六自由度協(xié)作型機(jī)器人的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與運(yùn)動規(guī)劃

上海交通大學(xué)機(jī)械與動力工程學(xué)院 上海 200240

1 研究背景

機(jī)器人技術(shù)的發(fā)展已有數(shù)十年，但協(xié)作型機(jī)器人仍處于剛起步的狀態(tài)，協(xié)作型機(jī)器人是工業(yè)機(jī)器人未來的發(fā)展方向，具備力感知能力。不同于傳統(tǒng)工業(yè)機(jī)器人工作的圍欄封閉性，協(xié)作型機(jī)器人更適合于開放的環(huán)境，適用于同工人一起作業(yè)和裝配的柔性生產(chǎn)線環(huán)境[1-2]。在工業(yè)4.0環(huán)境下，未來的工廠不只是追求自動化和無人化，而是更傾向于人與機(jī)器人協(xié)作的一體化環(huán)境。協(xié)作型機(jī)器人的結(jié)構(gòu)更加緊湊，且更加輕便，最大特點(diǎn)在于關(guān)節(jié)的集成化程度高，具備碰撞、檢測、拖動示教的功能?，F(xiàn)有協(xié)作型機(jī)器人通常采用電機(jī)電流來控制關(guān)節(jié)力矩，實(shí)現(xiàn)協(xié)作型機(jī)器人物理接觸的安全性。但在負(fù)載增大時(shí)，仍存在安全性不足的問題。筆者研究的目的是設(shè)計(jì)一款具有關(guān)節(jié)力反饋功能的協(xié)作型機(jī)器人，提高其安全性。

在設(shè)計(jì)集成度較高的關(guān)節(jié)基礎(chǔ)上，同時(shí)采用力矩傳感器直接對外力進(jìn)行感知，使關(guān)節(jié)的力感知靈敏度更高。筆者完成了機(jī)械臂關(guān)節(jié)的詳細(xì)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，對一些關(guān)鍵連桿進(jìn)行了強(qiáng)度校核，建立了機(jī)器人的數(shù)學(xué)模型，完成了機(jī)器人從笛卡爾空間到關(guān)節(jié)空間的逆解，得到完全的解析解[3-4]。借助MATLAB軟件實(shí)現(xiàn)了基于正弦加減速的直線軌跡運(yùn)動算法和仿真，在試驗(yàn)平臺上驗(yàn)證了運(yùn)動學(xué)算法的正確性。

2 結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

2.1 集成化關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)

集成化關(guān)節(jié)的整個(gè)布局方案從輸入端到輸出端為電機(jī)驅(qū)動器、抱閘、位置傳感器、無框電機(jī)、諧波減速器、力矩傳感器。整個(gè)關(guān)節(jié)的設(shè)計(jì)剖面圖如圖1所示。

▲圖1 關(guān)節(jié)設(shè)計(jì)剖面圖

采用電磁鐵機(jī)構(gòu)抱閘代替?zhèn)鹘y(tǒng)干式雙面摩擦抱閘，體積小。傳統(tǒng)干式雙面摩擦抱閘鐵心中的剩磁會影響驅(qū)動器中的霍爾電流傳感器。

位置傳感器采用旋轉(zhuǎn)變壓器，輸出模擬正弦信號，抗干擾能力強(qiáng)，適用于比較惡劣的環(huán)境。同時(shí)，相比光電編碼器，旋轉(zhuǎn)變壓器在安裝轉(zhuǎn)軸時(shí)允許徑向和軸向有一定偏差，安裝更方便，并且安裝成本低。

走線管用于中空走線，可容納穿過整機(jī)的控制器局域網(wǎng)總線、電源線和力矩傳感器線。

諧波減速器選型時(shí)，確定對應(yīng)關(guān)節(jié)的平均負(fù)載轉(zhuǎn)矩Tm，并與相應(yīng)型號的平均負(fù)載轉(zhuǎn)矩允許最大值進(jìn)行比較。選型時(shí)要考慮關(guān)節(jié)加減速，將計(jì)算得到的平均負(fù)載轉(zhuǎn)矩乘以動態(tài)轉(zhuǎn)矩因數(shù) nd，nd為 1.4～1.8[5-6]。

平均負(fù)載轉(zhuǎn)矩Tm為：

式中：ti、Ni和Ti依次為機(jī)器人工作狀態(tài)i下的運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間、轉(zhuǎn)速和負(fù)載轉(zhuǎn)矩。

通過對各關(guān)節(jié)質(zhì)量的估算，得到六個(gè)關(guān)節(jié)的動態(tài)轉(zhuǎn)矩，見表1。諧波減速機(jī)選擇LHSG-CL-Ⅲ系列。

