一類半線性分?jǐn)?shù)Laplacian方程多解的存在性問(wèn)題

喬花玲,吳玉梅

(西安財(cái)經(jīng)學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)院,陜西西安 710061)

1 引言

分?jǐn)?shù)Laplacian算子(?Δ)s的定義如下:

分?jǐn)?shù)Laplacian算子(?Δ)s及更一般的擬微分算子已經(jīng)有經(jīng)典的泛函分析方法研究成果,該算子在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)、相變現(xiàn)象、種群動(dòng)態(tài)、對(duì)策論的研究中常出現(xiàn),它是Lévy過(guò)程的隨機(jī)穩(wěn)定的無(wú)窮小生成元[2?4].由于分?jǐn)?shù)空間和非局部方程在很多科學(xué)領(lǐng)域有著重要應(yīng)用,在過(guò)去的幾年里對(duì)涉及分?jǐn)?shù)算子問(wèn)題的研究興趣仍不斷高漲,如障礙問(wèn)題[5]、優(yōu)化與金融[6,7]、共形幾何與極小曲面[8?10]、材料學(xué)[11]、反常擴(kuò)散[12?14]等方面應(yīng)用.

設(shè)n≥2,s∈(0,1),方程

已經(jīng)得到廣泛的關(guān)注.Rox-Oton和Serra[15]建立與(1.1)式相聯(lián)系的Pohozaev恒等式,并證明了在有界光滑的星型域上,若非線性項(xiàng)f(u)是局部的Lipschitz函數(shù),有不等式

成立,則問(wèn)題(1.1)沒(méi)有有界正解,當(dāng)不等式嚴(yán)格成立時(shí),問(wèn)題(1.1)沒(méi)有非平凡的有界解;若在×R的任意緊子集上f(x,u)是Lipschitz函數(shù),有不等式

成立,則問(wèn)題(1.1)沒(méi)有有界正解,當(dāng)不等式嚴(yán)格成立時(shí),問(wèn)題(1.1)沒(méi)有非平凡的有界解.Fall和Weth[16]給出了在有界星型域?(0∈)上,非線性項(xiàng)f(x,t):{0}×[0,∞)→R在{0}上的每一個(gè)子集上關(guān)于t是一致局部Lipschitz且在某種意義下是超臨界的,則問(wèn)題(1.1)沒(méi)有正解,參見(jiàn)文獻(xiàn)[16,定理1.1].在無(wú)界的星型域上,當(dāng)時(shí),問(wèn)題(1.1)沒(méi)有非平凡解.如果Fang[17]研究了帶有純臨界非線性項(xiàng)的Laplacian問(wèn)題,在空間Ds,2(Rn)上,得出問(wèn)題(1.1)有無(wú)窮多非徑向變號(hào)解;Gonzalez[18]等討論了該方程在雙曲空間上層解的存在性、對(duì)稱性;Servadei[19]等發(fā)現(xiàn)具有齊次Dirichlet邊界條件非局部微積分算子對(duì)應(yīng)的方程有變分結(jié)構(gòu),利用山路定理證明了其非平凡解的存在性,此結(jié)果對(duì)一般的分?jǐn)?shù)微積分算子也成立,作為其特殊情形證明了半線性橢圓問(wèn)題(1.1)非線性項(xiàng)f:?×R→R是Carathéodory函數(shù)時(shí),非平凡解的存在性;當(dāng)s=時(shí),Cabré[20]等研究了光滑有界域上正解的存在性,對(duì)問(wèn)題(1.1)非平凡解研究已經(jīng)有比較完善的結(jié)果了,關(guān)于問(wèn)題(1.1)解的存在性等其它問(wèn)題的許多結(jié)果請(qǐng)參考文獻(xiàn)[21–26].對(duì)于其是否有無(wú)窮解的研究結(jié)果為數(shù)不多.最近,Liu等[27]研究了如果f(x,u)是關(guān)于u的奇函數(shù)且滿足一定的增長(zhǎng)條件,則經(jīng)典的Dirichlet邊界值問(wèn)題

有無(wú)窮多解uk,當(dāng)k→∞時(shí),有‖uk‖L∞→0.受此啟發(fā),本文將研究半線性橢圓問(wèn)題(1.1)多解的存在性.

設(shè)??Rn是具有光滑邊界的有界域,記

定義1.1若對(duì)任意?∈C∞(Rn),有

成立,則稱u(x)是問(wèn)題(1.1)的弱解.

定義1.2設(shè)Φ∈C1(Hs(Rn)),稱Φ滿足PS條件是指:若任意序列滿足下列條件

(2)在Hs(Rn)上Φ′(uk)→0有收斂序列.

