具有加權(quán)測度的H型群上漂移Laplace算子的Levitin-Parnovski型特征值不等式

韓承月,孫和軍,江緒永

(南京理工大學(xué)理學(xué)院,江蘇南京 210014)

1 引言

Heisenberg型群是一類Carnot群,簡稱為H型群,其在滿足H?ormander條件的向量場理論研究中起著重要作用[1?3].而漂移Laplace算子是一類重要的橢圓算子,也被稱為Witten-Laplace算子,在幾何分析、概率論等研究中發(fā)揮著重要作用(參見文獻(xiàn)[4–6]).

本文研究具有加權(quán)測度的H型群G上漂移Laplace算子的特征值估計(jì)問題.具體來說,具有加權(quán)測度dμ=e??dv的2n+m維H型群G上漂移Laplace算子的形式如下

其中ΔG和?G分別是H型群G上的次Laplace算子和梯度算子,?為光滑函數(shù).設(shè)?是H型群G上的一個(gè)有界區(qū)域.考慮如下Dirichlet特征值問題

由文獻(xiàn)[7–8]可知,該算子有離散譜0＜λ1≤λ2≤···≤λi≤···↗,其中每個(gè)特征值按照其重?cái)?shù)排列.

問題(1.1)包含了幾種有趣的特征值問題.由H型群的定義可知:一方面,當(dāng)m=1時(shí),H型群即為Heisenberg群.此時(shí),問題(1.1)變?yōu)槿缦翲eisenberg群Hn上漂移Laplace算子的Dirichlet特征值問題

另一方面,當(dāng)?為常數(shù)時(shí),問題(1.1)變?yōu)槿缦翲型群G上的次Laplace算子的Dirichlet特征值問題

因此當(dāng)m=1時(shí),問題(1.3)進(jìn)一步變?yōu)槿缦翲eisenberg群Hn上次Laplace算子的Dirichlet特征值問題

隨著黎曼流形上微分算子研究的深入,Heisenberg群、H型群上微分算子的特征值估計(jì)問題開始被學(xué)者們所關(guān)注(參見文獻(xiàn)[9–10]).2006年,韓軍強(qiáng)和鈕鵬程[11]獲得了H型群上次Laplace算子相鄰特征值之差的估計(jì);2015年,譚沈陽和黃體仁[12]建立了H型群上漂移Laplace算子問題(1.1)的Yang型特征值不等式.

本文的目標(biāo)是對(duì)H型群上漂移Laplace算子的問題(1.1)建立Levitin-Parnovski型特征值不等式.對(duì)任意的正整數(shù)j,Ilias和Makhoul[13]在2012年對(duì)Heisenberg群Hn上次Laplace算子的Dirichlet特征值問題(1.4)建立了如下Levitin-Parnovski型特征值不等式

在本文中,首先建立了具有加權(quán)測度的H型群上漂移Laplace算子問題(1.1)的一個(gè)特征值一般不等式.

定理1 設(shè)?是具有加權(quán)測度dμ=e??dv的2n+m維H型群G上的有界區(qū)域,?是區(qū)域?閉包上的光滑函數(shù),λl是?上漂移Laplace算子?ΔG+〈?G?,?G(·)〉特征值問題(1.1)的第l個(gè)特征值,ul為對(duì)應(yīng)于λl的單位正交特征函數(shù),且對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征函數(shù)相互正交.那么對(duì)任意正整數(shù)j,有

進(jìn)而獲得了問題(1.1)的如下Levitin-Parnovski型特征值不等式.

定理2 設(shè)?是具有加權(quán)測度dμ=e??dv的2n+m維H型群G上的有界區(qū)域,?是區(qū)域?閉包上的光滑函數(shù),λl為?上漂移Laplace算子?ΔG+〈?G?,?G(·)〉特征值問題(1.1)的第l個(gè)特征值.如果|?G?|≤c,則對(duì)任意正整數(shù)j,有

不難看出,(1.7)式對(duì)問題(1.2)也成立.即有如下結(jié)論.

