1]、游程檢驗(yàn)法[6,7]四種。時(shí)序圖法與自相關(guān)系數(shù)法都是根據(jù)圖形特征來(lái)判定序列平穩(wěn)性，有一定的主觀性[1]，而游程檢驗(yàn)法和分段檢驗(yàn)法都采用假設(shè)檢驗(yàn)，可信度高。分段檢驗(yàn)先對(duì)序列分段，再分別對(duì)段與段之間均值與協(xié)方差函數(shù)是否相等進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，若有一個(gè)假設(shè)不成立則原時(shí)間序列就為非平穩(wěn)的。需要進(jìn)行多個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)，若每一個(gè)檢驗(yàn)犯第一類錯(cuò)誤的概率為α，則各段均值與自協(xié)方差函數(shù)都相等的假設(shè)累計(jì)犯第一類錯(cuò)誤的概率均會(huì)超過(guò)α，即由于樣本的隨機(jī)性會(huì)使得各段序列均值與自協(xié)方差函數(shù)被誤判為不全相等的概率均會(huì)超過(guò)α，從而使平穩(wěn)時(shí)間序列被誤判為非平穩(wěn)的概率增大，降低了分段檢驗(yàn)的可信度。

Tukey于1951年提出的Tukey法[8]是解決多個(gè)水平均值中兩兩均值相等的檢驗(yàn)同時(shí)發(fā)生概率低的有效方法，構(gòu)造一個(gè)t化極差統(tǒng)計(jì)量，將其犯第一類錯(cuò)誤的概率控制在α以內(nèi)。本文基于Tukey法，在均值與自協(xié)方差函數(shù)兩兩比較中各構(gòu)造一個(gè)t化極差檢驗(yàn)，分別給定檢驗(yàn)臨界值，比較t化極差統(tǒng)計(jì)量與其相應(yīng)臨界值的大小；若小于相應(yīng)的臨界值，則認(rèn)為各段均值間或自協(xié)方差函數(shù)間無(wú)顯著性差異，將其犯第一類錯(cuò)誤的概率均控制在α以內(nèi)，即由于樣本的隨機(jī)性使得各段序列均值與自協(xié)方差函數(shù)被誤判為不全相等的概率控制在α以內(nèi)，降低了序列被誤判為非平穩(wěn)的概率，提高了時(shí)間序列分段檢驗(yàn)的有效性。

1 經(jīng)典的分段檢驗(yàn)理論

通常將按照時(shí)間順序排列的隨機(jī)序列 X1，X2，...，XN稱為一個(gè)時(shí)間序列，簡(jiǎn)記為{Xt，t∈T}。對(duì)每個(gè)給定的時(shí)刻t，Xt是一個(gè)隨機(jī)變量。若時(shí)間序列{Xt}的二階矩存在，且滿足：

①對(duì)?t∈T，EXt=μ；

②對(duì)?t，s∈T，E(Xt-μ)(Xs-μ)=γt-s=γτ，

就稱{Xt}為平穩(wěn)時(shí)間序列，其中τ=t-s為時(shí)間間隔，γτ為{Xt}的間隔為τ的自協(xié)方差函數(shù)。若{Xt}為平穩(wěn)序列，將其等分為k段，則每段也應(yīng)平穩(wěn)，且段與段之間的均值、自協(xié)方差函數(shù)也相等。用 μ(i)，，i=1，2，...k 分別表示第i段的總體均值與間隔為τ的自協(xié)方差函數(shù)，則有：

現(xiàn)用分段檢驗(yàn)的方法檢驗(yàn)長(zhǎng)度為N的時(shí)間序列的平穩(wěn)性，將其均分成長(zhǎng)度為M的k個(gè)子序列，則N=M·k。若每個(gè)子序列服從正態(tài)分布或近似服從正態(tài)分布，用隨機(jī)變量 X(i)，i=1，2，...，k 表示子序列總體，則有 X（i)～N(μ(i)，σ)，其中 σ為第i段總體方差。檢驗(yàn)任意兩段均值與自協(xié)方差函數(shù)是否有顯著差異，若其均無(wú)明顯差異，則認(rèn)為總體序列是平穩(wěn)的；若至少有一組存在顯著性差異，則認(rèn)為是非平穩(wěn)的。由此，需以顯著性水平α分別檢驗(yàn)C組兩兩均值以及C組兩兩自協(xié)方差函數(shù)是否相等[9,10]，至少有一組存在顯著差異的概率均為1-(1-α。故當(dāng)k＞2時(shí)，兩兩均值檢驗(yàn)，兩兩協(xié)方差函數(shù)檢驗(yàn)犯第一類錯(cuò)誤的概率均會(huì)超過(guò)水平α，且隨著k增加，會(huì)使得其犯第一類錯(cuò)誤的概率均大大增加，檢驗(yàn)的有效性低。本文基于Tukey法在均值與自協(xié)方差函數(shù)兩兩比較中各構(gòu)造一個(gè)t化極差統(tǒng)計(jì)量，使得分段檢驗(yàn)中各段均值都相等與自協(xié)方差函數(shù)都相等的假設(shè)累計(jì)犯第一類錯(cuò)誤的概率均控制在α以內(nèi)，降低了序列被誤判為非平穩(wěn)的概率，提高了時(shí)間序列分段檢驗(yàn)的有效性。

