初中幾何證明解題規(guī)范的問題與方法探索

□ 海南省保亭思源實(shí)驗(yàn)學(xué)校 陳祖艷

許多學(xué)生認(rèn)為幾何證明是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中很大的難點(diǎn)，特別是有時(shí)自己有思路但說不出，或者不會寫推理過程，又或者好不容易寫出來過程后又不規(guī)范，因此在數(shù)學(xué)考試中往往因?yàn)閹缀巫C明部分得分低始終得不到更高的分?jǐn)?shù)。其實(shí)，初中幾何證明的學(xué)習(xí)并不難，所考察的知識點(diǎn)也都是比較基礎(chǔ)，但幾何證明被作為初中數(shù)學(xué)中招考試的必考考點(diǎn)，主要是為了發(fā)展空間觀念、培養(yǎng)幾何直覺、感受幾何與生活及其他學(xué)科之間的密切關(guān)系，對培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的邏輯思維和推理能力有著十分重要的作用。很多學(xué)生之所以學(xué)不好幾何證明，很大部分的原因都是因?yàn)檎也粶?zhǔn)方向，或者沒有好的解題思路，不然就是沒有規(guī)范解題過程。因此，只要找出幾何證明解題的問題，對癥使用解題方法，進(jìn)而對規(guī)范的解題過程進(jìn)行加強(qiáng)訓(xùn)練，提高幾何得分率就不成問題。

一、初中生幾何證明解題規(guī)范的問題

為了能夠準(zhǔn)確了解學(xué)生在幾何證明過程中出現(xiàn)的問題，筆者進(jìn)行了問卷調(diào)查，共發(fā)出問卷3286份，回收3231份，回收率達(dá)98.33%。調(diào)查結(jié)果顯示，學(xué)生的幾何證明解題很不規(guī)范，其狀況不容樂觀，主要有以下幾個(gè)方面：

1.對題目中出現(xiàn)的符號語言、圖形語言的專業(yè)術(shù)語不能夠正確地理解，造成審題不清。比如，弄不清楚“因?yàn)椤焙汀八浴被虬亚笞C當(dāng)已知來用，步驟重復(fù)較多或漏步驟，再者出現(xiàn)文章式步驟的毛病：

案例：如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=56°，CD=CB，求∠ABD 的度數(shù)？

不規(guī)范證明：∵∠ABC=90°，∠A=56°

∴180°-∠ABC-∠A=34°

∴∠C=34°

∵CD=CB

∴∠CDB=∠DBC

∵180°-∠C=∠CDB+∠BDC

∴∠CDB+∠DBC=146°

∴∠DBC=73°

∵∠ABC-∠DBC=∠ABD

∴∠ABD=17°

規(guī)范證明：∵∠ABC=90°，∠A=56°

∴∠C=180°-∠ABC-∠A=34°

∴∠C=34°

∵CD=CB

∴∠CDB=∠DBC=（180°-∠C）/2=（180°-34°）/2=73°（以下三句粗體字可合并寫成這一句）

∵180°-∠C=∠DBC+∠BDC

∴∠CDB+∠DBC=146°

∴∠DBC=73°

∵∠ABC-∠DBC=∠ABD

∴∠ABD=17°

后面兩句可以規(guī)范寫成∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=90°-73°=17°

2.對于題目中的條件不會聯(lián)想或者不會用幾何語言表達(dá)，也沒有養(yǎng)成把條件標(biāo)注在幾何圖形上的好習(xí)慣，語句比較混亂,造成書寫不規(guī)范,主要表現(xiàn)在過程表達(dá)較為隨意,不夠嚴(yán)謹(jǐn),常常出現(xiàn)多余的書寫步驟或少寫出必要的步驟,對圖形、文字、符號三種語言的轉(zhuǎn)換存在困難。比如下面的兩個(gè)案例：

（1）一次性寫出題目的條件，證明過程較亂。

案例1：如圖，在△ABC中，∠BAC=120°,∠B=30°,AD⊥AB,垂足為 A，CD=1c m，求 AB 長。

不規(guī)范解：在△ABC中

∵∠BAC=120°, ∠B=30°,AD⊥AB，CD=1cm（這里就是一次性寫出題目條件）

∴AD=CD=1

∴BD=2AD=2

規(guī)范解:

∵AD⊥AB

∴∠DAB=90°

∴ ∠BDA=180°-∠DAB-∠B=180°-90°-30°=60°

∴∠C=∠BDA-∠DAC=60°-30°=30°

∴AD=CD=1

又 ∵∠BAC=120°，∠B=30°

∴∠DAC=∠BAC-∠DAB=120°-90°=30°

∴BD=2AD=2

在RT△ABD中

（2）缺少條件，證明過程不夠嚴(yán)謹(jǐn)。

案例 2：如圖所示，在四邊形 ABCD 中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，則四邊形EFGH是平行四邊形嗎？為什么？

不規(guī)范證明：∵BE∥DF，BE=DF

∴∠BEC=∠DFC

∴△AFD≌△CEB（SAS）

∴∠1=∠2

∴AD∥BC，AD=BC

∴四邊形ABCD是平行四邊形

規(guī)范證明：∵BE∥DF，BE=DF

∵AE=CF （粗體部分是學(xué)生缺漏的條件）

∴AE+EF=CF+EF

∴AF=CE

∴∠BEC=∠DFC

∴△AFD≌△CEB（SAS）

∴∠1=∠2

∴AD∥BC，AD=BC

∴四邊形ABCD是平行四邊形

（3）對幾何的概念、性質(zhì)定理、判定定理的識記混亂和理解流于表面,易忽略各定理適用的條件和范圍和無法寫出正確的根據(jù)。比如，沒有根據(jù)的推理或根據(jù)不明確的案例：

如圖，E、F是四邊形ABCD的對角線AC上的兩點(diǎn),AE=CF,BE=DF,BE∥DF。

求證：四邊形ABCD是平行四邊形。

不規(guī)范證明：∵AE=CF

∴AC平分?ABCD

∴?ABCD是平行四邊形

規(guī)范證明：∵AE=CF

∴AE+EF=CF+EF

∴AF=CE

∵BE=DF

又∵BE∥DF

∴∠DFA=∠BEC

∴△DFA≌△BEC（SAS）

∴DA=BC,∠DAF=∠BCE

∴DA∥BC

∴?ABCD是平行四邊形

（4）對于需要借助添加輔助線來完成推理證明的題,感到無從下手,找不到連接題設(shè)與結(jié)論的橋梁，或找到但不在圖形標(biāo)注，在證明過程中不進(jìn)行描述。比如，過程中有輔助線語句而圖上沒有畫出輔助線的痕跡，或在證明解題過程時(shí)沒有用幾何語言寫出輔助線語句。

案例：如圖所示，在四邊形 ABCD 中，E、F、G、H 分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，則四邊形EFGH是平行四邊形嗎？為什么？

解:四邊形EFGH是平行四邊形

理由如下：

連接BD（是學(xué)生不寫但過程中有BD的）

∵E、F、G、H 分別是 AB、BC、CD、DA 的中點(diǎn)

∴EH=BD,FG=BD

∵EH∥BD,FG∥BD

∴EH=FG,EH∥FG注意：圖中也沒有畫出線段BD。

∴四邊形EFGH是平行四邊形

（5）對于文字證明題懶于畫圖，或是不會畫圖，或無法結(jié)合題意與圖形,或不會找出已知條件和求證,導(dǎo)致不能正確寫出證明過程。

（6）推理中邏輯上的錯(cuò)誤導(dǎo)致書寫證明過程出現(xiàn)循環(huán)論證、虛假理由、偷換命題。推理中邏輯上出現(xiàn)的書寫錯(cuò)誤的案例：

如圖所示，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，則四邊形EFGH是平行四邊形嗎？為什么？

不規(guī)范解：∵E、F、G、H 分別是 AB、BC、CD、DA 的中點(diǎn)

∴AH=HD,AD=BC

∴?EFGH是平行四邊形

規(guī)范解：四邊形EFGH是平行四邊形

理由如下：連接BD

∵E、F、G、H 分 別 是 AB、BC、CD、DA 的中點(diǎn)

∴EH=BD,FG=BD

∵EH∥BD,FG∥BD

∴EH=FG,EH∥FG

∴四邊形EFGH是平行四邊形

（7）在學(xué)習(xí)上遇到困難因?yàn)楹π呋蛘呤呛ε峦瑢W(xué)嘲笑而沒有及時(shí)地向老師、同學(xué)請教，造成知識上的盲點(diǎn)沒有及時(shí)掃清。

面對學(xué)生出現(xiàn)的種種不規(guī)范解題的問題，教師需要敢于面對現(xiàn)實(shí)，努力改進(jìn)教學(xué)方式、方法，從問題實(shí)際出發(fā)，把學(xué)生的練習(xí)、作業(yè)、試卷中具有針對性的解題不規(guī)范的問題收集并進(jìn)行診斷，及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題及時(shí)給予對癥下藥，掃除學(xué)生幾何證明題解題不規(guī)范的問題。