推論1 設(shè)?是具有加權(quán)測度dμ=e??dv的n維Heisenberg群Hn上的有界區(qū)域,?是區(qū)域?閉包上的光滑函數(shù),λl為?上漂移Laplace算子?ΔHn+〈?Hn?,?Hn(·)〉特征值問題(1.2)的第l個(gè)特征值.如果|?Hn?|≤c,則對(duì)任意正整數(shù)j,有

另外,當(dāng)?為常數(shù)時(shí),問題(1.1)變?yōu)閱栴}(1.3).因此可由定理2得到如下推論.

推論2 設(shè)?是2n+m維H型群G上的有界區(qū)域,λl為?上次Laplace算子ΔG特征值問題(1.3)的第l個(gè)特征值,則對(duì)任意正整數(shù)j,有

當(dāng)m=1時(shí),推論2即變?yōu)镮lias和Makhoul[13]對(duì)Heisenberg群Hn上次Laplace算子的Dirichlet特征值問題(1.4)所獲得結(jié)果.因此本文的結(jié)果推廣并包含了Ilias和Makhoul[13]所獲得的結(jié)果.

2 基礎(chǔ)知識(shí)

本節(jié)給出H型群的一些基本概念與性質(zhì).設(shè)U1,U2,···,U2n是滿足下列條件的矩陣

(1)Uj是m×m 階反對(duì)稱正交矩陣,?j=1,2,···,2n;

(2)UiUj+UjUi=0,?i,j ∈ {1,2,···,2n},i≠j.在2n+m維歐氏空間Rn×Rn×Rm定義如下群運(yùn)算:

其中 i=1,2,···,2n;j=1,2,···,m,z=(x,y) ∈ R2n,t∈ Rm,〈·,·〉表示歐氏內(nèi)積.滿足這種群運(yùn)算的2n+m維歐氏空間稱為H型群,李代數(shù)g的基底為

在定理1的證明過程中,需要使用Levitin和Parnovski[16]獲得的代數(shù)恒等式.

引理1 設(shè)M 是一個(gè)給定內(nèi)積 〈·,·〉的復(fù)Hilbert空間,A:D ? M → M 是定義在有界稠密區(qū)域D 上的一個(gè)自伴算子,并且A有一組離散譜λ1≤λ2≤λ3≤···.設(shè)是由一組對(duì)稱算子構(gòu)成的集合,且滿足Bl(D)?D.令是算子A的正交特征向量構(gòu)成的集合,ui是第i個(gè)特征值λi對(duì)應(yīng)的特征向量,并且這組特征向量可構(gòu)成M 的一組正交基.那么,對(duì)任意正整數(shù)j,如下代數(shù)恒等式成立

其中[A,Bl]:=ABl?BlA是A和Bl的括號(hào)積.

3 主要定理及其證明

本節(jié)給出定理1和定理2的證明.

定理1的證明 因?yàn)閡i為問題(1.1)的對(duì)應(yīng)于第i個(gè)特征值λi的單位正交特征函數(shù),即ui滿足

設(shè)y1,···,yn是Rn上的一組標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)函數(shù),定義如下n×n階矩陣T

根據(jù)QR-因式分解定理,存在一個(gè)n×n階正交矩陣Q=(qlr)n×n使得S=QT,其中S是一個(gè)上三角矩陣.因此有

從而,根據(jù)(3.2)式,可以得到

在 (2.1) 式中取 A= ?ΔG+ 〈?G?,?G(·)〉,Bl=xl,l=1,2,···,n,有

通過直接計(jì)算,可得

根據(jù)特征值的單調(diào)性,知道

并且根據(jù)(3.2)式,有

結(jié)合(3.5),(3.6)和(3.7)式,有

由Parseval等式可知

將(3.4)和(3.9)式代入(3.8)式中,整理并對(duì)l從1到n求和,可得

同理,在 (2.1) 式中取 A= ?ΔG+ 〈?G?,?G(·)〉,Bl=yl,l=1,2,···,n,可得與 (3.10)式類似的關(guān)于yl的不等式.進(jìn)而有

直接計(jì)算可知

同理,可得

因此有

又因?yàn)?/p>

同理可得

所以

最后將(3.12),(3.15)和(3.16)式代入(3.11)式中,就可以得到(1.6)式.從而完成定理1的證明.

定理2的證明 因?yàn)?/p>

并且注意到

由(3.17)和(3.18)式,可得

將(3.17)–(3.19)式代入(1.6)式中,可獲得(1.7)式.這就完成了定理2的證明.