基于臺(tái)架變形修正算法的滾珠絲杠副接觸剛度測(cè)量*

□ 隋浩楠 □ 張為民，2 □ 羅 亮 □ 李志強(qiáng)

1.同濟(jì)大學(xué)機(jī)械與能源工程學(xué)院 上海 201804

2.同濟(jì)大學(xué)中德學(xué)院 上海 201804

1 研究背景

近年來，數(shù)控機(jī)床高速、高精度的發(fā)展趨勢(shì)要求進(jìn)給系統(tǒng)具有更高的性能，滾珠絲杠副以較高的剛度和定位精度廣泛應(yīng)用在數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)中[1]。然而，滾珠絲杠副接合部的絲杠和螺母之間并不是剛性連接，而是存在一定的柔性，因此在機(jī)床運(yùn)行過程中，滾珠絲杠副在外力的作用下會(huì)產(chǎn)生微小變形，導(dǎo)致剛度發(fā)生變化[2-3]。 尤其是在高速運(yùn)行過程中，傳動(dòng)部件剛度的變化會(huì)對(duì)進(jìn)給系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)精度和動(dòng)態(tài)特性產(chǎn)生很大影響[4]。因此，滾珠絲杠副接觸剛度的準(zhǔn)確測(cè)量對(duì)于機(jī)床運(yùn)動(dòng)控制，以及發(fā)揮機(jī)床高速、高精度的性能具有重要意義。

現(xiàn)有的滾珠絲杠副接觸剛度測(cè)量裝置結(jié)構(gòu)復(fù)雜，成本較高[5]，且沒有考慮臺(tái)架在試驗(yàn)載荷下產(chǎn)生的微小變形對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響[6-7]。筆者提出一種基于臺(tái)架變形修正的接觸剛度測(cè)量方法，臺(tái)架結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，可重復(fù)性強(qiáng)，并且通過臺(tái)架變形修正算法，提高了滾珠絲杠副接觸剛度的測(cè)量精度。

2 接觸剛度測(cè)量原理

滾珠絲杠副接觸剛度定義為在軸向力的作用下，產(chǎn)生單位變形量時(shí)所需的軸向力[8-9]。滾珠絲杠副接觸剛度測(cè)量原理如圖1所示，限制螺母的軸向自由度和旋轉(zhuǎn)自由度，同時(shí)限制絲杠的旋轉(zhuǎn)自由度。在絲杠前端施加軸向載荷δF，接合部前端絲杠受到擠壓而產(chǎn)生變形，而接合部后端絲杠相當(dāng)于一根支點(diǎn)位于接合部的懸臂梁，在軸向不發(fā)生變形，則絲杠末端測(cè)得的軸向位移δd即為接合部部件所產(chǎn)生的接觸變形，如此可得待測(cè)滾珠絲杠副接觸剛度測(cè)量值K=δF/δd。

3 臺(tái)架設(shè)計(jì)

根據(jù)上述測(cè)量原理，設(shè)計(jì)滾珠絲杠副接觸剛度測(cè)量臺(tái)架，如圖2所示。臺(tái)架由滾珠絲杠、基座、固定支撐部件，以及力和位移檢測(cè)元件等組成，其中調(diào)整塊、擋塊用于調(diào)整和固定三個(gè)支撐塊，防轉(zhuǎn)擋板用于限制被測(cè)絲杠的轉(zhuǎn)動(dòng)，力傳感器、加載螺柱和被測(cè)絲杠構(gòu)成加載與檢測(cè)裝置，力傳感器一端與支撐塊連接，另一端通過加載螺柱與絲杠前端接觸，通過旋轉(zhuǎn)加載螺柱對(duì)絲杠施加軸向載荷，使之產(chǎn)生軸向位移，位移信號(hào)利用安裝在絲杠末端的電渦流傳感器進(jìn)行采集，從而獲得計(jì)算接觸剛度所需的力和位移數(shù)據(jù)。

▲圖1 滾珠絲杠副接觸剛度測(cè)量原理

▲圖2 滾珠絲杠副接觸剛度測(cè)量臺(tái)架

4 臺(tái)架變形分析

采用有限元方法對(duì)接觸剛度測(cè)量臺(tái)架在軸向載荷作用下的變形進(jìn)行分析。根據(jù)實(shí)際安裝、調(diào)整和加載方式，可以省去固定和支撐部件等非受力部件，保留1號(hào)、3號(hào)支撐塊，以及絲杠、基座、力傳感器等受力部件。