表1 關(guān)節(jié)動態(tài)轉(zhuǎn)矩值 N·m

2.2 機(jī)器人構(gòu)型

設(shè)計(jì)的機(jī)器人采用六自由度，負(fù)載質(zhì)量為5 kg，工作半徑不超過 1.2 m，關(guān)節(jié)速度不超過150（°）/s，整機(jī)質(zhì)量不超過38 kg。

機(jī)器人采用正交非球形手腕，保證手腕每個(gè)關(guān)節(jié)都能實(shí)現(xiàn)360°旋轉(zhuǎn)。整體構(gòu)型采用連續(xù)三軸平行，滿足Pieper準(zhǔn)則，機(jī)器人逆運(yùn)動學(xué)具有封閉解。機(jī)器人整機(jī)裝配體如圖2所示。

采用基于數(shù)值法的蒙特卡羅法可以繪制機(jī)器人的工作空間，其方法是離散取關(guān)節(jié)角度隨機(jī)值，并利用正運(yùn)動學(xué)方法求解機(jī)械臂末端點(diǎn)的位置。MATLAB軟件中提供了 rand（）函數(shù)，可以用來生成0和1之間的隨機(jī)值。

關(guān)節(jié)角度θ為：

式中：θmin為最小角度，θmin=-180°；θmax為最大角度，θmax=180°；8 000 為離散點(diǎn)。

▲圖2 機(jī)器人整機(jī)裝配體

利用fkine函數(shù)求出齊次變換陣，并利用plot函數(shù)繪制機(jī)械臂末端三維空間點(diǎn)。機(jī)器人點(diǎn)云圖如圖3所示。

關(guān)節(jié)和連桿材料選擇冷處理鍛壓7075鋁合金，具有良好的機(jī)械性能，強(qiáng)度高，加工和耐腐蝕性好，屈服強(qiáng)度為455 MPa，彈性模量為71 GPa。當(dāng)機(jī)器人手臂展開時(shí)，大臂和小臂的關(guān)節(jié)、連桿會承受較大的力，因此需要進(jìn)行有限元分析。圖4所示為大臂應(yīng)變和應(yīng)力，圖5所示為肩關(guān)節(jié)的應(yīng)變和應(yīng)力圖。

大臂整體所受的應(yīng)力和應(yīng)變均較小。肩關(guān)節(jié)連桿所受最大應(yīng)力為22 MPa，遠(yuǎn)小于7075鋁合金的屈服極限。最大應(yīng)力集中在肩關(guān)節(jié)兩個(gè)圓柱面相貫處，從工藝角度考慮，為避免應(yīng)力集中，在相貫處添加圓角。

▲圖3 機(jī)器人點(diǎn)云圖

3 Denavit-Hartenberg建模

筆者通過采用坐標(biāo)系后置方法，建立機(jī)械臂的Denavit-Hartenberg（DH）模型，這種方法可以使 DH模型的四個(gè)參數(shù)下標(biāo)一致，如圖6所示[7]。由DH模型可以得到協(xié)作機(jī)器人的DH參數(shù)，見表2。

表3 機(jī)器人DH參數(shù)表

4 機(jī)器人運(yùn)動學(xué)逆解

串聯(lián)機(jī)器人的正運(yùn)動學(xué)問題是已知四個(gè)DH參數(shù)，求機(jī)器人末端執(zhí)行器相對于基坐標(biāo)系的位姿。機(jī)器人逆運(yùn)動學(xué)問題是已知末端執(zhí)行器的位姿，計(jì)算六個(gè)關(guān)節(jié)變量的值，其逆解通常存在多個(gè)，最多有八個(gè)解。

采用代數(shù)法求機(jī)器人逆解，求解思路是通過變換機(jī)械臂末端執(zhí)行器相對于基坐標(biāo)系的齊次變換矩陣，得到方便求解每個(gè)關(guān)節(jié)值的方程，表達(dá)式為：

式中：iTj為坐標(biāo)系i相對于j的齊次變換矩陣。

▲圖4 大臂應(yīng)變與應(yīng)力

將式（3）等號左右兩邊的齊次變換矩陣對應(yīng)相等，可以得到求解關(guān)節(jié)角度值的步驟。 nX、nY、nZ、oX、oY、oZ、aX、aY及 aZ均為已知量，nX、nY、nZ為機(jī)器人末端坐標(biāo)系X軸在基坐標(biāo)系下三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影，oX、oY、oZ為機(jī)器人末端坐標(biāo)系Y軸在基坐標(biāo)系下三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影，aX、aY、aZ為機(jī)器人末端坐標(biāo)系Z軸在基坐標(biāo)系下三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影，pX、pY、pZ為機(jī)器人末端坐標(biāo)系原點(diǎn)在三個(gè)坐標(biāo)系下的值，求解步驟如下。

