高校數(shù)學師范生對數(shù)系知識的認識現(xiàn)狀研究
——以昌吉學院為例

孫德榮 張 靜

（昌吉學院數(shù)學系 新疆 昌吉 831100)

引言

“數(shù)系”是中小學數(shù)學“數(shù)與運算”部分的核心內(nèi)容，在《全日制義務教育數(shù)學課程標準》和《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》中都有很多關(guān)與“數(shù)系”的教學內(nèi)容，數(shù)系的發(fā)展某種程度上也反映了數(shù)學自身發(fā)展的歷史軌跡，而數(shù)學本身的發(fā)展客觀上也要求數(shù)系的不斷擴充。高師師范生的培養(yǎng)與專業(yè)發(fā)展是教師教育的重要環(huán)節(jié)，也是教師教育所直接面臨的重要問題。數(shù)學師范教育的一個顯著的特點是注重數(shù)學基礎(chǔ)知識的學習，數(shù)學師范生在中小學的數(shù)學學習中，已經(jīng)學習了如有理數(shù)，自然數(shù)，整數(shù)，實數(shù)，復數(shù)等關(guān)于數(shù)系知識的相關(guān)內(nèi)容，在大學階段的數(shù)學基礎(chǔ)課中也進一步學習了有關(guān)數(shù)系的知識。可以說，數(shù)學師范生已經(jīng)積累了相當多的有關(guān)數(shù)系的知識，為了解數(shù)學師范生對數(shù)學知識的掌握與理解情況，以“數(shù)系”為載體，通過調(diào)查問卷和訪談研究昌吉學院數(shù)學師范生對這一部分知識的認識情況，分析存在的問題，從教育教學的角度提出對策性建議。

一、調(diào)查方法

（一）研究對象

昌吉學院數(shù)學系本科B1401、B1402、B1501班師范生，共57人，其中29名維吾爾族，14名哈薩克族，13名漢族，1名柯爾克孜族。他們大學期間的數(shù)學學科專業(yè)課程基本修完，學科內(nèi)容知識較為完整，具有一般教學法等相關(guān)理論知識，并于2017年3月—2017年6月在南疆實習支教。

（二）研究方法

采用問卷調(diào)查法，問卷測試的題包括：(1)整個數(shù)系擴充與發(fā)展的理解；（2）單個數(shù)集相關(guān)概念的理解；（3）具體數(shù)集的相關(guān)知識的理解；（4）數(shù)系相關(guān)知識的教學理解。各測試的考查目的包括下面這些內(nèi)容。

表1 各測試的考查目的

（三）結(jié)果與分析

根據(jù)問卷調(diào)查和訪談得知師范生對數(shù)系相關(guān)知識的概念掌握的并不是很好，他們記住了一些簡單的概念，并沒有很透徹地理解，對數(shù)系相關(guān)知識本身的理解不夠扎實，有些概念雖然了解但是不會準確表達。

第一題是請你用語言描述或者圖形示意，說明中小學階段數(shù)集的擴充過程。

在53份有效問卷中，50.94%（27人）的師范生沒有完整地寫出來，20.75%（11人）的師范生未寫完整，答對的有4人，還有6.4%（15人）的師范生沒有理解題目，圖形示意中，大學包含高中，高中包含初中，初中包含小學，可以看出，數(shù)學師范生還不夠理解數(shù)系擴充與發(fā)展過程。

第二題是中小學階段的數(shù)學學習都涉及到哪些數(shù)（集）的概念？試描述你所理解的這些數(shù)（集）概念的定義。90.56%（48人）的師范生都寫出了中小學階段涉及到的數(shù)的概念，但并未分類，如有同學依次寫到：有理數(shù)、無理數(shù)、正整數(shù)、實數(shù)、整數(shù)、正數(shù)、復數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)、自然數(shù)。同時，也并沒有寫出這些數(shù)集的定義。有9.4%（5人）的師范生未答出此題。整體上看，師范生并沒有掌握清楚數(shù)集概念的定義。

第三題是數(shù)系擴張的一般原則有哪些？只有兩位師范生寫出來了，雖然他們寫的不是很完整，但是他們最起碼記住了數(shù)系擴張的一般原則的一兩個點。其他師范生什么都沒寫，進一步訪談得知，一些數(shù)學師范生印象里根本就沒有學過這樣的知識點，還一部分師范生記得大學期間學過，但沒有真正理解含義，所以很快就忘了?？梢钥闯觯蟛糠謹?shù)學師范生對什么是數(shù)系擴張的一般原則沒有得到足夠的理解。