主要結(jié)果是

一致成立,則問(wèn)題(1.1)有無(wú)窮多解uk,且當(dāng)k→∞時(shí),‖uk‖L∞→0,其中

本文安排如下:第2部分,驗(yàn)證PS條件;第3部分,利用Clark’s定理證明定理1.1,并作為推廣,給出方程組多解的存在性.

2 驗(yàn)證PS條件

為了證明主要結(jié)果,考慮問(wèn)題

(2.1)式相應(yīng)的泛函為

引理2.1 Φ(u)∈C1(Hs(Rn))是偶的,強(qiáng)制的且下有界.Z

由(1.3)式可得存在常數(shù)C1,使得,根據(jù)空間Hs(Rn)上范數(shù)的定義有

因此有

引理2.2若{un}在Hs(Rn)上弱收斂到u,則在Lq(Rn)上{un}滿足PS條件,其中

證 由Φ′的定義有

由 H?older不等式有

在Lq(Rn)上un(x)→u(x),映射t|→f(x,t)關(guān)于t連續(xù),t∈R,所以

在?上a.e.成立.

由假設(shè)f(x,u(x))有界及控制收斂定理知

再由引理2.1知Φ(u)是強(qiáng)制的,故序列{un}是有界的,因此有

聯(lián)立(2.2)–(2.4)式可得

因此Φ(u)滿足PS條件.

3 定理1.1的證明

為了證明定理1.1,需要如下關(guān)鍵定理.

定理3.1 (見(jiàn)文獻(xiàn)[27])設(shè)X 是Banach空間,Φ∈C1(X,R),Φ是偶泛函,下有界且Φ(0)=0,滿足PS條件.如果對(duì)任意k∈N,存在X 的k-維子空間Xk及ρk＞0使得Φ＜0,其中Sρ={u∈X|‖u‖=ρ},那么下面的結(jié)論至少有一個(gè)成立:

1)存在臨界點(diǎn)序列{uk}滿足對(duì)任意的k,當(dāng)k→∞ 時(shí),‖uk‖→0,Φ(uk)＜0;

2)存在r＞0使得對(duì)任意0＜a＜r,存在臨界點(diǎn)u使得‖u‖=a,Φ(u)=0.

定理1.1的證明 由引理2.1和引理2.2可知Φ(u)∈C1(Hs(Rn))是偶泛函,下有界,滿足PS條件.由定理1的假設(shè)f(x,0)=0及(x,u)的定義,有Φ(0)=0.?K＞0,?δ=δ(K)＞0,使得如果則

這表明?k∈N,如果Xk是的k-維子空間,ρk＞0充分小,則有Sρk={u(x)∈Hs(Rn)|‖u(x)‖=ρk},由定理3.1知Φ 有非平凡臨界點(diǎn)列{uk(x)}滿足?k有Φ(uk(x))＜0,當(dāng)k→ ∞ 時(shí),‖uk(x)‖→0.

最后,來(lái)證明當(dāng)k→∞ 時(shí),有‖uk(x)‖L∞→0,即當(dāng)k充分大時(shí),uk(x)也是問(wèn)題(1.1)的解. 記,假設(shè)1＜p＜n,當(dāng)p≥n時(shí),可以類似證明結(jié)論成立.若u是(1.1)式的解,α＞0,設(shè)M ＞0,記uM(x)=max{?M,min{u(x),M}}.給(2.1)式兩邊同乘以|uM|αuM可以得到

再由分?jǐn)?shù)Sobolev-Hardy不等式[28],則有

其中 C1＞ 1 是常數(shù),且與 u 和 α 無(wú)關(guān).令,即 αk=對(duì) αk重復(fù)利用不等式 (3.1) 可得

一致成立,則方程組

有無(wú)窮多解uk,且當(dāng)k→∞時(shí),‖uk‖L∞→0,其中??Rn是有光滑邊界的有界域,

u=(u1,u2,···,um)是 m 維向量函數(shù),(?Δ)su=((?Δ)su1,(?Δ)su2,···,(?Δ)sum).

證 考慮方程組

(3.4)式相應(yīng)的泛函為

則Φ(u)∈ C1(Hs(Rn,Rm)是偶的,強(qiáng)制的,下有界,且滿足PS條件.?k∈N,如果Xk是的k-維子空間,ρk＞ 0充分小,則有Hs(Rn,Rm)|‖u(x)‖= ρ},由定理3.1知Φ 有非平凡臨界點(diǎn)列{uk(x)}滿足對(duì)任意k有Φ(uk)＜ 0,當(dāng)k→ ∞ 時(shí),‖uk(x)‖ → 0.

與定理1.1的證明類似,可以證明當(dāng)k→∞時(shí),有‖uk(x)‖L∞→0,即對(duì)于k充分大時(shí),uk(x)仍然是方程組(3.3)的解.