使齊次變換等式（3）的3行3列、3行4列分別對應(yīng)相等，可得到：

式中：si代表 sin θi；ci代表 cos θi。

將式（4）代入式（5），得到形如 Asin θ+Bcos θ=C 的表達(dá)式：

求關(guān)節(jié)1的兩個(gè)解：

根據(jù)式（4）求得關(guān)節(jié)5的四個(gè)解：

▲圖5 肩關(guān)節(jié)應(yīng)變與應(yīng)力

▲圖6 機(jī)器人DH模型

同理，聯(lián)立式（9）、式（10）可以解得關(guān)節(jié)6的四個(gè)解。

式中：c234代表 cos（θ2+θ3+θ4）；s234代表 sin（θ2+θ3+θ4）。

聯(lián)立式（11）、式（12）,可以解得關(guān)節(jié) 2、3、4 之和的四個(gè)解。

式中：c23代表 cos（θ2+θ3）；s23代表 sin（θ2+θ3）。

聯(lián)立式（13）、式（14）,可以分別解得關(guān)節(jié) 2、3 和 4的八個(gè)解。

綜上所述，可求得機(jī)械臂在每一種位姿下的多組關(guān)節(jié)值解。在選取最優(yōu)解的時(shí)候，按照與前一關(guān)節(jié)值二范數(shù)最小的原則，保證關(guān)節(jié)前進(jìn)角度值最小。需要注意的是，計(jì)算過程中要滿足各關(guān)節(jié)值在-π～π范圍內(nèi)的條件。

5 機(jī)器人空間直線規(guī)劃與仿真

對于直線運(yùn)動，其規(guī)劃是對末端位移時(shí)間曲線進(jìn)行規(guī)劃。 設(shè)起始點(diǎn)和終止點(diǎn)分別為 P0（x0，y0，z0）和 P1（x1，y1，z1），其位移時(shí)間坐標(biāo)系為｛S-t｝[8]。 位移 S（t）指機(jī)器人末端運(yùn)動軌跡距離初始點(diǎn)的距離。起始和終止兩點(diǎn)之間的距離L為：

設(shè)插補(bǔ)周期為Δt，經(jīng)過i次插補(bǔ)，即時(shí)間經(jīng)歷iΔt后，第i個(gè)插補(bǔ)點(diǎn)距離初始點(diǎn)的位移距離為Si，因此插補(bǔ)點(diǎn)Pi為：

為使機(jī)械臂運(yùn)動更加平穩(wěn)，還需要對末端加減速進(jìn)行規(guī)劃。采用正弦加減速算法，計(jì)算量適中，有利于實(shí)時(shí)性控制。

整個(gè)直線運(yùn)動過程分為三段：加速度為正弦曲線的加速過程、勻速運(yùn)動過程、加速度為正弦曲線的減速過程。在整個(gè)運(yùn)動過程中，需要標(biāo)記的參量為加速結(jié)束時(shí)間t1、減速開始時(shí)間t2、總運(yùn)動時(shí)間T、總位移L、正弦加減速最大加速度amax和勻速運(yùn)動速度Vave。運(yùn)動過程中的加速度表達(dá)式為：

式中：t為運(yùn)動時(shí)間；ω為正弦表達(dá)式角頻率。

對加速度積分和二次積分，速度和位移分別為：

需要選定最大加速度amax和勻速運(yùn)動速度Vave的值，并求出加速結(jié)束時(shí)間t1、減速開始時(shí)間t2、總運(yùn)動時(shí)間T。根據(jù)t1時(shí)刻加速度值為0，以及該時(shí)刻速度值為Vave，可以得到式（20），并解得 ω 和 t1。

得到加速段總位移和總運(yùn)動時(shí)間為：

于是可以得到總的插補(bǔ)點(diǎn)數(shù)量。

在計(jì)算過程中，需要注意當(dāng)勻速段的速度選擇過大，而加速度選擇過小時(shí)，可能會造成加速時(shí)間過長而無法在規(guī)定時(shí)間內(nèi)加速到設(shè)定的速度值，即出現(xiàn)t2＜t1的極端情況，因此，需要計(jì)算臨界情況下的速度Vcri，此時(shí)勻速段的位移為0，即t1=t2，可以得到：

因此，在給定加速段最大加速度和勻速段速度后，需要計(jì)算臨界速度，并判斷此時(shí)給定的勻速段速度是否大于臨界速度值。若大于，則要將該速度限制為臨界速度值[9-10]。整個(gè)計(jì)算流程如下。