第四題是你如何向?qū)W生解釋無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)？你自己又是如何理解的？（可以通過舉例說明）。

通過分析可以看出，師范生對有理數(shù)有著不同的理解，84.9%(45人)的師范生能基本準確地表述有理數(shù)的概念。但是還有8位師范生混淆了有理數(shù)和無理數(shù)的概念，，有兩位同學寫到π是有理數(shù)，訪談過程中有師范生回憶道，老師曾舉例，像這樣的數(shù)字叫做有理數(shù)，并給出證明，但對于如何證明的表達不清楚。

第五題是數(shù)是可以比較大小的，復數(shù)是數(shù)，所以復數(shù)也可以比較大小。這個推理是否正確？為什么？

對這道題來說88.68%(47人)的師范生寫到復數(shù)不能比較大小，但是他們不知道原因。有6位師范生回答復數(shù)可以比較大小。僅有1名師范生寫到，復數(shù)與復平面上的點存在著一一對應關(guān)系，無法像實數(shù)排在數(shù)軸上那樣去比較大小，指明復數(shù)可以排序，但未給出具體的排序方式。

第六題是你能在數(shù)學上證明“負負得正”這個有理數(shù)運算法則嗎？你會如何向?qū)W生解釋“負負得正”？請給出你的解釋。

從答案中可以看出，師范生目前掌握的關(guān)于“負負得正”的運算法則和初中階段的掌握沒有區(qū)別，只記住了一個結(jié)論。85%（45人）的師范生只用負數(shù)乘以負數(shù)作為例子說明，如：（-1）×（-2）=2，（-2）×（-3）=6，有8位師范生利用“好人壞人”、“運動”、“水位”模型等引入。由此可以看出，總體上，數(shù)學師范生對此的教學理解不夠深入。

第七題是我們知道數(shù)軸上的點與實數(shù)是一一對應的，而實數(shù)又可分為有理數(shù)和無理數(shù)，任取數(shù)軸上的一點，取到有理點的可能性和取到無理點的可能性有怎樣的大小關(guān)系？試說明你的理由。

對這道題75%（40人）的師范生都寫了一樣多，但不清楚原因，還有8位師范生不太確定哪個多，有5位同學答對了這道題，寫到，“無理數(shù)的可能性比有理數(shù)大”，通過訪談得知師范生僅僅記住了上課時老師講的這部分知識的結(jié)論，但是詳細的推導過程和證明過程，過幾天就忘了。

第八題是回憶你作為學生時，在“數(shù)”的學習過程中，你曾經(jīng)碰到的困難或者疑惑是什么？作為一名準教師，你估計學生在學習這些“數(shù)”概念時都會出現(xiàn)哪些困難？

回答這道題的時候，大部分師范生寫到，他們對數(shù)的概念和性質(zhì)理解的不透徹，覺得概念很抽象，一些師范生寫到以前對有理數(shù)和無理數(shù)的概念不清楚，經(jīng)過大學階段的學習，對概念的認識有了深刻的了解。有1名師范生回答了跟別人不一樣的答案。他寫到“1.為什么要學數(shù)學；2.1+1為什么等于2；3.無限不循環(huán)小數(shù)為什么叫無理數(shù)”，跟這位師范生訪談以后得知，到目前為止她依然不清楚為什么要學數(shù)學？覺得數(shù)學是一門抽象、難懂的學科。

第九題是你認為學習這些“數(shù)”的相關(guān)知識有什么作用（比如后續(xù)的學習、社會生活、思維發(fā)散等）？

對這道題大多數(shù)師范生寫出了數(shù)對我們的生活帶了方便，教了我們怎樣花錢，他們都按照自己的想法寫出了這道題。他們回答的答案中可以看出大部分同學都意識到了數(shù)的重要性，但是他們并沒有深刻地認識數(shù)學到底是有什么作用。