根據(jù)各部件的受力和變形情況，固定基座下表面，限制1號(hào)、3號(hào)支撐塊在Y方向和Z方向的自由度，分別定義1號(hào)支撐塊前側(cè)面和3號(hào)支撐塊后側(cè)面與基座上對(duì)應(yīng)溝槽內(nèi)表面X方向接觸副，用固定約束限制力傳感器和1號(hào)支撐塊，以及被測(cè)螺母和3號(hào)支撐塊之間的相對(duì)位置，得到如圖3所示邊界條件。

施加7 kN軸向載荷，劃分網(wǎng)格進(jìn)行求解，得到3號(hào)支撐塊和絲杠螺母的軸向位移云圖，分別如圖4和圖5所示。由圖4和圖5可以看出，3號(hào)支撐塊頂部和底部軸向位移分別為+37.5 μm和-4.61 μm，待測(cè)螺母上部和下部軸向位移分別為+21.65 μm和9.77 μm，同時(shí)，3號(hào)支撐塊在與螺母連接處的軸向位移為+5.91 μm。

▲圖3 邊界條件定義

▲圖4 3號(hào)支撐塊軸向位移云圖

▲圖5 絲杠螺母軸向位移云圖

通過對(duì)有限元仿真結(jié)果分析可知，臺(tái)架在軸向載荷作用下發(fā)生了兩種變形：①絲杠和3號(hào)支撐塊整體發(fā)生繞Y軸的旋轉(zhuǎn)；②螺母并非完全固定，發(fā)生了沿軸向的移動(dòng)。這兩種變形導(dǎo)致絲杠末端位移的測(cè)量值與理論變形量之間存在偏差。

基于赫茲接觸理論對(duì)滾珠絲杠副軸向接觸變形量進(jìn)行計(jì)算[10-12]，在9 kN載荷作用下，變形量為16.7 μm，臺(tái)架計(jì)算變形量已經(jīng)超過理論變形量，對(duì)接觸剛度的測(cè)量結(jié)果存在較大影響，因此，筆者提出一種算法對(duì)這一偏差進(jìn)行修正。

5 臺(tái)架變形修正算法

根據(jù)有限元分析結(jié)果，設(shè)計(jì)修正算法原理：①采用齊次坐標(biāo)變換方法對(duì)3號(hào)支撐塊因旋轉(zhuǎn)位移而帶來的偏差進(jìn)行修正[13]；② 利用絲杠末端位移量與螺母軸向位移量的差，可以去除待測(cè)螺母因軸向位移而帶來的偏差。滾珠絲杠副接觸剛度測(cè)量補(bǔ)償原理如圖6所示。

滾珠絲杠副軸向接觸剛度的變化是由于滾珠、絲杠及螺母等彈性元件產(chǎn)生變形而引起的，因此假設(shè)P1為絲杠末端旋轉(zhuǎn)后彈性元件無變形下的理論位置，P2為絲杠末端在軸向載荷作用下發(fā)生旋轉(zhuǎn)，并且彈性元件發(fā)生擠壓變形之后的實(shí)際位置，O1、O3分別為絲杠旋轉(zhuǎn)前后3號(hào)支撐塊坐標(biāo)系，O2、O4分別為絲杠旋轉(zhuǎn)前后絲杠末端坐標(biāo)系。

測(cè)量點(diǎn)S在O1與O2坐標(biāo)系下的坐標(biāo)分別為 （l2+m，r+h，0）及（m，r，0），l2為 3 號(hào)支撐塊后側(cè)面到測(cè)量點(diǎn)之間的絲杠長(zhǎng)度，m為測(cè)量點(diǎn)S到旋轉(zhuǎn)前絲杠末端的初始距離，r為測(cè)量點(diǎn)S到絲杠末端中心的豎直距離。測(cè)量點(diǎn)S在O2坐標(biāo)系下的坐標(biāo)[O2]可看作是從O1坐標(biāo)系下的坐標(biāo)[O1]平移得到的，即：

可以得到O1到O2的坐標(biāo)變換矩陣[A]：

O3坐標(biāo)系由O1坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)α角得到，則O1坐標(biāo)系到O3坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換矩陣為：

式中：h和α分別為3號(hào)支撐塊在軸向載荷作用下的旋轉(zhuǎn)半徑和旋轉(zhuǎn)角度。

另外，d為測(cè)量點(diǎn)S在O4坐標(biāo)系下的X方向坐標(biāo)值，即測(cè)量點(diǎn)S到旋轉(zhuǎn)后絲杠末端的理論位置P1的距離：