二、初中幾何證明規(guī)范解題的訓(xùn)練方法

1.牢固的幾何知識基礎(chǔ)是幾何證明規(guī)范解題的奠基石。如直線、射線、線段、角等相關(guān)概念的學(xué)習(xí)，要讓學(xué)生理解之后記住它，對點(diǎn)——線——角——三角形的表示法和畫法、識圖等加強(qiáng)練習(xí)和積累；能根據(jù)文字理解進(jìn)行畫圖或根據(jù)簡單圖用幾何語言表述，會識圖，特別是可從訓(xùn)練簡單圖形到稍復(fù)雜的圖形用幾何語言書寫出來。建議多做填空式證明題，教學(xué)中慢慢滲入數(shù)形結(jié)合的學(xué)習(xí)思想。

2.嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臅鴮戇^程是幾何證明規(guī)范解題的重要規(guī)則。特別是對“因?yàn)椤焙汀八浴毙枰獙懭氲氖鞘裁凑Z句要有胸有成竹的把握，為了便于說明書寫過程的規(guī)范，把“因?yàn)椤焙汀八浴边@一推理形式叫作一個(gè)二步推理。訓(xùn)練書寫方法可以從以下幾個(gè)方向入手：

（1）“因?yàn)椤币话愫竺鎸懙氖穷}目中明顯給出的直接可用條件，或者是上一個(gè)的二步推理的所得結(jié)論被當(dāng)作下一個(gè)二步推理的條件，寫入過程的“因?yàn)椤敝小?/p>

（2）“因?yàn)椤焙竺孢€喜歡放入圖形中隱藏的條件，如對頂角相等、全等的公共邊和公共角、互余、互補(bǔ)等條件的幾何語言。

（3）“因?yàn)椤边€可以放入一些題目給的不能馬上推出想要的結(jié)論的間接條件語句，這時(shí)可能會需要幾個(gè)二步推理，為下一輪的第二步推理創(chuàng)造必要條件，這時(shí)寫法就可以把后兩步的“因?yàn)椤焙颓耙粋€(gè)二步推理的“所以”兩個(gè)語句合并成一個(gè)，也就是省略后兩步的“因?yàn)椤奔纯?。而“所以”一般寫的就是用“因?yàn)椤蓖瞥鰜淼慕Y(jié)論。

（4）重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)的是每一個(gè)二步推理不管是“因?yàn)椤边€是“所以”寫入的語句都要有根據(jù)的，根據(jù)一般都是學(xué)習(xí)過的真命題，也就是定義、定理、公理等，初學(xué)者可以在語句后面用個(gè)括號寫出這個(gè)根據(jù)，以便后面方便檢查解題的過程是否嚴(yán)謹(jǐn)，合乎邏輯。

3.正確的邏輯思維是幾何證明規(guī)范解題的支撐點(diǎn)。初中幾何證明題解的思維一般有三種思維方式，在教學(xué)時(shí)可以訓(xùn)練學(xué)生靈活應(yīng)用，對證明規(guī)范解題有很大的幫助：

（1）正向思維。幾何證明過程邏輯思維培養(yǎng)從七年級課標(biāo)中就有強(qiáng)調(diào)，體現(xiàn)在七年級下冊就已經(jīng)從一道道帶填空的有“因?yàn)椤焙汀八浴钡膸缀握Z句串起來的半成品證明題目。不要小看這些填空證明題，它是訓(xùn)練學(xué)生已有一定的邏輯思維空間的正向思維訓(xùn)練，同時(shí)也可以檢查學(xué)生邏輯思維，教師要把學(xué)生的幾何思維通過這些空格把學(xué)生發(fā)散的思維有時(shí)帶向集中，有時(shí)又要把集中思維帶向發(fā)散，從而得到證明解題的正確思路，同時(shí)也初步得到幾何證明規(guī)范解題的認(rèn)識和訓(xùn)練。

（2）逆向思維。這是一種從題目的求證所提及的問題通過相反方向進(jìn)行成功尋找思路的方法。運(yùn)用逆向思維解題，能使學(xué)生從不同角度，不同方向思考問題，探索解題方法，從而拓寬學(xué)生的解題思路。