二、教學建議

（一）重視數(shù)學史在數(shù)系教學中的滲透

一門學科的歷史有助于使該門學科更具有吸引力，一個新的數(shù)學概念的產(chǎn)生往往蘊含豐富的數(shù)學背景，數(shù)學史的介紹既可以豐富學生的數(shù)學知識，提升學生數(shù)學學習的興趣，使學生感受數(shù)學家探究的精神，體會數(shù)學思維的價值。以數(shù)系的擴充為例，數(shù)學史介紹可以成為貫穿這一節(jié)課的一條主線，如講到負數(shù)時，可以向?qū)W生介紹，中國是世界上對負數(shù)認識最早的國家，公元3世紀的劉徽己經(jīng)對負數(shù)有了深刻的認識。在《九章算術(shù)注》中，他認為，“今兩算得失相反，要令正負以名之”。他還認為，“言負者未必負于少，言正者未必正于多?！边@兩句話都是關(guān)于正負數(shù)的絕對值而言的，即負數(shù)的絕對值未必小，正數(shù)的絕對值未必大。這種思想與現(xiàn)代的數(shù)學思想是完全一致的。同時，這部著作的巨大貢獻體現(xiàn)在著作本身蘊涵的數(shù)學意義和后人對該書所作的注釋中所蘊涵的數(shù)學思想，極大地影響了后世的數(shù)學家?！毒耪滤阈g(shù)》中蘊涵了許多在世界上遙遙領(lǐng)先的數(shù)學成果，如勾股定理，方程思想，數(shù)列求和，正負數(shù)，而漢朝數(shù)學家們運用極為精妙的算術(shù)方法一一為看似不可能在那個時代解決的問題給出了正確的解答。昌吉學院的數(shù)學師范生大多來自南疆和農(nóng)村地區(qū)，基礎(chǔ)較為薄弱，因此，在課程中滲透數(shù)學史，對于提高師范生數(shù)學素養(yǎng)，使學生了解我國古代數(shù)學家在數(shù)學史上的杰出成果、領(lǐng)悟中華文化的博大精深有重要幫助。

（二）在數(shù)學基礎(chǔ)課程中，重視數(shù)系相關(guān)概念的形成過程

數(shù)學的知識是分層次的，各層次間既相互獨立又相互聯(lián)系，教師應該通過有效的方式，了解學生目前已有知識情況，在此基礎(chǔ)上補充相關(guān)初等數(shù)學的知識，引導與促進學生自己建立知識體系。在問卷及訪談中發(fā)現(xiàn)，很多數(shù)學師范生存在關(guān)于數(shù)系的相關(guān)基本概念表述不準確、不清楚概念的形成過程等問題，因此在平時的教學中，應關(guān)注學生個人知識和直接經(jīng)驗，重視知識形成的來龍去脈，澄清數(shù)學知識的本質(zhì)內(nèi)涵，厘清知識脈絡，幫助師范生深刻理解數(shù)學本質(zhì)，牢固掌握基礎(chǔ)知識。在大學數(shù)學專業(yè)基礎(chǔ)課程中，高等代數(shù)、數(shù)學分析課程的相關(guān)概念與基本理論與中小學數(shù)學聯(lián)系非常緊密，在教學中應注意講解概念的形成過程，特別是與中小學內(nèi)容密切相關(guān)的數(shù)學內(nèi)容，立足相應知識點的深化，用高等數(shù)學的觀點、原理、方法來理解中學數(shù)序有待深入解決的一些問題，突出數(shù)學本質(zhì)。例如，初中數(shù)學中乘方an（a∈R,n∈N）運算與數(shù)學分析中實指數(shù)乘冪ax的定義,[1]將冪指數(shù)從自然數(shù)擴充到有理數(shù)，再從有理數(shù)擴充到了實數(shù)，這是初等數(shù)學中沒有得到充分解決的問題，而在數(shù)學分析中，則可以通過確界來精確定義，并得到理論上的證明。又如，高等代數(shù)中的多項式理論[2]將初中數(shù)學中的多項式的因式分解從有理數(shù)擴充到了實數(shù)，又從實數(shù)擴充到了復數(shù)范圍，等等。從中小學數(shù)學知識到大學數(shù)學的縱深，使學生認識知識本質(zhì)的同時，感到數(shù)學是發(fā)展的，從而激勵他們進一步學習。

（三）幫助數(shù)學師范生樹立正確的數(shù)學觀

數(shù)學師范生的數(shù)學觀念會對數(shù)學師范生數(shù)學素養(yǎng)的形成產(chǎn)生一定影響，在一定程度上決定了將來中小學教師的教學態(tài)度和教學方法。[3]數(shù)學的發(fā)展與社會的進步有著密切的聯(lián)系,數(shù)學的高度抽象性以及推理的嚴謹性，使得數(shù)學的應用十分廣泛,在社會發(fā)展的過程起到了的重要作用。反之,其他學科的發(fā)展,也促進了數(shù)學的發(fā)展與進步。因此，在對數(shù)學師范生的教學中，需改革教學方法，激發(fā)學生的學習興趣，避免單一的知識傳授，不僅要進行概念、定理、例題的講解，還要對數(shù)學知識產(chǎn)生的實踐背景、理論意義等進行說明，幫助學生樹立正確的數(shù)學觀，培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)和數(shù)學能力。