2 基于Tukey法的總體均值兩兩檢驗(yàn)

設(shè)樣本序列 x1，x2，...，xN為時(shí)間序列 X1，X2，...，XN的一次觀測(cè)，將其均分成長(zhǎng)度為M的k個(gè)子序列，分段后樣本子序列可表示為為正態(tài)或近似正態(tài)總體的樣本。對(duì)于這k個(gè)子序列，分別計(jì)算它們的樣本均值與樣本自協(xié)方差函數(shù)如下：

分別檢驗(yàn)第i段與第z段(1≤i＜z≤k)總體均值是否相等，構(gòu)成了一個(gè)多重比較，即以顯著性水平α分別檢驗(yàn)如

其中：

為σ2的無(wú)偏估計(jì)。則檢驗(yàn)問(wèn)題在水平α下的接受域?yàn)椋?/p>

故有：

因此：

是自由度為k，N-k的t化極差分布[12,13]，當(dāng)取定P(W|都成立)=α?xí)r，為t化極差分布的右側(cè)α分位數(shù) q1-α(k，N-k)，可由t化極差分布表查得。此時(shí)，檢驗(yàn)問(wèn)題在水平α下的接受域?yàn)椋?/p>

因此，本文基于Tukey法構(gòu)造的一個(gè)t化極差檢驗(yàn)，將各段均值都相等的假設(shè)累計(jì)犯第一類錯(cuò)誤的概率控制在α內(nèi)，降低了序列均值被誤判為不全相等的概率，提高了時(shí)間序列分段檢驗(yàn)的有效性。

3 基于Tukey法的總體自協(xié)方差函數(shù)的兩兩檢驗(yàn)

當(dāng) τ=0，1，...，M-1 時(shí)，分別檢驗(yàn)第 i段與第 z 段(1≤i＜z≤k)總體自協(xié)方差是否相等，則對(duì)?τ=0，1，...，M-1都將進(jìn)行C次兩兩自協(xié)方差檢驗(yàn)。由中心極限定理知隨機(jī)變量，此時(shí)對(duì)第 i段與第z段總體自協(xié)方差函數(shù)是否相等的假設(shè)檢驗(yàn)如下：

其中：

ρτ為總體自相關(guān)系數(shù)，s為σ的無(wú)偏估計(jì)。則檢驗(yàn)問(wèn)題H(τ)在水平α下的接受域?yàn)椋?/p>

其中，cτ應(yīng)在都成立)確定。

其中：

因此，本文基于Tukey法構(gòu)造的t化極差檢驗(yàn)，將各段自協(xié)方差函數(shù)都相等的假設(shè)累計(jì)犯第一類錯(cuò)誤的概率控制在α內(nèi)，降低了序列自協(xié)方差函數(shù)被誤判為不全相等的概率，提高了時(shí)間序列分段檢驗(yàn)的有效性。

4 總結(jié)

分段檢驗(yàn)是研究時(shí)間序列平穩(wěn)性的常用方法，傳統(tǒng)的分段檢驗(yàn)理論會(huì)使平穩(wěn)時(shí)間序列被誤判為非平穩(wěn)的概率增大，有效性低。本文基于Tukey法在各段均值與自協(xié)方差函數(shù)相等的檢驗(yàn)中各構(gòu)造了一個(gè)t化極差統(tǒng)計(jì)量，減少了檢驗(yàn)犯第一類錯(cuò)誤的概率，從而降低了平穩(wěn)序列被誤判為非平穩(wěn)的概率，提高了時(shí)間序列平穩(wěn)性檢驗(yàn)的分段檢驗(yàn)方法的有效性。