根據(jù)起始點(diǎn)和給定的最大加速度和勻速段速度，求出各段運(yùn)動時(shí)間、總時(shí)間及總的插補(bǔ)點(diǎn)數(shù)量。

從第0個(gè)插補(bǔ)點(diǎn)開始，計(jì)算插補(bǔ)點(diǎn)的時(shí)刻t，并判斷此時(shí)插補(bǔ)點(diǎn)所處的時(shí)間段，計(jì)算出相應(yīng)的位移值。代入式（16），可以求出此時(shí)插補(bǔ)點(diǎn)的坐標(biāo)值。插補(bǔ)點(diǎn)向后遞增一個(gè)值，并判斷此時(shí)插補(bǔ)點(diǎn)是否已經(jīng)到了最后的插補(bǔ)點(diǎn)。如果到了，轉(zhuǎn)向下一步；如果沒到，仍然遞增一個(gè)值。

插補(bǔ)結(jié)束后，將所有插補(bǔ)點(diǎn)代入機(jī)械臂逆解方程，得到對應(yīng)的關(guān)節(jié)角度值。

在MATLAB軟件中編制機(jī)械臂逆解和正弦加減速直線運(yùn)動規(guī)劃程序，并進(jìn)行仿真。設(shè)起始點(diǎn)坐標(biāo)為（-15，40，60），終點(diǎn)坐標(biāo)為（25，50，70），初始姿態(tài)旋轉(zhuǎn)矩陣為單位矩陣，得到空間直線軌跡，如圖7所示。末端軌跡運(yùn)動速度為10 cm/s，正弦加速段最大加速度為20 cm/s2，插補(bǔ)周期為10ms。仿真得到末端軌跡的位移、速度和加速度曲線，依次如圖8、圖9、圖10所示。

從圖9中可以看出，經(jīng)過0.79 s后，機(jī)械臂末端加速到給定的勻速段運(yùn)動速度10 cm/s。到4.24 s時(shí)刻，末端開始減速，并于5.03 s時(shí)走完全程。從圖8～圖10中可以看到，整個(gè)過程位移、速度和加速度曲線都較平滑，且計(jì)算量不大，適合于在實(shí)時(shí)性要求較高的機(jī)器人控制器中作為直線軌跡運(yùn)動加減速規(guī)劃的算法。

▲圖7 空間直線軌跡

6 直線運(yùn)動試驗(yàn)

在機(jī)器人直線運(yùn)動過程中，通過總線位置請求的方式，以10 ms為周期，讀取各個(gè)關(guān)節(jié)的位置值，然后通過正運(yùn)動學(xué)計(jì)算機(jī)器人末端軌跡，并畫出曲線驗(yàn)證直線度。

考慮到總線上數(shù)據(jù)較多，為了方便獲取數(shù)據(jù)，可以通過控制器局域網(wǎng)通信協(xié)議的標(biāo)志符號進(jìn)行濾波設(shè)置，把不需要的控制器局域網(wǎng)通信報(bào)文過濾掉，只保留需要的位置反饋報(bào)文。

由于報(bào)文的反饋值有4 Byte，是從低位到高位的16進(jìn)制值，因此還需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，轉(zhuǎn)換成角度值，并在MATLAB軟件中畫出軌跡曲線。

圖11所示為機(jī)器人實(shí)際運(yùn)動過程中在空間的插補(bǔ)直線。

7 結(jié)論

筆者完成了具有集成化關(guān)節(jié)的協(xié)作型機(jī)器人結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，同時(shí)得到了機(jī)器人逆運(yùn)動學(xué)和空間直線軌跡規(guī)劃的算法。通過對機(jī)器人單關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動試驗(yàn)，證明了腕關(guān)節(jié)可以360°周轉(zhuǎn)。應(yīng)用MATLAB軟件進(jìn)行仿真，驗(yàn)證了機(jī)器人逆運(yùn)動學(xué)算法和空間直線規(guī)劃算法的正確性，并在搭建的試驗(yàn)平臺上完成了機(jī)器人空間直線運(yùn)動試驗(yàn)。在機(jī)器人運(yùn)動過程中，以10 ms為一個(gè)周期采集六個(gè)關(guān)節(jié)的實(shí)時(shí)角度值，并通過控制器局域網(wǎng)總線返回。利用正向運(yùn)動學(xué)計(jì)算并畫出機(jī)器人末端軌跡值，表明機(jī)器人末端軌跡具有良好的線性度。

▲圖8 末端軌跡位移曲線

▲圖10 末端軌跡加速度曲線

▲圖11 空間插補(bǔ)直線