由幾何關(guān)系可得由于旋轉(zhuǎn)變形導(dǎo)致絲杠在軸向產(chǎn)生的位移St為：

試驗(yàn)過程中，位移傳感器S2、S3分別測(cè)得的螺母和絲杠末端實(shí)際軸向位移為D2和D3，則傳感器測(cè)得的絲杠軸向位移Sc為：

綜合式（5）～式（7），去除由于絲杠旋轉(zhuǎn)引入的軸向位移，得到絲杠僅因滾珠受擠壓變形而產(chǎn)生的軸向位移δx為：

假設(shè)3號(hào)支撐塊為剛體，在軸向載荷作用下無彈性變形，則3號(hào)支撐塊后側(cè)面的運(yùn)動(dòng)可以看成不改變形狀，只改變位置的移動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)。因此，在3號(hào)支撐塊的后側(cè)面采用兩個(gè)位移傳感器S1、S2對(duì)位移進(jìn)行檢測(cè)，如圖7所示。圖7中，實(shí)線和虛線分別為3號(hào)支撐塊的初始位置及旋轉(zhuǎn)α角之后的位置，h1、h2分別為S1、S2 距離絲杠軸線的安裝高度，m0、n0分別為 S1、S2到3號(hào)支撐塊的初始距離；mi、ni分別為旋轉(zhuǎn)后S1、S2到3號(hào)支撐塊的距離；x1、x2分別為S1、S2檢測(cè)到的3號(hào)支撐塊在水平方向的位移量。

由幾何關(guān)系可得：

▲圖6 滾珠絲杠副接觸剛度測(cè)量補(bǔ)償原理

▲圖7 3號(hào)支撐塊旋轉(zhuǎn)半徑及旋轉(zhuǎn)角度原理

聯(lián)立式（9）、式（10），得到 3號(hào)支撐塊旋轉(zhuǎn)半徑 h和旋轉(zhuǎn)角度α分別為：

將h和α的計(jì)算結(jié)果代入式（8），可得經(jīng)過修正的絲杠軸向變形δx，若軸向載荷為Fx，則接觸剛度Ka為：

6 試驗(yàn)驗(yàn)證

試驗(yàn)所用的滾珠絲杠副幾何參數(shù)和材料特性見表1。

表1 滾珠絲杠副幾何參數(shù)和材料特性

基于前述臺(tái)架變形修正算法，布置力傳感器于絲杠前端用于軸向載荷的采集，按照?qǐng)D7所示布置位移傳感器S1和S2，用于檢測(cè)3號(hào)支撐塊的位移，布置位移傳感器S3于絲杠末端，用于檢測(cè)絲杠的軸向變形，臺(tái)架實(shí)物及傳感器布置如圖8所示。

▲圖8 試驗(yàn)布置

在試驗(yàn)過程中，使用美國國家儀器有限公司的采集設(shè)備實(shí)時(shí)同步采集力傳感器與位移傳感器的數(shù)據(jù)。通過對(duì)各傳感器采集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，獲得滾珠絲杠副軸向接觸剛度隨軸向載荷變化的曲線，同時(shí)，根據(jù)赫茲接觸理論，得到理論上的軸向接觸剛度隨載荷變化的曲線，如圖9所示。

▲圖9 軸向接觸剛度隨載荷變化曲線

由圖9可見，未經(jīng)修正的測(cè)量剛度值和理論值之間有較大的偏差，而采用筆者提出的臺(tái)架變形修正算法進(jìn)行處理后，得到的試驗(yàn)曲線和理論曲線基本吻合。在7 kN軸向載荷作用下的理論接觸剛度值為7.46×105N/mm，修正前試驗(yàn)接觸剛度值為4.11×105N/mm，偏差達(dá)到45%，而經(jīng)過臺(tái)架變形修正算法處理后的試驗(yàn)接觸剛度值為7.71×105N/mm，與理論值偏差只有3.4%。可見，引入臺(tái)架變形修正算法取得了較好的效果，提高了測(cè)量精度。

7 結(jié)束語

筆者提出了一種考慮臺(tái)架變形修正的滾珠絲杠副接觸剛度測(cè)量系統(tǒng)，設(shè)計(jì)并搭建了試驗(yàn)臺(tái)架。通過對(duì)試驗(yàn)臺(tái)架進(jìn)行有限元分析，指出臺(tái)架在加載過程中產(chǎn)生的變形對(duì)接觸剛度測(cè)量存在影響。在分析臺(tái)架變形的基礎(chǔ)上提出了臺(tái)架變形修正算法，并結(jié)合試驗(yàn)驗(yàn)證了臺(tái)架變形修正算法的正確性。

試驗(yàn)結(jié)果表明，臺(tái)架變形修正算法減小了軸向載荷作用下臺(tái)架變形引起的偏差，得到的測(cè)量結(jié)果接近滾珠絲杠副的理論接觸剛度，對(duì)滾珠絲杠副接觸剛度的測(cè)量和標(biāo)定具有重要意義，具有較高的實(shí)用價(jià)值。