進(jìn)入八年級從教材來看，前兩章就開始進(jìn)入真正的幾何證明解題訓(xùn)練，特別是“證明三角形全等”的幾何證明題對訓(xùn)練學(xué)生正確的邏輯思維有很大的幫助，學(xué)生通過對七年級下冊的填空式證明題得到思維的初步訓(xùn)練，在八年級就可以進(jìn)一步加強(qiáng)規(guī)范解題訓(xùn)練：

第一，書寫嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明過程：加強(qiáng)推理中的“因?yàn)椤贝钜粋€(gè)“所以”的搭檔做法，提到“因?yàn)椤狈湃胧裁凑Z句，“所以”可以得到什么語句，根據(jù)是什么。

第二，不能丟棄的推理根據(jù)：每個(gè)“因?yàn)椤焙汀八浴钡耐评聿皇菬o中生有的，而是有根有據(jù)的，要講清理由和根據(jù)。理由和根據(jù)就是教材中學(xué)到的真命題，也就是定義、定理等。幾何證明解題的根據(jù)，關(guān)鍵處解釋方法是每次寫證明過程時(shí)都讓學(xué)生關(guān)注 “因?yàn)椤焙汀八浴钡那耙蚝蠊蛯W(xué)生所學(xué)過的什么定理、定義等概念相符，其實(shí)也就是根據(jù)中所用的真命題（定理、定義等概念）的題設(shè)就是描述“因?yàn)椤钡膸缀握Z句，而結(jié)論就是描述“所以”的幾何語句。簡單說就是真命題的前部分是強(qiáng)調(diào)“因?yàn)椤保蟛糠质侵С帧八浴背闪⒌摹?/p>

第三，串成一條線的邏輯思維：一個(gè)證明過程可能只用一個(gè)二步推理就得證，有時(shí)會用到幾個(gè)二步推理才能得證，其中從一個(gè)二步到另一個(gè)二步的過渡有可能是后面的二步不夠條件，要用到前一個(gè)二步推出的結(jié)果當(dāng)作后一個(gè)二步推理的條件才行。

（3）正逆結(jié)合。對于從結(jié)論很難分析出思路的題目，學(xué)生可以結(jié)合結(jié)論和已知條件認(rèn)真地分析，初中幾何證明中，一般所給的已知條件都是解題過程中要用到的，所以可以從已知條件中尋找思路，這也是一條重要線索。當(dāng)然解題解到一半沒有思路了，也可以再從所遇到的問題入手找尋解決方法或從求證開始再逆推去找卡住的緩解方法。正逆結(jié)合還可以在用正向思維證明出來后，用逆向思維進(jìn)行檢查證明過程的正確性。

4.文字證明題是訓(xùn)練初中幾何證明規(guī)范解題最完整版的體現(xiàn)。

八年級第二學(xué)期至九年級的幾何證明題不斷變化多向，綜合性強(qiáng)，邏輯思維也不斷升華，從一般證明題到文字證明題，還涉及反證證明題，這里重點(diǎn)說說文字證明題。文字證明題是沒有圖形、字母、數(shù)字，整個(gè)題目僅有文字。文字證明題要突破學(xué)生的審題——畫圖——寫已知、求證——寫證明過程的四環(huán)節(jié)訓(xùn)練。一個(gè)四環(huán)節(jié)過程下來需要寫的東西很多，就如出題似的，因此做這類證明題，可以很好地訓(xùn)練學(xué)生的解題書寫的功底，還可以訓(xùn)練學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的滲入能力。文字證明題的每一環(huán)節(jié)都很重要，通過審題理解后畫出相應(yīng)圖形，再用字母正確標(biāo)識，只要前面這兩環(huán)節(jié)做得好，就能輕易和規(guī)范寫出已知和求證，能把前三部分弄透弄懂，而規(guī)范的書寫證明過程就事半功倍了。

5.培養(yǎng)科學(xué)的演繹推理和合情推理是幾何證明規(guī)范解題的未來。就數(shù)學(xué)幾何證明而言,演繹推理是證明解題用于證明數(shù)學(xué)結(jié)論、建立數(shù)學(xué)體系的重要思維過程。但數(shù)學(xué)結(jié)論、證明思路等的發(fā)現(xiàn),主要靠合情推理。因此,學(xué)生要想掌握幾何證明規(guī)范解題的各環(huán)節(jié)，教學(xué)中還要注意對這兩種推理的初步滲透，這里不深入探討。這兩種推理的深入探討在以后的高中幾何證明學(xué)習(xí)也可以進(jìn)行。

初中幾何證明解題的規(guī)范問題不容忽視，要想提高學(xué)生的幾何成績，還需要對比問題，重視問題。